1、.8.1 二叉樹期權定價模型二叉樹期權定價模型8.1.1 二叉樹模型的基本方法二叉樹模型的基本方法 熟悉熟悉8.1.2 基本二叉樹方法的擴展基本二叉樹方法的擴展 熟悉熟悉8.1.3 構造樹圖的其他方法和思路構造樹圖的其他方法和思路 了解了解8.1.4 二叉樹定價模型的深入理解二叉樹定價模型的深入理解 熟悉熟悉8.2 蒙特卡羅模擬蒙特卡羅模擬8.2.1 蒙特卡羅模擬的基本過程蒙特卡羅模擬的基本過程 熟悉熟悉8.2.2 蒙特卡羅模擬的技術實現(xiàn)蒙特卡羅模擬的技術實現(xiàn) 熟悉熟悉8.2.3 減少方差的技巧減少方差的技巧 了解了解8.2.4 蒙特卡羅模擬的理解和應用蒙特卡羅模擬的理解和應用 了解了解8.3

2、 有限差分方法有限差分方法8.3.1 隱性有限差分法隱性有限差分法 熟悉熟悉8.3.2 顯性有限差分法顯性有限差分法 熟悉熟悉8.3.3 有限差分方法的比較分析和改進有限差分方法的比較分析和改進 了解了解8.3.4 有限差分方法的應用有限差分方法的應用 了解了解.1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達 ； 2、下降到原先的 倍，即 。圖8.1 時間內資產價格的變動SuSudSd把期權的有效期分為很多很小的時間間隔 ，并假設在每一個時間間隔 內證券價格只有兩種運動的可能：t t其中 . 如圖8.1所示。價格上升的概率假設為 ，下降的概率假設為 。1u 1d p1pt相應地，期權價值也會有所不同，

3、分別為 和 。ufdf.二叉樹模型實際上是在用大量離散的小幅度二值運動來模擬連續(xù)的資產價格運動 .二叉樹模型可分為以下幾種方法：二叉樹模型可分為以下幾種方法：（一）單步二叉樹模型 1.無套利定價法 2.風險中性定價法 3.風險中性定價法（二）證券價格的樹型結構 4.證券價格的樹型結構（三）倒推定價法 5. 倒推定價法二叉樹方法的一般定價過程二叉樹方法的一般定價過程以無收益證券的美式看跌期權為例 6.一般定價過程.無套利定價法：構造投資組合包括 份股票多頭和1份看漲期權空頭當 則組合為無風險組合SuuSdfd此時 udffSuSd 因為是無風險組合，可用無風險利率貼現(xiàn)，得r tuSfSufe 將

4、 代入上式就可得到：udffSuSd 1r tudfepfp f 其中 dudeptr.在風險中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益都是無風險利率；（2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風險利率貼現(xiàn)。在風險中性的條件下, 參數(shù)值滿足條件：SdppSuSetr)1 ( dppuetr)1 ( 假設證券價格遵循幾何布朗運動，則：22222222)1 ()1 (dppuSdSpupStS2222)1 ()1 (dppudpput再設定： （第三個條件的設定則可以有所不同， 這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件） 1ud由以上三式可得，當 很小時：tdudeptrteuted從而 1r

5、 tudfepfp f 以上可知，無套利定價法和風險中性定價法具有內在一致性。.一般而言，在 時刻，證券價格有 種可能，它們可用符號表示為：ti1ijijdSu 其中0,1,ji注意：由于 ，使得許多結點是重合的，從而大大簡化了樹圖。 1ud. 得到每個結點的資產價格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價法，從樹型結構圖的末端T時刻開始往回倒推，為期權定價。 如果是歐式期權，可通過將 時刻的期權價值的預期值在 時間長度內以無風險利率 貼現(xiàn)求出每一結點上的期權價值； 如果是美式期權，就要在樹型結構的每一個結點上，比較在本時刻提前執(zhí)行期權和繼續(xù)再持有 時間，到下一個時刻再執(zhí)行期權，選擇其中較大者作

6、為本結點的期權價值。 Ttrt.假設把該期權有效期劃分成N個長度為 的小區(qū)間，同時用 表示結點 處的證券價格可得： ，其中假定期權不被提前執(zhí)行， 后，則： （表示在時間 時第j個結點處的美式看跌期權的價值）若有提前執(zhí)行的可能性，則：tjijdSu),(jimax(,0)jNjNjfXSu d，0,1,jNt1,11,(1)r tijijijfepfp f )0 ,0(ijNifijti1,11,max,(1)jijr tijijijfXSu depfp f .當標的資產支付連續(xù)收益率為 的紅利時，在風險中性條件下，證券價格的增長率應該為， 因此：qrqdppuetqr)1 ()(dudeptq

7、r )(teuted對于股價指數(shù)期權來說， 為股票組合的紅利收益率；對于外匯期來說， 為國外無風險利率，因此以上式子可用于股價指數(shù)和外匯的美式期權定價。qq.支付已知紅利率資產的期權定價 可通過調整在各個結點上的證券價格，算出期權價格； 如果時刻 在除權日之前，則結點處證券價格仍為：ijdSujij, 1 , 0,ti如果時刻 在除權日之后，則結點處證券價格相應調整為：tijijduS )1 (0,1,ji若在期權有效期內有多個已知紅利率，則 時刻結點的相應的證券價格為：jijiduS)1 (ti（ 為0時刻到 時刻之間所有除權日的總紅利支付率）iti.已知紅利額 將證券價格分為兩個部分：一部

8、分是不確定的；另一部分是期權有效期內所有未來紅利的現(xiàn)值。 假設在期權有效期內只有一次紅利，除息日在到之間，則在時刻不確定部分的價值為：*()()S i tS i t 當 時i t *()()()ri tS i tS i tDe 當 時（表示紅利）i t 在 時刻：當 時，這個樹上每個結點對應的證券價格為：tii t *()0jijri tS u dDe 0,1,ji當 時，這個樹上每個結點對應的證券價格為：ti*0jijS u d0,1,ji（ 為零時刻的 值）*0S*S.利率是時間依賴的情形 假設 ，即在時刻 的結點上，其應用的利率等于 到 時間內的遠期利率，則： rf ttttt f tt

9、edpud 1f ttuepud這一假設并不會改變二叉樹圖的幾何形狀，改變的是上升和下降的概率，所以我們仍然可以象以前一樣構造出二叉樹圖.的二叉樹圖0.5p 在確定參數(shù) 、 和 時，不再假設 ，而令 ，可得： pud1ud0.5p 222r qttue 222r qttde 該方法優(yōu)點在于無論 和 如何變化，概率總是不變的 t.三叉樹圖 每一個時間間隔 內證券價格有三種運動的可能：1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達 ；2、保持不變，仍為 ；3、下降到原先的 倍，即tSuSuSdSd.一些相關參數(shù)：3 tue1du2211226dtprq 2211226utprq23mp .控制方差技術 基

10、本原理：期權A和期權B的性質相似，我們可以得到期權B的解析定價公式，而只能得到期權A的數(shù)值方法解。假設： （ 代表期權B的真實價值， 表示關于期權A的較優(yōu)估計值， 和 表示用同一個二叉樹、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過程得到的估計值）則期權A 的更優(yōu)估計值為： BBffAAffBfAfAfBfAAffBBff.適應性網狀模型 在使用三叉樹圖為美式期權定價時，當資產價格接近執(zhí)行價格時和接近到期時，用高密度的樹圖來取代原先低密度的樹圖。 即在樹圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部分，將一個時間步長 進一步細分，如分為 ，每個小步長仍然采用相同的三叉樹定價過程 t4t. 隱含樹圖 通過構建一個與目

11、前市場上的期權價格信息相一致的資產價格樹圖，從而得到市場對標的資產價格未來概率分布的看法。 其具體方法是在二叉樹圖中，通過前一時刻每個結點的期權價格向前推出（注意不是倒推）下一時刻每個結點的資產價格和相應概率 隱含樹圖的主要作用在于從交易活躍的常規(guī)期權中得到的關于波動率微笑和期限結構的信息，來為奇異期權定價 . 二叉樹圖模型的基本出發(fā)點：假設資產價格的運動是由大量的小幅度二值運動構成，用離散的隨機游走模型模擬資產價格的連續(xù)運動可能遵循的路徑。模型中隱含導出的概率是風險中性世界中的概率 ，從而為期權定價p取當前時刻為 ，在給定參數(shù) 、 和 的條件下，當 時，二叉樹公式：ttpud0t ,1,r

12、tf S ttpf Su tp f Sd te 可以在 進行泰勒展開，最終可以化簡為：,S t22221,02fffS trSS tSS trf S tottSS在 時，二叉樹模型收斂于布萊克舒爾斯偏微分方程。0t .Monte Carlo: Based On Probability & Chance基本思路：由于大部分期權價值實際上都可以歸結為期權到期回報(payoff)的期望值的貼現(xiàn)；因此，盡可能地模擬風險中性世界中標的資產價格的多種運動路徑，計算每種路徑結果下的期權回報均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權價值。. 隨機路徑：在風險中性世界中， 為了模擬的路徑，我們把期權的有效期分為N個長

13、度為時間段，則上式的近似方程為 dSrq SdtSdz 2lnln2S ttS trqtt 2exp2S ttS trqtt 或 （是從標準正態(tài)分布中抽取的一個隨機樣本）重復以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計算回報值的平均值，折現(xiàn)后就得到了期權的期望值.單個變量和多個變量的蒙特卡羅模擬：1、當回報僅僅取決于到期時 的最終價值時 可直接用一個大步（ ）（假設初始時刻為零時刻）來多次模擬最終的資產價格，得到期權價值：S0T 20 exp2S TSrqTT2、當回報依賴于多個市場變量時每次模擬運算中對每個變量的路徑都必須進行抽樣，從樣本路徑進行的每次模擬運算可以得出期權的終值。 的離散過程可以寫為：i （

14、期權依賴于 個變量， ， 為 的波動率， 為 在風險中性世界中的期望增長率， 為 和 之間的瞬間相關系數(shù)） iiiiiiitttmttstt n1iin isiimiikik. 常數(shù)利率和隨機利率的蒙特卡羅模擬 利率為常數(shù)時：期權價值為（初始時刻設為0）：. 其中， 表示風險中性世界中的期望。 利率為變量時：期權價值為（初始時刻設為0）： 為有效期內瞬間無風險利率的平均值。rTTfeE f E rTTfE efr.隨機樣本的產生和模擬運算次數(shù)的確定：1. 的產生 是服從標準正態(tài)分布的一個隨機數(shù)。如果只有一個單變量，則可以通過下式獲得：其中 是0到1的相互獨立的隨機數(shù)。2. 模擬運算次數(shù)的確定如

15、果對估計值要求95的置信度，則期權價值應滿足 （ 是進行運算的個數(shù)， 為均值， 是標準差）1216iiRiR112i 1.961.96fMMM.（一）對偶變量技術（二）控制方差技術（三）重點抽樣法（四）間隔抽樣法（五）樣本矩匹配法（六）準隨機序列抽樣法（七）樹圖取樣法.主要優(yōu)點： 1. 在大多數(shù)情況下，人們可以很直接地應用蒙特卡羅模擬方法，而無需對期權定價模型有深刻的理解 2. 蒙特卡羅模擬的適用情形相當廣泛主要缺點：1. 只能為歐式期權定價，難以處理提前執(zhí)行的情形。2. 為了達到一定的精確度，一般需要大量的模擬運算。.222212fffrSSrftSS轉化為一系列近似的差分方程，即用離散算子

16、逼近 、 和 各項，之后用迭代法求解，得到期權價值。具體地說，有限差分方法就是用有限的離散區(qū)域來替代連續(xù)的時間和資產價格在坐標圖上，有限差分方法則體現(xiàn)為格點（Grids）ftfS22fS.可以理解為從格點圖內部向外推知外部格點的期權價值。如圖所示：下面介紹一下 、 和 的差分近似 8.3.1(2) 、 和 的差分近似ftfS22fSftfS22fS.1. 的近似對于坐標方格內部的點 ，期權價值對資產價格的一階導數(shù)可以用三種差分來表示： 、 和2. 的近似對于 點處的 ，我們則采取前向差分近似以使 時刻的值和 時刻的值相關聯(lián)：3. 的近似 點 處的 的后向差分近似為 ，因此點處期權價值對標的資產

17、價格的二階差分為這個二階差分也是中心差分，其誤差為 。fS, i j,1,i ji jffS,1i ji jffS,1,12i ji jffSft, i jfti t1it1,iji jffftt22fS,1i jfS,1,i ji jffS,1,12,1,1,222i ji ji ji ji ji ji jfffffffSSfSSS2oS.差分方程把以上三個近似代入布萊克舒爾斯偏微分方程，整理得到：其中， ,1,11,ji jji jji jija fb fc ff221122jarj tjt 221jbjtr t 221122jcrj tjt 0,1,.,1iN0,1,.,1jM.邊界條件

18、1. 時刻看跌期權的價值為 其中 2. 當股票價格為零時，下方邊界上所有格點的期權價值： 3. 當股票價格趨于無窮時 T,max,0N jTfXSTSj S 0,1,.,jM0S ,0ifX0,1,.,iN,0i Mf0,1,.,iN.求解期權價值：聯(lián)立 個方程： 和 時， 時，解出每個 的期權價值最后可以計算出 ，當 等于初始資產價格時，該格點對應的 就是我們要求的期權價值。 1M 1,11,1,1,jNjjNjjNjN ja fb fc ff1,.,1jM0j 1,0NfXjM1,0NMf1,Njf0, jfj Sf.頁面呈現(xiàn)頁面呈現(xiàn)顯性有限差分法： 其中， 即直接從 時刻的三個相鄰格點的

19、期權價值求出 時刻資產價格為 時的期權價值，可理解為從格點圖外部推知內部格點期權價值的方法*,1,11,1,1i jjijjijjijfa fb fc f*22111122jarj tjtr t *22111jbjtr t *22111122jcrj tjtr t 1iti tj S.有限差分方法有限差分方法樹圖方法樹圖方法相同點：兩種方法都用離散的模型模擬資產價格的連續(xù)運動不同點：樹圖方法中包含了資產價格的擴散和波動率情形；有限差分方法中的格點則是固定均勻的，只是參數(shù)進行了相應的變化，以反映改變了的擴散情形。 .隱 性 有 限隱 性 有 限差分方法差分方法顯 性 有 限顯 性 有 限差分方法差分方法 顯性方法計算比較直接方便，無需象隱性方法那樣需要求解大量的聯(lián)立方程，工作量小，易于應用。但是，顯性方法存在一個缺陷