1、無窮限廣義積分的計算陳雪靜（寶雞文理學院 數學系,陜西 寶雞 721013）摘 要: 文章歸納總結了利用數學分析、復變函數、積分變換、概率論統計理論等知識計算無窮限廣義積分的幾種方法.在學習中運用這幾種方法可開拓視野,激發學習數學的興趣.關鍵詞: 廣義積分;收斂;計算方法廣義積分是高等數學學習中的一個難點知識,廣義積分的概念不僅抽象,而且計算方法靈活,不易掌握.廣義積分包括兩大類,一類是積分區間無窮型的廣義積分,另一類是積分區間雖為有窮,但被積函數在該區間內含有有限個無窮型間斷點（瑕點）的廣義積分.一般的判別法是對積分區間無窮型的廣義積分,先將積分限視為有限的積分區間按常義積分處理,待積分求出

2、原函數后再考查其極限是否存在,在用此極限去判定原積分是否收斂.對于第二類廣義積分,我們可將積分區間改動,使被積函數在改動后的積分區間內成為有界函數再按常義積分處理,求出原函數之后考查它在原積分區間上的極限是否收斂.但是有些被積函數的原函數不易求出或無法用初等函數表示,使得廣義積分無法用常規方法計算,因此需尋求其它的計算方法.本文主要研究無窮限廣義積分的計算方法,主要方法包括利用廣義積分定義、參量積分、變量代換、二重積分、留數定理、級數展開、概率論知識以及拉普拉斯變換等方法.1 無窮限廣義積分的定義定義1 設函數在區間上連續,取.如果極限存在,則稱此極限為函數在無窮區間上的反常積分（也稱作廣義積

3、分）,記作,即=;這時也稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,函數在無窮區間上的反常積分就沒有意義,習慣上稱為反常積分發散,這時記號不再表示數值了.類似地,設函數在區間上連續,取. 如果極限存在,則稱此極限為函數在無窮區間上的反常積分,記作,即=;這時也稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發散.設函數在無窮區間內連續,如果廣義積分和（為常數）都收斂,則稱上述兩個反常積分之和為函數在無窮區間內的廣義積分,記作,即=+ =+這時也稱廣義積分收斂;否則就稱反常積分發散.上述反常積分統稱為積分區間為無窮區間的廣義積分或無窮限廣義積分.2 無窮限廣義積分的計算方法2.1利用廣義積分的定義求無窮

4、限廣義積分由定義計算可以分兩步:1求定積分=.需要說明的是原函數均指有限形式.2取極限=.例11 計算解 =2.2利用含參量積分的理論求無窮限廣義積分含參量積分:（） （）統稱為歐拉積分.其中稱為格馬函數.稱為貝塔函數.且有遞推公式 及 .因此在計算廣義積分時看所給廣義積分當為何值時對應的歐拉積分,然后用歐拉積分公式直接算出廣義積分的值.例25求（為正整數）解此廣義積分與表達式相似,因此可用函數法求解.= 注:.2.3利用變量代換法求無窮限廣義積分有些函數的原函數不易求出或直接積分不出來,但如果對被積函數施以變量代換,在輔以一定的技巧就可以求出這類積分.作變量帶換時,首先要對被積函數的結構進行

5、分析,然后再看積分限與被積函數的關系.變換的方向是求出原函數或求出一個含原積分的方程,從而求得所含廣義積分的值.例32求I=解 令x=,則I=上式加上I=得2I=故 I=2.4利用二重積分理論計算無窮限廣義積分.利用二重積分理論計算廣義積分時,應分兩步:1把廣義積分巧妙的化為一個二重積分.2計算二重積分,從而間接的計算出廣義積分的值.例45 計算廣義積分解 由于=所以=而= 其中D=故= 而=.例53 計算廣義積分I=解 因為=所以I= = =-. 2.5積分號下求導法計算無窮限廣義積分.收斂因子法:此方法是對被積函數引入一個收斂因子,因子中有一個參數, 對參數（不一定是收斂因子中的參數）求導

6、,有時可求得原積分的值.在此情況下引入的收斂因子加強了原積分的收斂性（如條件收斂的成為絕對收斂,或求導后發散的,變成一致收斂）.這樣使積分號下求導條件得以滿足.一般采用（k>0)作為收斂因子.例65 求積分 () 解 引入積分因子（>0)作積分=故 =+= (顯然=I(0)=0)由此有 =所以 I=故同樣可得 =-2.6積分號下求積分法算無窮限廣義積分這種方法是將被積函數中某一因子表為一個適當的積分.于是將原積分化成二次積分.交換這兩個積分的順序,就可求出所給的積分.例72求積分I=解 由,于是I= =由,有=所以 =為了確定,令.得 故.2.7利用復變函數理論中的留數定理計算無窮

7、限廣義積分.定理15設函數在實軸上處處解析,在上半平面除有限個孤立奇點外處處解析,且存在常數,使得當,且時,則推論 15設是有理函數,與為的,次多項,多項式的次數比至少高2次,在實軸上沒有零點,是在上半平面的孤立奇點,則例8 4計算廣義積分解 因為,顯然滿足推論的條件,且,是在上半平面的孤立奇點,這兩個點都是的一級極點,因此有 同理故=+ =2.8級數展開法求廣義積分例92求積分I=解 利用余弦函數的冪級數展開以及指數函數的展開式我們有=例105 計算廣義積分.解 由于=而= 故原式=-.利用無窮級數計算廣義積分也是常用的一種技巧.常有兩種方法.其一是將被積函數展成級數以求積分;其二是將無窮區

8、間上的廣義積分表示成級數的形式以求積分.2.9利用概率統計知識求無窮限廣義積分.例115計算廣義積分I=.解 因為為標準的正態分布密度函數所以= 1.即=1.所以即=令=2.10用拉普拉斯變換求無窮限廣義積分定義26設在上有定義,且積分（是復變參量）關于某一范圍內的收斂,則由這個積分確定的函數稱為函數的拉普拉斯變換.并記做,即=,其中的稱為的像函數,稱為的像原函數.定理 25(Laplace變換存在定理) 設函數在的任何有限區間內分段連續,并且當時,的增長速度不超過某一指數函數,即存在常數,和,使得在上,則在半平面上,存在,且=是的解析函數.其中稱為的增長指數.性質11（積分性質）若,則（為復

9、數） （1）性質21(終值性質) 若,且的所有奇點全在平面的部 （2）性質31 若,在上解析,且收斂,則存在,且 （3）證明 由微分性知 =由性質1 所以由性質2 即 =特別的,時,有. （4）性質41（象函數的積分性質）若,且積分收斂. （5）性質 51 設,且與皆收斂,則 （6）證明 由（5）式,由（4）式,=例124求的拉普拉斯變換,并求積分.解 由定理2,因為,故在的實部大于零上, 拉普拉斯變換存在,且=于是 （在的實部大于零）那么 由命題4知 =在利用命題5知 =.例136計算下列積分解 , 由微分性質知,但是另一方面 當時,即=致謝：本文在寫作過程中得到陳一虎老師的指導.在此表示感

10、謝！參考文獻:1 白水周.無窮限廣義積分的幾種有效解法J.開封大學學報,2000,14(1):49-50.2 李紹成.論廣義積分的計算J.綿陽農專學報:自然科學版,1996,13(2):65-70.3 數學分析.華東師范大學數學系M.高等教育出版社,20014 宋叔尼,孫濤.復變函數與積分變換M.北京:科學出版社,2006.5 劉開生,楊鐘玄.無窮限廣義積分的幾種計算方法J.天水師范學院學報: 自然科學版,2002,22(2):9-10.6 蓋云英,包革軍.復變函數與積分變換學習指導M.科學出版社,2004.Ways of calculating limitless generalized integralCHEN Xue-Jing(DepartmentofMathematic,BaojiUniversityofArts and Science Baoji721013,Shaanxi ,China)Abstract: ways of calculating generlazed integral are given by using maths analysis, complex variable and integral transform, complex function and proabability statistical theroy. In