1、易拉罐的形狀和尺寸的最優設計摘 要本文討論了以假設易拉罐的上、下底面及側面所用材料相同為前提，在相同體積情況下，哪種形狀的易拉罐所用材料最少。將易拉罐設計成正圓柱體，分析并建立了非線性規劃模型，用連續函數求極值的方法，獲得結果；探討了易拉罐形狀為由上面圓臺和下面正圓柱體組成的最優化設計，建立了非線性規劃模型,分別用隱函數求導數和拉格朗日乘子兩種方法求解；最后采用相同體積時球體表面積最小這一數學結論，以及便于運輸和放置的實際狀況，我們把易拉罐形狀設計為用兩個平面截去頂部后的圓臺，建立非線性規劃模型。也嘗試用旋轉曲線建立球體最優設計。通過計算對比結果,第二種形狀(目前使用易拉罐形狀)是最優的。本文

2、還對模型進行了推廣。關鍵詞: 非線性規劃 拉格朗日定理 隱函數一問題重述日常生活中，我們稍加留意就會發現很多的飲料罐(即易拉罐)形狀和尺寸幾乎都一樣。看來，這并非偶然，這應該是某種意義下的最優設計。當然，單個易拉罐的生產，對資源充分利用，節約生產成本并不明顯。但如果生產的數量非常多的話，那么節約的錢就很可觀了。為什么不同工廠的易拉罐采用統一規格？從數學的角度怎樣給予合理的解釋？易拉罐的圓柱底面圓的直徑與圓柱的高的比是多少才為最優？和現實中的實際情況有什么差異，為什么？假設易拉罐的上、下底面及側面所用的材料相同，則在相同的體積情況下，哪種形狀和尺寸的飲料罐所用的材料最少則成本就越低，也就最合理。

3、需要研究的內容:(1) 對現實生活中易拉罐(可口可樂罐為例)的準確測量,包括罐體形狀,尺寸等。(2) 當易拉罐為一正圓柱體時,討論它的最優設計方案,通過對半徑和高的比值來說明和驗證所測量的相關數據。（3）當易拉罐有上面圓臺和下面正圓柱體組成,如下圖:討論這種形狀的最優方案,并與實際測量數據相分析比較。(4) 查閱資料,發揮想象力,設計出易拉罐形狀和尺寸最優的方案。進行拉罐設計成本最小問題的數學建模及求解過程。最后,總結做本題以及以前學習和實踐數學建模的親身體驗，寫一篇短文，闡述什么是數學建模、它的關鍵步驟，以及難點。二假設問題假設：1. 測量的355ml（可口可樂）飲料罐相關數據都是精確的，忽

4、略誤差。2. 對任意模型能夠進行加工，保證模型的設計方案足夠多，選擇足夠大。3假設設計所用材料一樣。4除易拉罐的頂蓋外，罐的厚度相同。5不考慮壓強。三約定符號說明符號：說明 : 罐體的體積S：罐體的表面積h: 柱體的高度: 被截面到球面的距離r： 球體的半徑： 被截面的半徑：所用材料的體積球缺的體積球冠的體積被切出現的圓的面積球缺的表面積四測量數據問題一：以下數據是以一個具體的可口可樂罐為實例測量：不規則圓柱體，中間略粗，上下兩圓臺半徑相對小，上底略凸，下底凹進。頂蓋的直徑為：d=6cm; 半徑為：r=d/2=3cm頂部和底部的全高為：h=12.1cm中間圓柱罐體直徑和高分別為：d=6.7cm

5、 h=10.2cm，則直徑與高的比約為2：1。柱體的厚度為0.013cm，上半部分的厚度設為0.04cm.周長為21cm。罐上標明凈含量為 355 毫升(即 355 立方厘米)。五模型建立及求解模型一： 問題二：正圓柱體的最優設計設易拉罐的高為h，底面圓半徑為r，則由圓柱的體積公式V=r2·h 推得 h=V/r2罐體表面積 S=2r2 +2rh，將h=V/r 2帶進 S=2r2 +2rh求得： S=2r2 +2V/r按設計要求知，體積V是常數，半徑r是變量，表面積S是r的函數。建立數學模型：當r取何值時函數S取最小值？自變量r的取值決定了函數S的最后結果模型的求解：由 S=2r2 +

6、2V/r =2r2 + V/r + V/r3 =3, 當且僅當 2r2 = V/r ，即r =時，易拉罐具有最小的表面積3 ，此時易拉罐的高h =2r。 圖5即：體積給定，其表面積最小尺寸半徑和高之比為1：2。正圓柱體表面積：3 =3278也即將易拉罐設計成等邊圓柱時，消耗的材料最少。是模型的最優設計。實際測量的表面積為：=2r2+2rh277我們所實際測量的數據和設計有差別，什么原因造成的呢？ 是罐體厚度的造價問題。上底面、下底面與圓柱體側面積所用材料價格并不一樣。我們設側面價格為P1，底面的價格為P2, 且P1P2 則一個易拉罐需要的價格函數為：y= 2P1r2+2 P2r2y=（2P1r

7、2+ 2P2rh）當2P1r2=P2rh 即 h=2P1r/ P2 時 易拉罐成本最低。模型二：問題三:圓臺與圓柱體的最優設計明確變量和參數：設飲料罐的半徑為 r（因此，直徑為 d =2r）, 罐的高為 h. 罐內體積為 V. b 為除頂蓋外的材料的厚度. 其中 r, h 是自變量, 所用材料的體積 SV是因變量, 而 b 和 V 是固定參數，是待定參數。rh 圖6 飲料罐側面所用材料的體積為:飲料罐頂蓋所用材料的體積為 飲料罐底部所用材料的體積為 所以, SV和 V 分別為, 因為, 所以帶 的項可以忽略因此記 . 于是我們可以建立以下的數學模型：其中 S 是目標函數，是約束條件, V 是已

8、知的(即罐內體積一定), 即要在體積一定的條件下, 求罐的體積最小的 r, h 和使得 r, h 和測量結果吻合. 這是一個求條件極值的問題. 模型的求解：從約束中解出一個變量，化條件極值問題為求一元函數的無條件極值問題從 解出 ,代入 S, 使原問題化為：求 d : h使 S 最小, 即, 求r使最小. 求臨界點: 令其導數為零得解得臨界點為 , 因此測量數據為 h/r=2, 即 , 即頂蓋的厚度是其他材料厚度的 3 倍. 為驗證這個 r 確實使 S 達到極小。計算 S 的二階導數所以, 這個 r 確實使 S 達到局部極小, 因為臨界點只有一個, 因此也是全局極小. 求 極小的初等方法是應用

9、算術幾何平均值不等式 ，當且僅當時等號成立.令 . 于是有, 當且僅當 時等號成立, 即, 結果相同. 上述解法中, 從解出 h是關鍵的一步. 但是常常不容易或不能從約束條件中解出一個變量為另一個變量的函數(或者雖然能解出來, 但很復雜), 無助于問題的求解. 但是，如果表示變量間的隱函數關系, 并假設從中能確定隱函數(盡管沒有解析表達式, 或表達式很復雜), 那么, 我們仍然可以寫成 , 而且, 由隱函數求導法則, 我們有 因此, 是 S 的臨界點的必要條件為假設 是 S 的臨界點, 則有于是, 在 處, 因此, 如果我們引入 , 那么, 就有 把問題化為求三元函數 L 的無條件極值的問題.

10、函數 L 稱為 Lagrange 函數, 這種方法稱為Lagrange 乘子法. 具體到我們這個問題, 有如下的結果. 引入參數 , 令 求臨界點從第 2，3 式解得 ，代入第 1 式得.和前面的結果相同.得到表面積S=240驗證和進一步的分析：測量頂蓋的厚度，確實為其他側面材料厚度的 3 倍. 如果易拉罐的半徑為3厘米, 則其體積為 即裝不下那么多飲料，為什么？模型到底對不對?按照,V = 365立方厘米, 可以算得r = 3.074 厘米. 粗略的計算, 可以把飲料罐的體積看成兩部分,一是上底半徑為 3 厘米，下底半徑為 3.3 厘米, 高為 1 厘米的錐臺, 二是半徑為 3.3 厘米,

11、高為 10.2 厘米的圓柱體. 它們的體積分別為 31.2 立方厘米和 349 立方厘米總共為 380.2 立方厘米. 然后, 我們再來通過測量重量或容積(怎么測量?)來驗證. 我們可以認為 1 立方厘米的水和飲料的重量都是 1 克. 測量結果為: 未打開罐時飲料罐的重量為 370 克, 倒出來的可樂重 355 克, 空的飲料罐重量為 15 克, 裝滿水的飲料罐重量為 380 克. 這和我們的近似計算 380.2 立方厘米十分接近！飲料罐不能裝滿飲料, 而是留有 10 立方厘米的空間余量. 計算飲料罐的中間圓柱部分的直徑和高的比為 6.6/10.2 = 0.647, 非常接近黃金分割比 0.6

12、18.這樣的比例看起來最舒服, 最美。此外, 諸如底部的形狀,上拱的底面。因為做成底部向上凸，可以擺放得更平穩。易拉罐頂部也有對應的坑紋。底部向上凸，是為了使得用最小的面積，獲得最大的抗壓性，使底部更堅硬。如圖7：圖7頂蓋實際上也不是平面的, 略有上拱, 頂蓋實際上是半徑為 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料沖壓而成的, 從頂蓋到中間圓柱的部分的斜率為 0.3, 這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐壓。考慮實際所用材料的模型 實際上, 頂蓋的半徑為r +0.6厘米, 而正圓柱的高為h +0.6厘米. 因此問題就轉化為: 當 V 固定時, 求 d:h使

13、S最小. 我們從約束中解出一個變量, 化條件極值問題為求一元函數的無條件極值問題, 即 這時, 我們發現盡管三次方程求根有公式, 但是很繁瑣, 而且最終還是要數值求解. 不如直接將數值代入, 用數學軟件Matlab或C語言（見附錄二）來求數值解由于 V = 365 立方厘米. 即，r 2.9，, 所以，h : d 2.4, 高是直徑的 2.4倍! 模型三：小組對易拉罐的最優設計問題4:具體分析：在體積一定的幾何形體中,球的表面積最小，則理想的形狀就是球。 那么，我們可以朝球體方向討論。當設計的容器高h和它的直徑d相等的時候才是最合理的，因為這時候容器是個球體，圓形周長最短，在容積相同（里面的飲

14、料一樣多時）易拉罐橫截面為圓形的時候最節省材料。雖然，同樣容積的容器，球形的表面積最小，下料最省，但易拉罐做成球形從運輸，排放等都不合理，在技術上和使用上都較困難。因此，需要設計一種即節約成本，比較容易生產又便于使用，符合大眾消費需求的存儲介質，我們認為對球進行切割使球上下都有相同截面的圓臺，同時兩個被截球冠表面積與體積均全等。如圖8：設球的體積為V，表面積S，球心到截面的距離h,球的半徑r，截面的半徑,圓臺截面的面積為,我們要求的圓臺（圖8）表面積為，被切割的球冠體積為，剩余圓臺（圖8）體積為。有：=r此時截面的面積為： =由勾股定理得： =此時圓的面積=（）被切割的球體表面積為：當切點無限

15、增加，側面則無限接近球面。 圖9因而有：=hr-h由定義知上、下有兩個被截球冠的表面積和兩個截面表面積均分別相等。所以，被切割的半球體總表面積為2，截面總表面積為2從而求得剩余圓臺（圖8）表面積：= S-2+2=4r-2hr-2h+2（） =6r-2hr上、下兩個被截球冠的表面積相等，考慮密度因素以外，體積也應相等（已假設定義）于是有：=1/3=-2=4/3-2/3 =考慮到瓶子擺放的穩定性，當瓶子與地面的傾斜角度在以下時，瓶子的重心不會超過下面的平面，保持其平穩性，不會倒掉。因此，是傾斜面不倒的臨界角度。建立數學模型: 目標函數： 約束條件：V355由=355得：r=4.4 所以 =-*0.

16、6模型求解得表面積S=6r-2hr通過比較： 正圓柱體表面積：3 =3278現實生活罐體表面積：S=240圓臺表面積S=6r-2hr264實際測量的表面積為：=2r2+2rh277由上得出： 現實生活中實際使用的易拉罐設計是最優設計。六模型的推廣和評價認識1 本問題所考慮的只是易拉罐形狀和尺寸的設計問題 ，可以推廣到液體、液晶等物質的最大化存儲或運輸的相關領域 產生經濟和社會效益。2 利用了高等數學知識，設計了多種情況的優化設計方案。最大限度節約了罐體的下料和生產成本，而且優化設計后的方案簡單明了，涉及領域較廣，施行方便。3 本方案設計數據精確，模型結果實用性強，較完美解決了易拉罐形狀和尺寸設

17、計的原始問題。4 簡化了模型的計算，但建模時間倉促，模型細致度有待進一步提高。5 從這幾種模型的計算結果綜合考慮可知，第二種模型仍然是最優的。七建模感悟從高教社杯數模大賽緊張氣氛中走出來，感受頗多，從數模課的深入研究學習直到走進數模大賽，讓我們真正理解著數學的神韻，升華著我們創造性思維 數學建模，即針對實際問題，從實際中提煉數學問題抽象化為數學模型，求出模型的，求出模型的解或近似解，并進行檢驗，使之切合實際，最后編輯由數學內容構成，以議論方式表達目標的說理論文。數學建模首先在于懂得數學模型。數學模型是對于現實世界一個特定對象，特定目的，根據其內在規律，做出必要的假設，運用數學工具，得到一個數學

18、結構，簡單的說，就是系統的某種特征的本質的數學表達式或數學術語用數學式子（如函數、圖形、代數方程、微積分等）來描述（模擬）所研究的客觀對象或系統在某一方面存在規律。數學建立模型就是利用數學方法解決實際問題的一種實踐，同過抽象、假設等將實際問題用數學表達式建立合理的模型，然后運用先進的數學方法及計算機技術進行求解。在幾天煩瑣的建模，解模中，也摸索了一些具體的建模步驟，主要有：1 對實際問題的抽象、簡化、假設，從而確定問題求解的變量和參數；2 建立數學模型，并運用方差、微積分等數學方法和lingo、lindo等計算機軟件求出正解或近似解，確定其相關的參數；3 用實際問題的實測數據來檢驗該模型4 符

19、合實際，交付使用，達到產生經濟，社會效益的目的；不符合實際，重新建模、求解。其中，對實際問題分析的透析度，對題目推敲的準確性，統計出的數據的正確性，反映出研究范圍和達到的深度，以及概念寫法揭示的內涵和外延，決定著論文的質量和生命力。建立數學模型也是十分關鍵的一步，同時也是異常困難的一步，建立數學模型的過程，是使錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構過程。通過調查、收集數據，觀察和研究起內在規律，運用我們平時積累的深厚扎實的數學基礎，敏銳的洞察力和想象力，以及對實際問題的濃厚興趣和廣博知識面，建立反映實際問題的數量關系，然后利用數學理論和方法去分析和解決問題.八參考文獻1. 吳建成 高等數學 北京西城區德外大街4號 高等教育出版社 2005年6月2. 于忠文 數學論文寫作概論 北京地質印刷廠印刷 航空工業出版社 1999年7月3.全國競賽組委會 1992年-1995年全國大學生數學建模競賽優秀論文匯編 1997年3月附錄一：編寫M文件