1、1歐拉法求微分方程方法說明歐拉(Euler)法是解常微分方程初值問題 (4.1) 最簡單的數值方法，其具體做法是，將區間a，b進行N等分：，步長.并將式(4.1)寫成等價的積分形式（4.2）再對式(4.2)右端積分用矩形公式計算，則有, (4.3)在式(4.3)右端取，舍去余項。則得,作為的近似值。在式(4.3)右端取，舍去余項，則得y2=y1+hf（x1，y1）作為的近似值一般地，在式(4.3)右端取舍去余項，則得(4.4)作為的近似值式(4.4)為歐拉法計算公式我們知道微分方程的解是平面上的一族積分曲線，這族曲線中過點的積分曲線就是初值問題式(4.1)的解歐拉法的幾何意義是，過點引斜率為的

2、積分曲線的切線，此切線與直線的交點為，再過點引以為斜率的切線與直線的交點為，依此類推，從出發，作以為斜率的切線，此切線與直線交點為于是便得到過點的一條折線，見圖4.1過的積分曲線則用此折線來代替因此，這種方法亦稱折線法 圖4.1 例：用歐拉法求微分方程歐拉法流程圖如下:x0+h=x1y0+h*f(x0,y0)=y1n=1輸出x1,y1n=1+nx1= x0y1= y0結束n=N ?讀入x0,y0,b,h開始計算N=fix(b-x0)/h)歐拉法程序如下：clear;clc;x1=0;x2=1;h=0.1;x0=0;y0=1;N=(x2-x1)/h;%要計算的次數x(1)=x0;y(1)=y0;

3、for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n);endX=xY=y2 改進歐拉法求微分方程方法說明 由于歐拉法采用矩形公式計算積分產生較大截斷誤差改進歐拉法(又稱改進折線法)是采取梯形公式來計算式(4.3)右端積分，則有 （5.1）在式(5.1)右端取，舍去余項，則得將作為的近似值在式(5.1)右端再取，舍去余項，則得將作為的近似值一般地，在式(5.1)右端取，舍去余項則得(5.2)將作為的近似值式(5.2)為改進歐拉法計算公式流程圖如下：例：用改進歐拉法求微分方程改進歐拉法程序如下：clear;clc;x1=0;x2=1;h=

4、0.1;x0=0;y0=1;p(1)=0;N=(x2-x1)/h;x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n); p(n+1)=y(n)+h*(y(n+1)-2*x(n)/y(n+1); y(n+1)=(y(n+1)+p(n+1)/2;endX=xY=y3斐波那契法求極值方法說明斐波那契法原理類似于黃金分割法，只是搜索區間的縮短率不再采用黃金分割數0.618。如圖7.1所示，只要在a,b內取兩點x1,x2,并計算出f(x1),f(x2),通過比較，可將區間a,b縮短為a,x2或x1,b。因為新的區間內包含一個已經計算過函數值的點，所以再從其中取一個試點，又可將這個新區間再縮短一次，不斷地重復這個過程，直至最終的區間長度縮短到滿足預先給定的精確度為止。圖7.1 現在的問題是，怎樣選取試點，在保證同樣精確度的情況下使得計算f(x)函數值的次數最少？在計算函數值的次數一定的情況下，最初區間與最終區間的長度之比可作為取點方式優劣的一個標準。計算n次函數值，如何取點使最終區間最小？或者最終區間長度為1，計算n次函數值，初始區間最多為多長？為此，引入Fibonacci數列： F0=F1=1 Fn=Fn-1+Fn-2 , n2 表7.1系 所以當試點個數n確定之后，最初的兩個試