1、高三數學 立體幾何單元練習第卷 (選擇題 共50分)一、選擇題(10×5=50)第1題圖1.如圖,設O是正三棱錐P-ABC底面三角形ABC的中心，過O的動平面與P-ABC的三條側棱或其延長線的交點分別記為Q、R、S，則 ( )A.有最大值而無最小值B.有最小值而無最大值C.既有最大值又有最小值，且最大值與最小值不等D.是一個與平面QRS位置無關的常量2.在正n棱錐中，相鄰兩側面所成的二面角的取值范圍是 ( )A. B. C. D.3.正三棱錐P-ABC的底面邊長為2a,點E、F、G、H分別是PA、PB、BC、AC的中點，則四邊形EFGH的面積的取值范圍是 ( )A.(0,+) B.

2、C. D.4.已知二面角-a-為60°，點A在此二面角內，且點A到平面、的距離分別是AE=4，AF=2，若B,C,則ABC的周長的最小值是 ( )A.4 B.2 C.4 D.2第5題圖5.如圖，正四面體A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得=(0<<+),記f ()=+,其中表示EF與AC所成的角，表示EF與BD所成的角，則 ( )A.f ()在(0,+)單調增加B.f ()在(0,+)單調減少C.f ()在(0,1)單調增加,在(1,+)單調減少D.f ()在(0,+)為常數6.直線a平面,直線a到平面的距離為1，則到直線a的距離與平面的距離都等于的點的集合是

3、( )A.一條直線 B.一個平面 C.兩條平行直線 D.兩個平面7.正四棱錐底面積為Q，側面積為S，則它的體積為 ( )A. B.C. D.8.已知球O的半徑為R，A、B是球面上任意兩點，則弦長|AB|的取值范圍為 ( )A.0,2R B.(0,2R C.（0,2R） D.R,2R9.已知平面平面=l,m是平面內的一條直線，則在平面內 （ ）A.一定存在直線與直線m平行，也一定存在直線與直線m垂直B.一定存在直線與直線m平行，但不一定存在直線與直線m垂直第10題圖C.不一定存在直線與直線m平行，但一定存在直線與直線m垂直D.不一定存在直線與直線m平行，也不一定存在直線與直線m垂直10.如圖為一

4、個簡單多面體的表面展開圖（沿圖中虛線折疊即可還原），則這個多面體的頂點數為 ( )A.6 B.7 C.8 D.9二、填空題（4×4=16）11.邊長為a的等邊三角形內任一點到三邊距離之和為定值，這個定值為 ;推廣到空間，棱長為a的正四面體內任一點到各面距離之和為 .12.在ABC中，AB=9，AC=15，BAC=120°，其所在平面外一點P到A、B、C三個頂點的距離都是14，則P點到直線BC的距離為 .13.已知將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長為2，則最遠的兩頂點間的距離是 .14.有120個等球密布在正

5、四面體A-BCD內，問此正四面體的底部放有 個球.三、解答題（4×10+14=54）15.定直線l1平面,垂足為M，動直線l2在平面內過定點N，但不過定點M.MN=a為定值，在l1、l2上分別有動線段AB=b,CD=c.b、c為定值.問在什么情況下四面體ABCD的體積最大？最大值是多少？16.如圖所示，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點P、Q分別是ED和AC的中點，求：第16題圖（1）與所成的角；（2）P點到平面EFB的距離;（3）異面直線PM與FQ的距離.17.如圖，在梯形ABCD中，ABCD，ADC90°,3AD=DC=3,AB=2,E是CD

6、上一點，滿足DE1，連結AE，將DAE沿AE折起到D1AE的位置，使得D1AB60°,設AC與BE的交點為O.(1)試用基向量,表示向量(2)求異面直線OD1與AE所成的角.(3)判斷平面D1AE與平面ABCE是否垂直，并說明理由.第17題圖18.如圖，在斜棱柱ABCA1B1C1中，底面為正三角形，側棱長等于底面邊長，且側棱與底面所成的角為60°,頂點B1在底面ABC上的射影O恰好是AB的中點.（1）求證：B1CC1A；（2）求二面角C1-AB-C的大小.第18題圖19.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，BC=2a,AC=a,AB=a,點P到平面ABC的距離

7、為a.（1）求二面角P-AC-B的大小；（2）求點B到平面PAC的距離.第19題圖 立體幾何練習參考答案一、選擇題1.D 設正三棱錐P-ABC中，各棱之間的夾角為,棱與底面夾角為,h為點S到平面PQR的距離，則VS-PQR=SPQR·h=(PQ·PR·sin)·PS·sin,另一方面，記O到各平面的距離為d,則有VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS=SPQR·d+SPRS·d+SPQS·d=··PQ·PR·sin+·PS·PR·

8、sin+··PQ·PS·sin.故有PQ·PR·PS·sin=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常量.2.B 設正n棱錐的高為h,相鄰兩側面所成二面角為.當h0時，正n棱錐的極限為正n邊形，這時相鄰兩側面所成二面角為平面角，即二面角.當h時，正n棱錐的極限為正n棱柱，這時相鄰兩側面所成二面角為正n邊形的內角，即.故選B. 3.B 如圖，易知四邊形EFGH為矩形，當P底面ABC的中心O時，矩形EFGH矩形E1F1GH. =E1F1·F1G=a·a=a2.即S矩形EF

9、GHa2.當P時，S矩形EFGH.S矩形EFGH.故選B.第4題圖解第3題圖解4.C 如圖，aAE,aAF,a平面AEF.設a交平面AEF于點G，則EGF是二面角-a-的平面角，EGF=60°,EAF=120°,且易知當ABC的周長最小時，BEG,CFG.設點A關于平面的對稱點為A,點A關于平面的對稱點為A,連結AA,分別交線段EG、FG于點B、C,則此時ABC的周長最短，記為l.由中位線定理及余弦定理得l=2EF=2=4.5.D 因為ABCD是正四面體，故ACBD,作EGAC交BC于G，連結GF，則=GEF,且,GFBD,故GFEG,且=EFG,f ()=+=90

10、6;為常數.6.C 這兩條直線在距a為的平面上，分布在a在該平面上的射影的兩側.7.A 設正四棱錐各棱長均為1，則Q=1，S=，此時，正四棱錐的高h=,V=Qh=,將Q=1，S=代入選擇支，知A正確.8.B 考慮A、B兩點在球面上無限靠近但又不重合，及A、B兩點應為直徑的兩端點時的情況.點評 若忽視幾何里的兩點、兩直線、兩平面等均應是相異的兩元素，就會誤選A，球的最長弦就是直徑，但球沒有最短弦.9.C 若ml，則內必有與m平行的直線；若m與l相交，則內無直線與m平行.不一定存在直線與直線m平行，排除A、B.又內一定存在與m在內的射影垂直的直線，由三垂線定理知，內一定存在直線與m垂直,故選C.1

11、0.B 本題考查簡單多面體的表面展開與翻折，著重考查考生的空間想像能力,該多面體是正方體切割掉一個頂點，故有7個頂點.二、填空題11.;a 本題通過等積找規律.12. 分析 P點到A、B、C距離相等，故P點在平面ABC上的射影是三角形ABC的外心，故可由ABC的已知條件求出ABC外接圓半徑，進而求得P點到平面ABC的距離，及外心到直線BC的距離，從而最終解決問題.解 記P點在平面ABC上的射影為O，則AO、BO、CO分別是PA、PB、PC在平面ABC上的射影PA=PB=PC,OA=OB=OC,O為ABC的外心.在ABC中，BC=21由正弦定理，2R=,R=7P點到平面ABC的距離為.O點到直線

12、BC的距離OD= (D為BC邊的中點)OP平面ABC，ODBC,PDBC.P到BC的距離PD=.13.3 如圖所示，作CEAD，連結EF，易證EFAD,第13題圖解則CEF為面ADF和面ACD所成二面角的平面角.設G為CD的中點，同理AGB為面ACD和面BCD所成二面角的平面角，由已知CEF=AGB.設底面CDF的邊長為2a,側棱AD長為b.在ACD中，CE·b=AG·2a,所以CE=在ABC中，易求得AB=2,由CEFAGB得,即解得b=a,因此b=2時，2a=3,最遠的兩頂點間距離為3.14.36 正四面體ABCD的底部是正BCD,假設離BC邊最近的球有n個，則與底面B

13、CD相切的球也有n排，各排球的個數分別為n、n-1、3、2、1,這樣與底面相切的球共有1+2+n=個.由于正四面體各面都是正三角形.因此，正四面體內必有n層球，自上而下稱為：第1層、第2層、第n層，那么第n-1層，第n-2層，第2層，第1層球的個數分別是：1+2+n=、1+2+n-1=,1+2=,1=即n(n+1)(n+2)=120.即(n-8)(n2+11n+90)=0,n=8,因此正四面體內共有8層小球，其底部所放球數為=36(個).三、解答題第15題圖解15.分析 在四面體ABCD的基礎上，補上一個三棱錐B-MCD.解 如圖，連結MC、MD，則AM平面MDC，BM平面MDCVA-BCD=

14、VA-MDC-VB-MDC=SMDC·(AM-BM)=SMDC·AB設M到CD的距離為x,則SMDC=CD·x=cx,VA-BCD=×cx·b=bcxxMN=a,當x=a時，即MN為l1與l2的公垂線時，VA-BCD最大，它的最大值為abc.點評 xMN,包含x=MN,也包含x<MN,垂線段小于斜線段.16.解 建立空間直角坐標系，使得D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0)，M（0,0,a）,E(a,0,a)，F（0,a,a），則由中點坐標公式得P(,0,),Q(,0),(1) 所以=(-,0,),(,-,

15、-a),·=(-)×+0+×(-a)=-a2,且|=a,|=a,所以cos,=.故得兩向量所成的角為150°(2) 設n=(x,y,z)是平面EFB的單位法向量，即|n|=1,n平面EFB，所以n,且n,又=(-a,a,0)，=（0,-a,a）,即有得其中的一個解是n=,=,設所求距離為d,則d=|·n|=;(3) 設e=(x1,y1,z1)是兩異面直線的公垂線上的單位方向向量，則由=,=,得求得其中的一個e=，而=(0,a,0)，設所求距離為m,則m=|·e|=|-a|=a.17.解 （1）根據已知，可得四邊形ABCE為平行四邊形，

16、所以O為BE中點.(2) ()2=(-)2=,|=.cos<,>=,所以OD1與AE所成角為arccos.(3)設AE的中點為M，則=-.·=·-·=1×2×cos60°-××2cos45°=0,.·=·-=cos 45°-×()2=0,.所以MD1垂直于平面ABCE內兩條相交直線,MD1平面ABCE.而D1M平面AD1E，所以平面AD1E平面ABCE.18.(1)解法一 連結BC1、CO，B1O平面ABC，COAB，B1CAB，又在菱形BB1C1C中，

17、B1CBC1，B1C平面ABC1，B1CC1A.（2）作C1Q平面ABC于Q點，連接AQ，C1CQ是側棱與底面所成的角，即C1CQ=60°,在C1CQ中，CQ=CC1=AO，C1Q=CC1，由BC，B1C1，OQ平行且相等，又COAB,QAAB,C1AAB,QAC1是二面角C1-AB-C的平面角,在AQC1中，C1Q=AQ，QAC1=45°第18題圖解（2）第18題圖解（1）解法二 （1）以O為原點，OC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，建立空間直角坐標系，如圖，B1O平面ABC，B1BO是側棱與底面所成角，B1BO=60°.設棱長為2a,則OB1=a,BO=a

18、,又CO為正三角形的中線，CO=a.則A(0,a,0),B(0,-a,0),C(a,0,0),B1(0,0,a),C1(a,a,a).=(a,0,-a),=(-a,0,-a).·=-3a2+0+3a2=0,B1CC1A.(2)在C1AB中，|=a,|=|（a,2a,a）|=a,|=2a,SC1AB=a2,作C1Q平面ABC于Q點，則Q(a,a,0).SABQ=a2,設二面角C1-AB-C的平面角為,則cos=.二面角C1-AB-C的平面角為45°.19.（1）解法一 由條件知ABC為直角三角形，BAC=90°,PA=PB=PC,點P在平面ABC上的射影是ABC的外心，即斜邊BC的中點E，取AC中點D，連結PD、DE、PE，PE平面ABC.第19題圖解DEAC(DEAB).ACPD,PDE為二面角P-AC-B的平面角.tanPDE=,PDE=60°,故二面角P-AC-B的平面角為60°.解法二 設O為BC的中點，則可證明PO面ABC，建立如圖