1、第9章多元函數微分學及其應用總結一、多元函數的極限與連續1、維空間為二元數組的全體，稱為二維空間。為三元數組的全體，稱為三維空間。 為元數組的全體，稱為維空間。維空間中兩點間的距離：鄰域:設是的一個點，是某一正數，與點距離小于的點的全體稱為點的鄰域，記為，即空心鄰域: 的鄰域去掉中心點就成為的空心鄰域,記為=。內點與邊界點：設為維空間中的點集，是一個點。如果存在點的某個鄰域，使得，則稱點為集合的內點。 如果點的任何鄰域內都既有屬于的點又有不屬于的點，則稱為集合的邊界點, 的邊界點的全體稱為的邊界聚點：設為維空間中的點集，是一個點。如果點的任何空心鄰域內都包含中的無窮多個點，則稱為集合的聚點。開

2、集與閉集:若點集的點都是內點，則稱是開集。設點集, 如果的補集是開集，則稱為閉集。區域與閉區域：設為開集，如果對于內任意兩點，都可以用內的折線（其上的點都屬于）連接起來, 則稱開集是連通的連通的開集稱為區域或開區域開區域與其邊界的并集稱為閉區域有界集與無界集:對于點集，若存在，使得，即中所有點到原點的距離都不超過，則稱點集為有界集，否則稱為無界集 如果是區域而且有界，則稱為有界區域有界閉區域的直徑：設是中的有界閉區域，則稱為的直徑。二、多元函數元函數就是的一個子集到的一個函數，即對任意的，都存在唯一的，使得。習慣上，我們用表示一元函數， 用表示二元函數，用表示三元函數. 一般用或表示元函數三、

3、多元函數的極限設多元函數在有定義，是的一個聚點，為常數。如果對任意給定的，都存在，當時，有則稱為趨于時函數在上的極限，記為 或。四、多元函數的連續性設多元函數在有定義，是的一個聚點。如果，則稱在點連續。如果在區域上各點都連續，就稱在上連續如果函數在 點處不連續，則稱函數在點處間斷, 也稱是函數的間斷點。五、偏導數設二元函數，為平面上一點。如果在的某一鄰域內有定義且在點可導，即極限 存在, 則稱在點處對可偏導，稱此極限值為函數在點處對的偏導數，記為或六、高階偏導數， 如果函數的兩個二階混合偏導數都在平面區域D內連續，那么這兩個二階混合偏導數在D內相等。七、全微分設函數在點的某一鄰域內有定義，為常

4、數。如果，其中， 則稱函數 在點可微分（簡稱可微），稱為函數在點的全微分，記作，即可微的必要條件：函數在點可微, 則(1) 在點處連續。(2) 在點處偏導數存在, 且。可微的充分條件：函數在點的某個鄰域內可偏導，且偏導數在點連續，則在點可微。八、多元復合函數的求導法則鏈式法則：， ，。一階全微分的形式不變性：，九、隱函數及其求導法若滿足：(1) 在某鄰域內可偏導, 且連續，(2) ，(3) 。則(1) 存在的某個鄰域，在此鄰域內存在唯一確定的一元函數滿足稱函數稱為由方程所確定的隱函數，且具有連續導數，若滿足：(1) 在點的某個(n+1)維鄰域內可偏導, 且連續。(2) ，(3) 則(1) 存在點的某個n維鄰域, 在此鄰域內存在唯一的n元函數，且函數在該鄰域內具有連續偏導數, 。十、空間曲線的切線與法平面空間曲線的參數方程為，為曲線上一點。如果不全為0，則在點處的切線的方程為：，在點處的法平面方程為：。十一、空間曲面的切平面與法線曲面：在點處的法線方程為：在點處的法線方程為：十二、無條件極值極值存在的必要條件：函數在點處取得極值, 且在該點處函數的偏導數都存在, 則在點處的一階偏導數為零, 即 極值存在的充分條件：函數在點的某鄰域內有一階及二階連續偏導數，且。令，則(1) 當時，是函數