1、二重積分的概念與性質四、設為連續函數，求.解:根據積分中值定理，則至少存在一點使，根據函數的連續性，所以二重積分的計算(1)一、計算下列二重積分:1. ，其中解：3. ，其中解：4，其中解：5. = 三、設f(x,y)在a,b上連續, 證明：證明：令所以函數F(t)為單調不減函數，故結論成立。二重積分的計算(2)三、求由平面與柱面所圍成的立體的體積(a0).解：設D為xoy坐標面的圓面，則四、設閉區域為D上連續函數，且, 求解：五、求, 其中D是由所圍成的，f是連續函數解：因為被積函數在關于y軸對稱的區域D2上是奇函數，從而在關于x軸對稱的區域D1上, , 二重積分的應用一、求由球面和柱面所圍

2、的且在柱面內部部分的體積解：位于柱面內的部分球有四塊，其體積相等，由曲面方程得二、求由曲面和曲面所圍成的立體的體積解：三、求球面被平面所分成的上半部分曲面的面積解：設D為平面區域，由曲面方程得，于是四、求由與所圍立體的表面積解：所圍立體在xoy坐標面的投影區域D為，由曲面方程得，于是由曲面方程得，于是所求表面積為五、設有一半徑為R的空球，另有一半徑為r 的變球與空球相割，如果變球的球心在空球的表面上，問r 等于多少時，含在空球內變球的表面積最大？并求出最大表面積的值解：變球與空球相交線為，它在xoy面投影為：由曲面方程得，于是六、求坐標軸與所圍成三角形均勻薄片的重心解：重心的橫坐標為：重心的縱

3、坐標為：，所以重心為(1,2).七、由螺線與直線圍成一平面薄片D，面密度，求它的質量解：質量為：八、求均勻橢圓關于直線的轉動慣量，并求使轉動慣量最小的m值轉動慣量等于轉動質量與其至轉動中心距離的平方的積；剛體的轉動慣量是由質量、質量分布、轉軸位置三個因素決定的。如果你知道什么是慣性，就能理解什么是轉動慣量。慣性：保持原來勻速直線運動狀態或者靜止狀態的性質，慣性（質量）越大越難改變（容易保持）轉動慣量：保持原來勻速圓周運動狀態或者靜止狀態的能力。舉個例子：呼啦圈轉動時不難停下，但大型機床上的帶動輪轉起來后你能輕易使它停下嗎？轉動慣量的單位為千克米2,符號為kg.m2。解：在橢圓上任取一點P(x,

4、y),P點關于直線的轉動慣量：當m=0時，G最小為。九、求面密度為常數的均質半圓環薄片：對位于z軸上點M0(0,0,a) (a 0)處單位質量的質點的引力F .解由積分區域關于x軸對稱性，有。設引力常數為G，則所以同理，故所求引力FFx，0，Fz。三重積分的概念及其計算一、設為：為：，則( C )A. B. C. D. 二、計算其中是由所圍成的立體解由題設知，在xOy面上的投影區域為所以原式三、計算其中是由所圍成的立體解由題設知，在xOy面上的投影區域為所以原式四、計算其中是由所圍成的立體解由在xOy面的投影域為，可知，原式五、計算其中是由所圍成的立體解由在xOy面的投影域為，可知，原式六、計

5、算其中是由所圍成的立體解由在xOy面的投影域為，可知，原式七、計算其中是由所圍成的立體解由在xOy面的投影域為，可知，原式利用柱面、球面坐標計算三重積分一、計算其中是由所圍成的立體解：為，在柱面坐標系下，為，所以原式 二、計算其中是由所圍成的立體解：為，在柱面坐標系下，為，所以原式三、設為曲線繞z軸旋轉一周形成曲面與平面z=4所圍成的區域，求。解：旋轉曲面為 故為，在柱面坐標系下，為，所以原式 四、，其中是由曲面及所圍成的所圍立體.解由方程得兩曲面的交線為從而在xOy平面上的投影區域為（z=0）在柱面坐標系下，為，所以原式 五、計算，其中是由曲面及所圍成的所圍立體.解: 在球面坐標系下,，六、

6、計算，其中是由曲面 及 所圍成的所圍立體.解: 在球面坐標系下,七、計算，其中是由曲面所圍成的所圍立體.解: 在球面坐標系下,八、將表示成柱面坐標系和球面坐標系的累次積分，其中是由所圍成的所圍立體.解: 在柱面坐標系下,在球面坐標系下,三重積分的應用一、 一物體由圓錐和與圓錐共底的半球拼成，圓錐的高等于球的半徑a，物體上任一點處的密度等于該點到圓錐頂點的平方，求此物體的質量解: 在球面坐標系下,二、設有一半徑為R的球體，P0是此球表面上的一定點，球體上任一點的密度與該點到P0距離的平方成正比（比例常數R 0 ), 求球體的重心位置解:設球體方程為,P0的坐標為(0,0,R),密度函數為,球體的質量為：利用函數關于x軸和y軸的奇偶性有所以重心坐標為：三、設球在動點P(x,y,z)處的密度與該點到球心距離成正比，求質量為m的非均勻球體對于其直徑的轉動慣量解:設球體方程為, ,密度函數為,球體的質量為：所以，密度函數為,計算該球體繞z軸轉動的轉動慣量：四、一勻質