1、1.3函數的單調性與奇偶性教學設計【教學目標】1. 理解增函數、減函數、單調區間、單調性等概念；掌握增（減）函數的證明和判別；學會運用函數圖象理解和研究函數的性質；2. 理解函數單調性的概念及證明方法、判別方法，理解函數的最大（小）值及其幾何意義；3. 理解奇函數、偶函數的概念及圖象的特征，能熟練判別函數的奇偶性.【導入新課】1.通過對函數、及的觀察提出有關函數單調性的問題.2閱讀教材明確單調遞增、單調遞減和單調區間的概念.3.實踐活動：取一張紙，在其上畫出平面直角坐標系，并在第一象限任畫一可作為函數圖象的圖形，然后按如下操作并回答相應問題： 以y軸為折痕將紙對折，并在紙的背面（即第二象限）畫

2、出第一象限內圖形的痕跡，然后將紙展開，觀察坐標系中的圖形；問題：將第一象限和第二象限的圖形看成一個整體，則這個圖形可否作為某個函數y=f(x)的圖象，若能請說出該圖象具有什么特殊的性質？函數圖象上相應的點的坐標有什么特殊的關系？答案：（1）可以作為某個函數y=f(x)的圖象，并且它的圖象關于y軸對稱；（2）若點（x，f(x)）在函數圖象上，則相應的點（x，f(x)）也在函數圖象上，即函數圖象上橫坐標互為相反數的點，它們的縱坐標一定相等. 以y軸為折痕將紙對折，然后以x軸為折痕將紙對折，在紙的背面（即第三象限）畫出第一象限內圖形的痕跡，然后將紙展開，觀察坐標系中的圖形：問題：將第一象限和第三象限

3、的圖形看成一個整體，則這個圖形可否作為某個函數y=f(x)的圖象，若能請說出該圖象具有什么特殊的性質？函數圖象上相應的點的坐標有什么特殊的關系？答案：（1）可以作為某個函數y=f(x)的圖象，并且它的圖象關于原點對稱；（2）若點（x，f(x)）在函數圖象上，則相應的點（x，f(x)）也在函數圖象上，即函數圖象上橫坐標互為相反數的點，它們的縱坐標也一定互為相反數.新授課階段一、函數的單調性增函數：設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數；減函數：設函數y=f(x)的定義域

4、為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是減函數.例1 如圖是定義在閉區間-5，5上的函數的圖象，根據圖象說出的單調區間，及在每一單調區間上，是增函數還是減函數.xy-55xy-55解：函數的單調區間有，其中在區間，上是減函數，在區間上是增函數.注意：1.單調區間的書寫 2各單調區間之間的關系以上是通過觀察圖象的方法來說明函數在某一區間的單調性，是一種比較粗略的方法，那么，對于任給函數，我們怎樣根據增減函數的定義來證明它的單調性呢？例2 證明函數在R上是增函數.證明：設是R上的任意兩個實數，且，則，.所

5、以，在R上是增函數.例3 證明函數在上是減函數.證明：設是上的任意兩個實數，且，則.由，得，且.于是.所以，在上是減函數.利用定義證明函數單調性的步驟：（1） 取值；（2） 計算、；（3） 對比符號；（4） 結論.二、奇函數、偶函數的概念：1偶函數 一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數.2奇函數 一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數.注意：函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內

6、的任意一個x，則x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）.（二）具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱.例4 （1）下面四個結論中，正確命題的個數是（ A ）偶函數的圖象一定與y軸相交；函數為奇函數的充要條件是；偶函數的圖象關于y軸對稱；既是奇函數，又是偶函數的函數一定是f（x）=0（xR）.A1 B2 C3 D4【提示】不對，如函數是偶函數，但其圖象與軸沒有交點；不對，因為奇函數的定義域可能不包含原點；正確；不對，既是奇函數又是偶函數的函數可以為f（x）=0x（，），答案為A.（2）已知函數是偶函數，且其定義域為，則（）A，b0 B，b0

7、 C，b0 D，b0【提示】由為偶函數，得b0.又定義域為， ，故答案為A.例5 判斷下列函數的奇偶性：（1）；(2)；（3）；（4）.解：（1）由，得定義域為，關于原點不對稱，為非奇非偶函數.(2) ， 既是奇函數又是偶函數.（3）由得定義域為， 為偶函數.（4）當時，則，當時，則，綜上所述，對任意的，都有，為奇函數.例6 若奇函數是定義在（，1）上的增函數，試解關于的不等式：.解：由已知得，因f(x)是奇函數，故 ，于是.又是定義在（1，1）上的增函數，從而，即不等式的解集是.例7 已知定義在R上的函數對任意實數、，恒有，且當時，又.（1）求證：為奇函數；（2）求證：在R上是減函數；（3）

8、求在，6上的最大值與最小值.（1）證明：令，可得 ，從而，f(0) = 0.令，可得 ，即，故為奇函數.（2）證明：設R，且，則，于是從而.所以，為減函數.（3）解：由（2）知，所求函數的最大值為，最小值為.，.于是，在-3，6上的最大值為2，最小值為 -4.課堂小結1. 單調遞增、單調遞減和單調區間的概念及判定方法.2. 求函數最值的常用方法有：（1）配方法：即將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的最值.（2）換元法：通過變量式代換轉化為求二次函數在某區間上的最值.（3）數形結合法：利用函數圖象或幾何方法求出最值.3. 判斷函數的奇偶性通常有兩種方法，

9、即定義法和圖象法，用定義法判斷函數的奇偶性時，必須注意首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱單調性與奇偶性的綜合應用是本節的一個難點，需要學生結合函數的圖象充分理解好單調性和奇偶性這兩個性質.作業見同步練習部分拓展提升1.下列四個函數： ; ； ; ，其中在 上為減函數的是（ ） （A） （B） （C）、 （D）、2.函數在和都是增函數，若，且那么（ ）A B C D無法確定3. 已知函數是定義在上的減函數，若，實數的取值范圍為( )A. B. C. D. 4下列命題中，真命題是（ ）A函數是奇函數，且在定義域內為減函數B函數是奇函數，且在定義域內為增函數C函數是偶函數，且在（3，0）上為減函數

10、D函數是偶函數，且在（0，2）上為增函數5若，都是奇函數，在（0，）上有最大值5，則在（，0）上有（）A最小值5B最大值5 C最小值1D最大值36則a的范圍為( ) A B C D 7函數)是單調函數的充要條件是( ) A B C D8已知在區間上是減函數，且，則下列表達正確的是（ ）A BC D9畫出下列函數圖象并寫出函數的單調區間（1） （2）10根據函數單調性的定義，證明函數 在 上是減函數11.設是定義在R上的函數，對、恒有，且當時，.（1）求證：； （2）證明：時恒有；（3）求證：在R上是減函數； （4）若，求的范圍.參考答案1. A 2. D 3.B 4.C【提示】A中，在定義域內不具有單調性；B中，函數的定義域不關于原點對稱；D中，當時，在（0，2）上為減函數，答案為C.5.C【提示】、為奇函數，為奇函數.又有最大值5，2在（0，）上有最大值3.2在上有最小值3，在上有最小值1答案為C.6.D【提示】210時該函數是R上的減函數.7. A【提示】考慮對稱軸和區間端點.結合二次函數圖象.8.D【提示】可轉化為和在利用函數單調性可得. 9.解：(1) 即 如圖所示，單調增區間為，單調減區間為.（2）當，函數當，函數，即.如圖所示，單調增