1、華北水利水電大學相似矩陣的性質及應用課程名稱： 線性代數專業班級：成員組成：聯系方式：2013年n月6日摘要：若矩陣P可逆,則矩陣p-%p與A稱為相似。矩陣相似的概念是為深 入研究矩陣特性而提出的，其中一部分的問題可以轉化為與一個對角化矩 陣相似問題進而使問題研究簡化，而另一些矩陣不能與一個對角矩陣相似，那么這類 問題就只能用定義或者若而當標準型來解決。相似矩陣有很多應用。例如: 利用相似矩陣的性質來確定矩陣中未知元素方法的完整性；兩個相似矩陣 屬于同一個特征值的特征向量之間的關系；矩陣相似與特征多項式的等價 條件及相關結果；尤其是矩陣的標準形及其對角化問題,在高等代數和其 他學科中都有極其廣

2、泛的應用。本文將討論相似矩陣的有關性質及其應 用。關鍵詞：相似矩陣；對角化；Jordan標準型；特征向量；特征值英文題目：The properties and application of similar matrixAbstract： There are a lot of applications about similar matrix.Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted i

3、nto similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to example, we can discuss the integrality of the method by using the properties

4、 of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especiall

5、y, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance.Key words：similar matrices; diagonal matrix; Jordan? s normal form; characteristic value; characte

6、ristic vector引言：矩陣相似的理論是數學分析的重要概念之一，同時也是教學中的難點 之一，特別是矩陣相似與可對角化矩陣問題，在各個版本的數學類圖書中, 往往將這兩個問題緊湊的聯系在一起。由于矩陣相似的應用范圍相當廣泛。本文主要是從矩陣相似定義以及 各種性質的理論基礎上直接引入矩陣在微分方程、H動控制理論基礎等領 域應用的實例并由此進行研究，也使這部分內容能夠相互融合起來，更有 利于學習者的掌握和應用。1.矩陣相似的定義與基本性質矩陣相似的定義設A, B是n階方陣,如果存在可逆陣P使得AP二B,則稱矩陣A與B相 似.若矩陣A相似于對角陣，則稱A可相似對角化，即存在可逆陣P使 pT Ap

7、 =點火（44,4），4,，兒為A的n個特征值.令sm為非奇異矩陣，考察矩陣人工的線性變換B=SaA.令線性變換3的特征值為4對應的特征向量為，即By=將式3fHaS弋入上式，即有54與海或令x = Sy或y=SZ,則式可以寫作比較3尸的和A*注兩式可知，矩陣A和B=SA.1具有相同的特征 值，并且矩陣B的特征向量是矩陣A的特征向量入的線性變換，即 >=5-0由于矩陣A和的特征值相同，特征向量存在線性變換 的關系，所以稱這兩個矩陣“相似二于是：設4、8都是階方陣，若有可逆方陣S,使SA&G，則稱8是A 的相似矩陣。或者說矩陣A與8相似。對A進行運算p-Ap稱為對4進行 相似變換。

8、可逆矩陣夕稱為把A變成8的相似變換陣。矩陣相似的一些基本性質：對稱性：43則84。傳遞性：AB及8C可得:力C。如果階矩陣A, 8相似，則它們有相同的特征值。但逆命題不成立。 相似矩陣另外的一些特性：1)相似矩陣有相同的秩。2)相似矩陣的行列式相等。3)相似矩陣或都可逆，或都不可逆。當它們可逆時，它們的逆也相 似。4) A 3則 M 8。keN、A、A-1 - Bl (若4, 8 均可逆)、|月宅小是/從而A , 8有相同的特征值。5) .若A與B都可對角化,則A與B相似的充分條件是A與B由相同 的特征多項式.6) . A的屬于同一特征值人的特征向量的線形組合只要不是零向量, 仍是對應4的特征

9、向量.7) . A的屬于不同特征值的特征向量線形無關.8) .實對稱矩陣A的特征值都是實數，屬于不同特征值的特征向量正 交.9) .若是實對稱矩陣A的r重特征值,則A對應特征值力恰有r個線 性無關的特征向量.10) .任何一個n階復矩陣A都與一個Jordan形矩陣J相似.11) .對n階方陣A,以下三條等價：(DA可對角化；(2)A有n個特征值(重根按重數計)，且Vr (>1)重特征值幾；(3)A有n個線性無關的特征向量.12) .對角化的基本方法有如下兩種:特征值法，特征向量法.相似矩陣與若爾當標準形雖然非單純矩陣不能相似于對角陣，但它能夠相似于一個形式上比對 角矩陣稍微復雜的若爾當標

10、準形由于若爾當標準形的獨特結構揭示了兩個矩陣相似的本質關系，故在數值計算和理論推導中經常采用。利用它 不僅容易求出矩陣A的乘累，還可以討論矩陣函數和矩陣級數，求解矩陣 微分方程。定義：形如14 1 4 14叫X網的方陣稱為明階若爾當塊。其中4可以是實數，也可以是復數。定理：矩陣的充要條件是他們相應的特征矩陣A =每個階復矩陣A都與一個若爾當標準形,相似，且這個若爾當標準形在不計其中若爾當塊的排列次序時，完全有矩陣A唯一決定。復矩陣A可對角化的充要條件是A的特征矩陣的初等因子全為一次 式。2.相似矩陣在微分方程中的應用許多實際問題最后都歸結為求解微分方程（組）的問題.因此，如何求 解微分方程（組

11、）是個很重要的問題.下面舉例說明特征值和特征向量，約 當標準形在其中的應用.將常系數線性微分方程組du.丁 = %必+%22 +. + /“”； atdiiy丁 =。21%+222 +atdun1丁 =""必+""2"2+-+3(2-1)寫成矩陣形式3 "(2-2)其中 u=(“,2-一,")'，A = (&)".“為系數矩陣，令(3-2)式的解 u= e/JX ,(2-3)即(M1,M2,-,wn)7 =e/U(x1,x2,- )7 .將(2-3)式代入(2-2) Ae/jx = AeA,x =

12、eAtAx,化簡得AX =封，即(2-3)式中為A的特征值,X為九對應的特征向量;若A 可對角化,則存在n個線性無關的特征向量西,勺,與,于是得至心2-2)式的 n個線性無關的特解.U1 e%1, u2 =e/：,x2, , un =e/"txH.它們的線性組合u = C 1 ”鵬+c 2+c ”，(2-4)(其中c“2,c”為任意常數)為(2-1)式的一般解，將(2-4)式改寫成矩陣 形式c二(q,Q，, e = diag (e”e為，/)P= (xlyx2, -,xn),則(2-1)式 或(2-2)式有一般解%= 0 ="(2-5)對于初值問題(2-6)解為(2-7)因

13、為廿0代入(2-5)式得例2解線性常系數微分方程組dx.T = X +工2； atdx, A .-=-4x. +;dtdx.八=-Xi + 2& dt已知初始值為：陽(0) = 1,±(。) = -=2.解本題的初始值問題為dtdx=Ax.r(0) = %=(-1,2)7110其中A= -4 5 0 ,可得A的約當標準形，即有可逆矩陣1 0 22 0 0使 P“AP=J= 0 3 10 0 3由(2-7)式，該初值問題的解為(2-8)八/+絲1+"1+,2!(2-9)Jn =20003"003Z,_, C*3(2-10)將(2-10)式代入(2-9)式得(

14、2-11)再將(2-11)式及P, P一代入(2-8)式得251/ 0 00 心 tei,0 0 /-3 15 -2-2 11-12對于階線性齊次常系數微分方程(2-12)可令dx e dT+ anx(t) = Odx d2x萬=占而于是可得與方程(2-12)同解的方程組dx1dtdx2dtdx丁5(2-13)式(2T3)可寫成矩陣形式%AX(2-14)其中T (IX/dx1dx、dxtx、7X =(占，A,一=(,，T ,出dtdtdt- 01 0 00 0A =.* *00 1一 - 一4一于是這類微分方程可以歸納為等價的線性微分方程組，然后再利用特 征值和特征向量求解.例2.求解微分方程

15、.d2x 萬T不一4 dx ，八 八4 + 12x = 0dt(2-15)解令于是(2-15)式可變成等價的方程組dx一= 12再 + 4.Q + 3占其中X = (xpx?,x3)r ,=( atdx. dx, dx. IJdt dt dt00-12可求得A的特征值為4 =3,% =2,4=-2,對應的特征向量分別為X1 = (1,3,9尸了) = (124)7 ,x, = (1,-2,41于是由上例知,X =+ C2X2/2r + 陽1-24從而x = x= Ge" + c2e21 + ge"'其中G（" = 1,2,3）為任意常數.3相似矩陣在現實生

16、活中的應用例3.污染與環境發展的增長模型一一發展與環境已成為21世紀各國 政府關注的重點，為了定量分析污染與工業發展間的關系，我們可提出以 下的工業增長模型：解 設X。是某地區目前的污染水平（以空氣或河湖水質的某種污染指 數為測量單位），y。是目前的工業發展水平（以某種工業發展指數為測量 單位），以5年作為一個期間，第/個期間的污染和工業發展水平分別記為 乂,和丫（，它們之間的關系是：X = 3% + .t二 1, 2,<,=2九十2九(3-1)則(3-1)的矩陣形式為區=A"t=l, 2,(3-2)如果已知該地區目前(亦稱為基年)的污染和工業發展水平 生二1%打，利用(3-2

17、)就可以預測第k個期間該地區的污染和工業發展 水平以，這是因為由(3-2)可得% = Aa(),a2 =4% = A2aOi-,ak = 4, .這表明可通過A"求得,為此考察A能否對角化,計算出A的特征多項式./ _ 3 - 1f(A)=AE-A =；，、=(A-1)(2-4)一，A 2由A有2個相異的特征值1和4知,A能對角化,所以可用性質來計算淤. 對于4 =1，解出-A)X=O,可得A屬于1的一個特征向量。=1 2 對于4 = 4,解(4E- A)X =。,可得A屬于4的一個特征向量多=1 1了 .令尸=當多1有A二尸"沁gl 4儼，屋=Pdia 4,卜=1T1 0

18、-11 lfl + 2* 7 + 4火1_ 0 4*J3|_2一2 + 2*4* 2 + 4"一屋4工。+ 2*飛+ 4"3(-2 + 2木4 )x0+(2 + 4 )y0(3-3)就是所要的預測結果,對不同的為值代入(4-3)即可求得見.例如：若4=1，有4 =陵4吁，(實際上此時就是屬于4的特征向量,所以% =Aa =4"% =(4&4吁);若 =1 2，有4 =1-1+4*+, 2 + 4 可.這些都表明，盡管工業發展水平可以達到相當高的程度，但照此模式發 展，環境污染不容忽視.例4.人口流動模型一一假設某省城人口總數保持不變,每年有20% 的農村人

19、口流入城鎮，有10%的城鎮人口流入農村.試問該省城人口與農 村人口的分布最終是否會趨向一個“穩定狀態”為解答這個問題，可設該省城人口總數為m,從今年開始,第k年該省 城的城鎮人口和農村人口分別設為乞，兒，據題意有4 =09k+°.2”.1.”=01七-1十°8果.】0.9 0.2 A =0.1 0.8% = A%_ = A(4Zi ) = = A4為計算4。仍考察4能否對角化.計算出A的特征多項式/(4)=火止2-0.9 -0.2-0.1 2-0.8= (2-1)(2-0.7)由于A有2個相異的特征值1和知，A能對角化，所以可用性質來計算屋.對于4 =1解(E-A)X=0可

20、得4屬于1的一個特征向量芻=2 if ; 對于4=0.7解(0.7E-A)% = 0可得A屬于的一個特征向量4=1 -I7 .令。=偉 芻，有 A = Ragl 0.7JP-1,=Pdiag (0.7/P-1_ '2 1 iFl 0 liFl 1 _ 112 + (0.7)* 2-2*(0.7/".I -iJLO (0.7/J 3 1 _2_|_Q|j_(0.7)« l + 2*(0.7/利用玉）+2=?，可得2+ (0.7/ 2-2*(0.7/ I-(0.7)x 1 + 2*(0.7/ JL>o.2/n + (x0-2y0 )(0.7/ m-(x0-2y0

21、)(0.7/21從而有演=：? +4(工0一2%)(07)人%=-,n (天)- 2 %)(0.7 y數列4，”的極限為r 2 r 1lim xk= m, lim yk = 一 mAtx 3 kT8- 3這表明該省城的城鎮人口與農村人口的分布會趨于一個“穩定狀態”:大約有I為城鎮人口 為農村人口.4.矩陣相似在代數方面的應用.例5.某實驗性生產線每年一月份進行熟練工與非熟練工的人數統計，然后將!熟練工支援其他生產部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊。新、 6老非熟練工經過培訓及時間至年終考核有-成為熟練工。設第年一月份5x統計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為匕和記成向量。LyJ求4 與卜的關系

22、式并寫成矩陣形式:卜 = A卜;L%U 卜_4IF-1（2）驗證7=:，小=1是A的兩個線性無關的特征向量，并求出相£2時，求布11%川2.應的特征值；當卜,52 1X+l = Xn + £（£ / +）'）解：（1）按題意有65 631、=（二七 + %）924+1 =示七十£久化簡得 105對其用矩陣表示即為93二 io 121r_9_ 2目于是4”：.10 5JLio 5.4 -1令P =（7，%）=,則由|P| = 5WO知，小，%線性無關。因1 1A=： = 7。故7為A的特征向量，且相應的特征值4=1。因A%= J =；小，故%為A的特征向量，且鄉音的特征值為4=：。_5 .（3）由于有于是有A=P1 4A =因此有二A二 A-Ki£2£5.，有人=