1、現代控制理論課程設計倒置擺概念倒置擺是處于倒置不穩定狀態，認為控制使其處于動態平衡的一種擺。如級演員頂桿的物理機制可簡化為一級倒立擺系統，是一個復雜、多變量、存在非線性、非自知不穩定系統。常見的倒立擺系統一般由小車和擺桿兩部分構成，期中擺桿可能是一級、兩級甚至多級。在復雜的倒立擺系統中，擺桿長度和質量均可變化。據研究的目的和方法不同，又有懸掛式倒立擺、求平衡系統和平行式倒立擺等。 z如圖所示，設擺的長度為l、質量為m，有鉸鏈安裝在質量為M的小車上。小車有一臺直流電動機拖動，在水平方向對小車世家控制力u，相對參考位移z。如不給小車世家控制力，則單倒擺會想做或向右傾倒。我嗎的控制目的在于，當倒置擺

2、無論出現想做或向右傾倒時，通過控制直流電動機，使小車在水平方向運動，將倒置擺保持在垂直位置上。為了簡化問題，我們忽略一些次要因素：擺桿的質量、執行電動機的慣性以及擺軸、輪軸、輪與接觸面之間的摩擦及風力等。【建模分析】一、列出微分方程設小車水煎位置為z，倒置擺出現的偏角為，則擺心瞬時位置為（z+ lsin）。在控制力u的租用下，小車及擺均產生加速運動，根據牛頓第二定律，在水平直線運動方向的慣性力應與控制力u平衡，則有M+m（z +l sin）=u即（M + m）-ml=u 由于饒白軸旋轉運動的慣性力矩應與重力矩平和，因而有m（z +l sin）l=mg l即+l 二、線性化處理由于控制的目的是保

3、持道白之力，因此，在施加合適u的條件下，可以認為均接近零，此時，且可忽略項，于是將式化簡為（M+m）+ml=u =g 由，可得=-+u =-u 消去中間變量，課得到輸入量為u、輸出量為z的系統微分方程為-u三、列出狀態方程選取小車的位移z及其速度、擺的角位置及其角速度作為狀態變量，z作為輸出變量，并考慮恒等式=，=及式子，可列出系統的狀態空間表達式為 0 1 0 0 0 0 0 - 0 = 0 0 0 1 X + 0 u 0 0 0 Y = 1 0 0 0 X式子中 X =嘉定系統參數M = 1kg，m = 0.1kg， l = 1m，g = 9.81m/，則狀態方程中參數矩陣為 0 1 0

4、0 0 0 0 -1 0 1A = 0 0 0 1 b = 0 c =（1 0 0 0） 0 0 11 0 -1四、被控對象特征分析1、能控性、能觀性分析利用秩判據，rank M = rank （b Ab b b）= 4, 即滿秩，rank N = rank （c Ac c c）= 4，即滿秩。因此，單倒置擺的運動狀態是可控的、可觀測的。2、穩定性分析利用MATLAB仿真，變量的結果：變量z的結果：變量的結果：變量的結果：很顯然，系統是發散的，系統不穩定。須要對被控系統進行反饋綜合，使得系統能夠收斂，使系統處于漸近穩定或大范圍漸近穩定，從而滿足系統的穩定工作并達到良好的動、靜態性能。【解決方案

5、】采用全狀態反饋。去狀態變量z、為反饋信號，狀態反饋控制規律為u=v-kx設 k=（ ）式中，分別為z、反饋至參考輸入v的增益。則閉環控制系統的狀態方程為設置期望閉環極點為-1，-2，-1+i,-1-i由matlab可求得： =-0.4，=-1，=-21.4，=-6程序如下：如下圖畫出狀態反饋系統結構圖：圖像顯示：變量z的結果：變量的結果變量的結果：變量的結果：如仿真圖可知，單倒置擺的全狀態反饋為穩定的閉環系統。觀察仿真曲線：單位階躍的作用下，輸出變量逐漸趨于某一常數，狀態變量則是逐漸趨于0。當參考輸入v單位階躍時，狀態向量在單位階躍的作用下相應逐漸趨于穩定，這時擺桿回到原始位置（即=0），小

6、車也保持穩定（即z=某一常數）。如果不將4個狀態變量全用作反饋，該系統則不能穩定。全維觀測器的設計為實現單倒置擺控制系統的全狀態反饋，必須獲取系統的全部狀態，即z、的信息。因此，需要設置z、的四個傳感器。在實際的工程系統中往往并不是所有的狀態信息都是能檢測到的，或者，雖有些可以檢測，但也可能由于檢測裝置昂貴或安裝上的困難造成難于獲取信息，從而使狀態反饋在實際中難于實現，甚至不能實現。在這種情況下設計全維狀態觀測器，解決全維狀態反饋的實現問題。1、 判斷被控對象的狀態能觀性。由前面的分析判斷，可知，系統是能觀測的。2、全維觀測器的運動方程為 式中 全維觀測器已G配置極點，決定狀態向量估計誤差衰減

7、的速率。 設置狀態觀察器的期望閉環極點為-2，-3，-2+i,-2-i。由于最靠近虛軸的希望閉環極點為-2，這意味著任一狀態變量估計值至少以規律衰減。其中，G由下程序得到：故：=9，=42，=-148，=-492用全維狀態觀測器實現狀態反饋的結構圖如下：圖像顯示：變量z的結果：變量的結果：變量的結果：變量的結果由以上分析可見狀態反饋系統為穩定閉環系統,，仿真結果表明狀態反饋控制理論對倒立擺系統的控制是有效的，倒立擺能夠被控穩定。狀態反饋系統的主要優點是極點的任意配置這為我們提供了控制系統的手段, 假如系統的所有狀態都可以被測量和反饋的話, 狀態反饋可以提供簡單而適用的設計。系統通過MATLAB對單級倒立擺系統進行仿真控制研究，仿真結果表明狀態反饋控