1、電磁場的數值計算方法物理系0702班 學 生 杜星星 指導老師 任麗英摘 要：數值計算方法是一種研究并解決數學問題數值近似解的方法， 廣泛運用于電氣、軍事、經濟、生態、醫療、天文、地質等眾多領域。 本文綜述了電磁場數值計算方法的發展歷史、分類，詳細介紹了三種典型的數值計算方法有限差分法、有限元法、矩量法, 對每種方法的解題思路、原理、步驟、特點、應用進行了詳細闡述, 并就不同方法的區別進行了深入分析, 最后對電磁場數值計算方法的應用前景作了初步探討。關鍵詞：電磁場；數值計算；有限差分法；有限元法；矩量法引言自從1864年Maxwell 建立了統一的電磁場理論，并得出著名的Maxwell 方程以

2、來，經典的數學分析方法是一百多年來電磁學學科發展中一個極為重要的手段, 圍繞電磁分布邊值問題的求解國內外專家學者做了大量的工作。在數值計算方法之前, 電磁分布的邊值問題的研究方法主要是解析法，但其推導過程相當繁瑣和困難,缺乏通用性,可求解的問題非常有限。上個世紀六十年代以來,伴隨著電子計算機技術的飛速發展,多種電磁場數值計算方法不斷涌現,并得到廣泛地應用,相對于解析法而言,數值計算方法受邊界形狀的約束大為減少,可以解決各種類型的復雜問題。但各種數值計算方法都有一定的局限性,一個復雜的問題往往難以依靠一種單一方法解決，因此如何充分發揮各種方法的優勢,取長補短,將多種方法結合起來解決實際問題,即混

3、合法的研究和應用已日益受到人們的關注。本文綜述電磁場的數值計算方法，對三種常用的電磁場數值計算方法進行分類和比較。1電磁場數值計算方法的發展歷史在上世紀四十年代，就有人試探用數值計算的方法來求解具有簡單邊界的電磁場問題，如采用Ritz法1，以多項式在整個求解場域范圍內整體逼近二階偏微分方程在求解域中的解。五十年代，采用差分方程近似二階偏微分方程，誕生了有限差分數值計算方法，開始是人工計算，后來采用機械式的手搖計算機計算，使簡單、直觀的有限差分法得到應用和發展，該方法曾在歐、美風行一時。1964年美國加州大學學者Winslow以矢量位為求解變量，用有限差分法在計算機上成功地解算了二維非線性磁場1

4、，此后有限差分法在工程電磁場計算領域大為發展。 1965年，Winslow首先將有限元法從力學界引入電氣工程中，1969年加拿大MeGill大學P. P. Silvester運用有限元法成功地進行了波導的計算2；七十年代初，P. P. Silvester和M. V. K. Chari合作將有限元法應用于二維非線性磁場的計算，成功地計算了直流電機、同步電機的恒定磁場。此后有關有限元法探討的論文越來越多，有限元法運用的范圍由靜態場到渦流場到輻射場，由線性場到非線性場，由各向同性媒質到各向異性、要考慮磁滯損耗，由工程電磁場到生物電磁場等等。有人認為有限元法是求解工程電磁場的最有效最成功的方法。 有限

5、元法和有限差分法都是求解邊值問題的方法，屬于微分方程法。對于開區域或要求求解連續分布場量的區域，這類方法就會受到自身的限制。1972年英國盧瑟福實驗室的等人提出了積分方程法的思想，給出了二維、三維場問題的離散形式2，由于此種方法只需離散源區，不需考慮邊界條件，所以它較好地解決了無界開域場和要求連續計算場量的問題。該方法計算精度高，但計算量很大。該實驗室Sinkin等人又在積分方程法基礎上提出了邊界積分方程法(又稱邊界元法)，用此解決線性場的計算，計算量大為減小。此后該室的學者們將積分方程與微分方程法結合起來，提出了求解三維靜磁場的雙標量位法等。 在解決天線輻射場、散射場問題中，矩量法是一個很重

6、要的數值計算方法。1968年R. F. Harrington發表了專著“Field computation by Moment Method”，對散射場、天線輻射場、波導場等方面的問題起了很好的推進作用。除以上所介紹的方法外，隨著電磁場數值分析的不斷發展，各種新方法不斷涌現，如計算電場的模擬電荷法，最小二乘配點法，求解磁場的模擬電流法，以及計算場的圖論模型法，快速Fourier變換法、有限體元法、無網格計算法等等。各種方法互相配合，出現了一些混合方法，如：矩量法模擬電荷法、模擬電荷法有限元法、有限元法邊界元法等，有效地解決了一些實際問題。近年來人工神經網絡，小波理論3等也引入了電磁場的數值計算

7、中，瞬態電磁場計算如時域有限差分法的應用有了長足的發展。總之隨著現有的電磁場數值計算方法的不斷深入發展、提高和完善，新的方法不斷產生。在電磁場的數值解法不斷發展的同時，人們并沒有忘記長期以來所運用的解析方法。解析法計算結果精確，且可以用解析式表達計算結果，受這些特點吸引，解析法與數值計算方法相結合形成的半解析法應運而生，也成為了一種主流解算方法，并還在不斷發展。 電磁場數值計算方法發展走向成熟的一個重要標志是：成熟的方法越來越多地應用于工程實際問題中，商業化通用軟件包不斷出現4。一個商業化軟件包通常由下面幾部分組成： 以上三部分中前、后處理占用了軟件包語句的90%以上，編程的主要工作量在此，而

8、數據處理，也就是我們目前正在學習的數值計算方法僅占軟件語句的10%以內，但它卻是占用計算機內存量和消耗CPU時間的主要部分。2 電磁場數值計算方法的分類求解電磁問題的最終要求就是獲得滿足實際條件的Maxwell方程的解，借助于計算數學中的數值算法能夠得到大多數電磁問題的近似解。數值算法的基本思想5就是把連續變量函數離散化，把微分方程化為差分方程；把積分方程化為有限和的形式，從而建立起收斂的代數方程組，然后利用計算機技術進行求解。數值計算方法從求解方程的形式看，主要分為積分方程法和微分方程法兩大類。積分方程法主要有矩量法和邊界元法，微分方程法主要有有限差分法和有限元法。對兩種方程法的比較，如表一

9、所示。表一 積分方程法和微分方程法的比較積分方程法微分方程法共性對場問題的處理是一致的，即需離散化場域，結果是數值解不 同 點離散域僅在場源區，無需對整個場域離散整個場域計算對象場量先求位函數，再求場量求解域可在場域內某一局部區域求解，也可在全場域內求解全場域內求解計算程度較高較低應用不適用邊界區域復雜的場域邊界形狀復雜的場域較易處理聯系兩種方法的結合形式，可處理較復雜的電磁場問題3 幾種重要的數值計算方法3.1 有限差分法在電磁場數值計算方法中，有限差分法是應用最早的一種方法。有限差分法以其概念清晰，方法簡單、直觀，有大致固定的處理和計算模式，具有一定的通用性等特點，在電磁場數值分析領域內得

10、到了廣泛的應用。3.1.1 有限差分法的基本原理有限差分法的基本思想是把連續的定解區域用有限個離散點構成的網格來代替，這些離散點稱作網格的節點；把連續定解區域上的連續變量的函數用在網格上定義的離散變量函數來近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問題在離散點上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問題在整個區域上的近似解。 3.1.2 差分與差商設函數的自變量有一小增量，則的增量為 （3.1）為函數的一階差分。當增量足夠小，差分與微分之間的差才足夠小。一階差分是自變量

11、的函數。按式（1）,計算的差分稱二階差分，且 （3.2）函數的一階導數為 應用差分，可表示為 （3.3）故可表示為差分除以有限小差分的商，稱為差商。 同理，函數的二階導數可表示為 （3.4）3.1.3 差分方程的構造現以二維靜態電、磁場泊松方程的第一類邊值問題為例，來具體闡明有限差分法的應用。設具有平行平面場特征的電磁場場域,如圖1所示,為一由閉合邊界所界定的平面域，其定解條件可表述為 （3.5） （3.6） 對于所給定的偏微分方程定解問題，應用有限差分法，首先需從網格剖分著手決定離散點的分布方式。原則上，可以采用任意的網格剖分方式，但這將直接影響所得差分方程的具體內容，進而影響解題的經濟性與

12、計算精度。為簡化問題，通常采用完全有規律的分布方式，這樣在每個離散點上就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解題速度，因而經常采用正方形的網格的剖分方式。現即以這種正方形網格剖分場域，也就是說，用分別與兩坐標軸平行的兩簇等距網格線來生成正方形網格，即xL03MDyhh124圖1 正方形網格劃分 為步長，網格線的交點稱為節點，這樣域就離散化為由網格節點標成的離散點得集合。對場域中節點是一典型節點，它與周圍的1，2，3和4點構成一個對稱星型。設這些離散點上待求函數的近似值記為 ，則式（6）可近似離散化為（3.7）即 （3.8） 若式（6）=0,則節點上函數的值等于其四周相鄰點函數值的平均。因為差分

13、方程（7），（8）只出現待求函數在點及其四個臨近點的值，故稱之為五點差分格式6，根據差分方程組解出各離散點處的待求函數值。3.2 有限元法傳統的變分法在20世紀二三十年代為其新型時期，理論上發展很快，各種變分問題的最后求解都可歸結為解尤拉方程的邊值問題，然而只有在一些特殊情況下尤拉方程才能求出精確解，在大多數情況下，尤拉方程的精確解無法求出。四五十年代，隨著計算機的出現，使其在實際應用中逐漸為比較靈活、通用的有限差分法所替代。但是，有限差分法在理論上沒有以變分原理為基礎，因而其收斂性和數值穩定性往往得不到保證。隨后發展形成的有限元法正是變分法與有限差分法相結合的成果，它取長補短地在理論上以變分

14、原理為基礎，在具體方法構造上又利用了有限差分法網格離散化處理的思想7。3.2.1 有限元法的基本原理dxdsA(x1, y1)B(x2, y2)xy圖2 最速降線問題O有限元法是以變分原理為基礎，將要求解的微分方程型數學模型邊值問題，首先轉化為相應的變分問題，即泛函求極值問題；然后，利用剖分插值將變分問題離散化為普通多元函數的極值問題，最終歸結為一組多元的代數方程組，求解該方程組，從而獲得邊值問題的數值解。3.2.2 泛函、變分問題簡介 在微積分學形成初期，以數學物理問題為背景，與多元函數的極值問題相對應，已在幾何、力學上提出了若干個求解泛函極值的問題。如圖2中的質點最速降線問題所述，質點A從

15、定點自由下滑到定點B，試求使滑行時間最短的質點下滑軌道。圖示滑行弧段所需時間為 滑行總時間為 （3.9）（3.9）式不僅取決于積分端點和，而且取決于的選取。取決于，所以是函數的函數，稱之為的泛函，記作。于是所述之最速降線問題，在數學上就歸結為研究泛函的極值問題，即 （3.10）泛函的極值問題就稱為變分問題。對一般問題而言，可導出下列對應于一個自變量、單個函數及其導數的已知函數 （3.11）式中為、和的已知函數。泛函的自變量不是一般的自變量，而是一個或幾個函數所屬的函數族。在端點和上分別等于給定值的無數個函數中，僅有一個能使定積分達到極小值，此函數稱為極值函數。因此，變分問題就在于尋求使泛函達到

16、極值的該極值函數，即分析研究泛函的極值問題。3.2.3 泛函的變分與尤拉方程泛函變分問題的經典解法有兩種，一種稱之為直接解法，另一類是間接解法。直接解法是直接把泛函的極值問題近似地轉化為一般多元函數的極值問題，用有限維子空間中的函數去逼近無窮維空間中的極值函數，從而近似求得泛函的極值。間接解法是將變分問題轉化為尤拉方程（微分方程）的定解問題，即邊值問題來求解。以式（3.11）這種最簡形式來推導尤拉方程。設函數稍有變化，記作，稱之為的變分，它反映了整個函數的變化量。這樣泛函的值也應隨之變動，相應于變分的泛函增量為 （3.12）將（3.12）式由多元函數的泰勒公式展開 （3.13）式中作為泛函增量

17、的線性主部為 （3.14）稱為泛函的一次變分（簡稱變分）。而、分別是函數變分及其導數的二次、三次齊次式等的積分，依次稱為二次變分，三次變分令變分問題的解為，且設極值解稍有變動，令 （3.15）式中為任意給定的微量實參數，值就確定了函數族中的某一曲線，進而確定泛函之值；而是定義于區間且滿足齊次邊界條件的可微函數。于是泛函=就成為變量的函數，且當時獲極值函數的解。在時取得極值的必要條件是 （3.16）利用分部積分，并根據變分與微分順序可互換原理，(3.16）式可寫為 （3.17）由于（3.17）對任意均成立，故有 （3.18）方程（3.18）就稱為泛函（3.11）的極值問題的尤拉方程。綜上所述，有

18、限元法的基本特點是：（1）離散化過程保持了明顯的物理意義。這是因為，變分原理描述了支配物理現象的物理學中的最小作用原理（如力學中的最小勢能原理、靜電學中的湯姆遜定理等）。（2）優異的解題能力。 與其他數值計算方法相比較，有限元法在適應場域邊界幾何形狀，以及媒質物理性質變異情況復雜的問題求解上，有突出的優點。（3）從數學理論意義上講，有限元法作為應用數學的一個重要分支，很少有其他方法應用的這樣廣泛。它使微分方程的解法和理論面目一新，推動了泛函分析與計算方法的發展。3.3 矩量法矩量法，是近年來在天線、微波技術和電磁波散射等方面廣泛應用的一種方法。從這些實際問題涉及開域、激勵場源分布形態較為復雜等

19、特征出發，矩量法是將待求的積分方程問題轉化為一個矩陣方程的問題7，借助于計算機，求得其數值解，從而在所得激勵源分布的數值解基礎上，即可算出輻射場的分布及其波阻抗等特性參數。3.3.1矩量法的基本原理先選定基函數對未知函數進行近似展開，代入算子方程，再選取適當的權函數，使在加權平均的意義下方程的余量等于0，由此將連續的算子方程轉換為代數方程。原則上，矩量法可用于求解微分方程和積分方程，但用于微分方程時所得到的代數方程組的系數矩陣往往是病態的，故在電磁場問題中主要用于求解積分方程。3.3.2 加權余量法設給定邊值問題的場方程統一表述為如下的算子方程，即 （3.19）已知邊界條件為 （3.20） （

20、3.21）其中: 是線性算子,是待求函數, 是已知的源。若為精確解，則方程(3.19)和邊界條件(3.20),(3.21)應該完全滿足。但大多數情況下，不能得到的精確解，只能通過數值方法進行估計。構造一個由有限個線性無關函數(=1,2,)所組成的基函數集合，借以展開待求函數的近似解為 （3.22）將代入式(3.19)中必然存在誤差，即 (3.23) 取一個歸屬于試探函數的權函數集合，令 (=1,2, ,) （3.24）式(3.24)由個方程構成的方程組，它等價于人為地強制近似解，使其因不能精確地滿足場方程而導致的誤差在平均的含義上等于零。按式(3.24)展開，所構成的各種求解積分或微分方程近似

21、解的方法可被統稱為加權余量法8。因為按給定權函數展開式的式(3.24)，即意味著余量對取矩的一組平衡式，故式(3.24)的構造亦就被稱為矩量法。基于加權余量式(3.24)，進行移項處理，便得 (=1,2, ,) （3.25） 將式(3.22)代入式(3.25)的左端，有 （3.26）為了書寫方便，令 和代入(3.26)式，則可寫成 （3.27）這樣，即展開成含個未知數的個方程。若用矩陣形式表示，則有 （3.28）綜上所述，矩量法的特點是：矩量法將連續方程離散化為代數方程組, 既適用于求解微分方程, 又適用于求解積分方程。它的求解過程簡單, 求解步驟統一, 應用起來比較方便，然而需要一定的數學技

22、巧, 如離散化的程度、基函數與權函數的選取, 矩陣求解過程等。另外必須指出的是, 矩量法可以達到所需要的精確度、解析部分簡單, 可計算量很大, 即使用高速大容量計算機, 計算任務也很繁瑣。4 電磁場數值計算的應用前景電磁場數值計算方法近六十年來發展如此之快，除由于從事這方面的科研人員的努力之外，主要是其研究成果迅速被電機、電器、變壓器、加速器、微波器件、計算機磁頭等領域采用9，對改善產品性能、降低生產成本，起著越來越大的作用。眾所周知，任何電磁器件，包括國民經濟中應用極其廣泛的電機與變壓器，其能量轉換都是通過電磁場來實現的。但傳統的電磁產品的設計方式由于客觀條件與手段的限制，把場的實際分布參數

23、當作集中參數處理，不可避免地帶來相當大的誤差。在迫不得已的情況下，只能用模擬、實驗等方法處理，其耗費大、周期長，可借鑒的經驗不多，而實驗的模擬也不都是有條件的，此外，工農業和日常生活中所用電磁裝置越來越多，生產和銷售競爭劇烈，因此有效的設計方法顯然受到重視。在采用電磁場數值計算以前的任何方法，即使是十分精巧的代數解析方法，也只能適用于特別簡單的幾何結構以及一些特殊的假定模型，有時模型甚至簡化到不能容忍的程度，但除此之外別無它法。因為實際的電磁場問題，特別是電機電磁場，其邊界情況十分復雜，加上鐵的飽和以及導體中的渦流效應，解析方法是無能為力的。而數值方法可以模擬復雜的形狀，可以適應非線性問題，可

24、以進行渦流的分布計算。電磁場的數值計算與流體力學分析、溫度分析、機械應力分析、電磁力分析和生產計劃等等有機聯系起來，由計算機完成全部設計，構成所謂CAE10系統(Computer Aided Engineering)。CAE系統基本可包括設計與制造的全部過程，產品的設計、制造方案、準備零件、草圖、計算、成本核算、生產、機床數控和試驗、模擬和產品的自動測試都可能列入到CAE系統中。目前CAE系統在西方國家發展很快，估計每年增長40%，尤其在機械行業中，形成了所謂CADMAT即計算機輔助設計、加工與試驗。從長遠觀點看，電磁場數值計算要發揮更實際的作用，必須與其他多種學科相結合以形成CAE系統，CA

25、E的發展必然給工業結構上帶來巨大的變化。結束語數值計算是一門計算的藝術，電磁場的數值計算橫跨了多個學科，是數學理論、電磁理論和計算機應用能力的完美組合。通過本次論文設計，我對差分、變分、泛函、加權余量法等數學知識有了深刻的認識，掌握了有限差分法、有限元法、矩量法的基本原理，并能進行簡單的運算。但若用數值計算方法解決復雜的電磁場問題，則在很大程度上依賴于數學知識及計算機編程能力，這就需要進一步系統學習相關的理論知識。參考文獻1 文舸一計算電磁學的進展與展望J電子學報，1995，23(10)：62-692 劉圣民電磁場的數值方法M武漢：華中理工大學出版社，1991：23-453 鄧東皋，彭立中小波

26、分析J數學進展，1991， 20(3)： 294-3104 洪偉計算電磁學研究進展J東南大學學報（自然科學版），2002，32（3）：335-3395 倪光正，楊仕友，錢秀英等工程電磁場數值計算M北京：機械工業出版社，2003： 123-1616 盛劍霓工程電磁場數值分析M西安：西安交通大學出版社，1991： 69-757 方靜，汪文秉有限元法和矩量法結合分析背腔天線的輻射特性J微波學報，2000，16(2)：139-1438 連漢雄電磁場理論的數學方法M北京：北京理工大學出版社， 1990：10-15 9 張平文，劉法啟，張宇小波函數值的計算J計算數學，1995(3)：173-18510 樓

27、仁海，符果行，袁敬閎電磁理論M成都：電子科技大學出版社，1996：73-102 Electromagnetic numerical method Department of Physics 0702 Student Du XingXing Tutor Ren LiYing Abstract：Numerical calculation, which is widely used in many fields, such as electric, military affairs, economy, ecology, medical treatment, astronomy, geology and so on is a method of getting the numerical approximate solution in the studying and solving of mathematical problems. This paper reviews the development history and classification of the electromagnetic numerical calculation, and explicitly introduces three typical numerical calculati