第五專題 矩陣的數值特征行列式范數條件數跡秩相對特征根_第1頁
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文檔簡介

1、第五專題 矩陣的數值特征(行列式、跡、秩、相對特征根、范數、條件數)一、行列式已知Ap×q, Bq×p, 則|Ip+AB|=|Iq+BA|證明一:參照課本194頁,例4.3.證明二:利用AB和BA有相同的非零特征值的性質;從而Ip+AB,Iq+BA中不等于1的特征值的數目相同,大小相同;其余特征值都等于1。行列式是特征值的乘積,因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值(不等于1)的乘積,所以二者相等。二、矩陣的跡矩陣的跡相對其它數值特征簡單些,然而,它在許多領域,如數值計算,逼近論,以及統計估計等都有相當多的應用,許多量的計算都會歸結為矩陣的跡的運算。下面討論有關跡的一

2、些性質和不等式。定義:,etrA=exp(trA)性質:1. ,線性性質;2. ;3. ;4. ;5. 為向量;6. ;從Schur定理(或Jordan標準形)和(4)證明;7. ,則,且等號成立的充要條件是A=0;8. ,則,且等號成立的充要條件是A=B();9. 對于n階方陣A,若存在正整數k,使得Ak=0,則tr(A)=0(從Schur定理或Jordan標準形證明)。若干基本不等式對于兩個m×n復矩陣A和B,tr(AHB)是m×n維酉空間上的內積,也就是將它們按列依次排成的兩個mn維列向量的內積,利用Cauchy-schwarz不等式x,y2x,xy,y 得定理:對任

3、意兩個m×n復矩陣A和B |tr(AHB)|2tr(AHA)tr(BHB) 這里等號成立的充要條件是A=cB,c為一常數。特別當A和B為實對稱陣或Hermit矩陣時0|tr(AB)|定理:設A和B為兩個n階Hermite陣,且A0,B0,則 0tr(AB)1(B)tr(A) tr(A)tr(B) 1(B)表示B的最大特征值。證明:tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) 0,又因為A1/21(B)I-BA1/20,所以1(B)tr(A)A1/2BA1/2,得tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)tr(1(B) A)=1(B) tr(A)tr(A)tr(B)推論:設A為Hermi

4、te矩陣,且A>0,則tr(A)tr(A-1)n另外,關于矩陣的跡的不等式還有很多,請參考矩陣論中不等式。三、矩陣的秩矩陣的秩的概念是由Sylvester于1861年引進的。它是矩陣的最重要的數字特征之一。下面討論有關矩陣秩的一些性質和不等式。定義:矩陣A的秩定義為它的行(或列)向量的最大無關組所包含的向量的個數。記為rank(A)性質:1. ;2. ;3. ;4. ,其中X列滿秩,Y行滿秩(消去法則)。定理(Sylvester):設A和B分別為m×n和n×l矩陣,則 Sylveste定理是關于兩個矩陣乘積的秩的不等式。其等號成立的充要條件請參考王松桂編寫的矩陣論中不

5、等式,三個矩陣乘積的秩的不等式也一并參考上述文獻。四、相對特征根定義:設A和B均為P階實對稱陣,B>0,方程|A-B|=0的根稱為A相對于B的特征根。性質:|A-B|=0等價于|B-1/2AB-1/2-I|=0(因為B>0,所以B1/2>0)注:求A相對于B的特征根問題轉化為求B-1/2AB-1/2的特征根問題或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是實對稱陣,所以特征根為實數。定義:使(A-iB)li=0的非零向量li稱為對應于i的A相對于B的特征向量。性質: 設l是相對于的A B-1的特征向量,則A B-1l=l 或 A (B-1l)=B( B-1l)B-1l 為對應

6、的A相對于B的特征向量(轉化為求A B-1的特征向量問題)。 設l是相對于的B-1/2AB-1/2的特征向量,則B-1/2AB-1/2l=l 可得A (B-1/2l)=B(B-1/2l)則B-1/2l 為對應的A相對于B的特征向量(轉化為求B-1/2AB-1/2對稱陣的特征向量問題)。五、向量范數與矩陣范數向量與矩陣的范數是描述向量和矩陣“大小”的一種度量。先討論向量范數。1. 向量范數定義:設V為數域F上的線性空間,若對于V的任一向量x,對應一個實值函數,并滿足以下三個條件: (1)非負性 ,等號當且僅當x=0時成立; (2)齊次性 (3)三角不等式。則稱為V中向量x的范數,簡稱為向量范數。

7、定義了范數的線性空間定義稱為賦范線性空間。例1. ,它可表示成, 就是一種范數,稱為歐氏范數或2-范數。證明:(i)非負性 ,當且僅當時,即x0時,0 (ii)齊次性 (iii)三角不等式 , 根據Hölder不等式:, 2. 常用的向量范數(設向量為) 1-范數:; -范數:;P-范數: (p>1, p=1, 2,);2-范數:;橢圓范數(2-范數的推廣):,A為Hermite正定陣.加權范數:, 當,證明:顯然滿足非負性和齊次性 (iii),應用Hölder不等式 即 3. 向量范數的等價性定理 設、為的兩種向量范數,則必定存在正數m、M,使得 ,(m、M與x無關

8、),稱此為向量范數的等價性。同時有注:(1)對某一向量X而言,如果它的某一種范數小(或大),那么它的其它范數也小(或大)。(2)不同的向量范數可能大小不同,但在考慮向量序列的收斂性問題時,卻表現出明顯的一致性。4、矩陣范數向量范數的概念推廣到矩陣情況。因為一個m×n階矩陣可以看成一個mn維向量,所以中任何一種向量范數都可以認為是m×n階矩陣的矩陣范數。1. 矩陣范數定義:設表示數域C上全體階矩陣的集合。若對于中任一矩陣A,均對應一個實值函數,并滿足以下四個條件: (1)非負性: ,等號當且僅當A=0時成立; (2)齊次性: (3)三角不等式:,則稱為廣義矩陣范數; (4)相

9、容性:,則稱為矩陣范數。5. 常用的矩陣范數(1)Frobenius范數(F-范數)F-范數: = =矩陣和向量之間常以乘積的形式出現,因而需要考慮矩陣范數與向量范數的協調性。定義:如果矩陣范數和向量范數滿足則稱這兩種范數是相容的。給一種向量范數后,我們總可以找到一個矩陣范數與之相容。(2)誘導范數設ACm×n,xCn, 為x的某種向量范數,記 則是矩陣A的且與相容的矩陣范數,也稱之為A的誘導范數或算子范數。(3)p-范數:,,x為所有可能的向量, ,可以證明下列矩陣范數都是誘導范數:(1) 列(和)范數;(2) 譜范數;的最大特征值稱為的譜半徑。當A是Hermite矩陣時,是A的譜

10、半徑。注:譜范數有許多良好的性質,因而經常用到。(3) 行(和)范數( ,)定理 矩陣A的任意一種范數是A的元素的連續函數;矩陣A的任意兩種范數是等價的。定理 設ACn×n,xCn, 則和是相容的即 證明:由于成立。定理 設ACn×n,則是酉不變的,即對于任意酉矩陣U,VCn×n,有證明: 定義 設ACn×n,A的所有不同特征值組成的集合稱為A的譜;特征值的模的最大值稱為A的譜半徑,記為(A)。定理 (A)不大于A的任何一種誘導范數,即(A) 證明:設是A的任意特征值,x是相應的特征向量,即 Ax=x則|·|x|= |Ax|A|·|x

11、|, |x|0即 |A|試證:設A是n階方陣,|A|是誘導范數,當|A|<1時,I-A可逆,且有|(I-A)-1|(1-|A|)-1證明:若I-A不可逆,則齊次線性方程組(I-A)x=0有非零解x,即x=Ax,因而有|x|=|Ax|A|x|<|x|但這是不可能的,故I-A可逆。于是 (I-A)-1= (I-A)+A (I-A)-1=I+A (I-A)-1因此|(I-A)-1|I|+|A(I-A)-1|=1+|A(I-A)-1|1+|A| (I-A)-1|即證 |(I-A)-1|(1-|A|)-1補充證明|I|=1:由相容性可知:|A|A-1|A A-1|=|I|對于誘導范數( )。

12、六、條件數條件數對研究方程的性態起著重要的作用。 定義:設矩陣A是可逆方陣,稱|A|A-1|為矩陣A的條件數,記為cond(A),即cond(A)= |A|A-1|性質:(1)cond(A) 1,并且A的條件數與所取的誘導范數的類型有關。因cond(A)= |A|A-1|A A-1|=|I|=1(2)cond(kA)= cond(A)=cond(A-1),這里k為任意非零常數。當選用不用的范數時,就得到不同的條件數,如:cond1(A)= |A|1|A-1|1cond(A)= |A|A-1|cond2(A)= |A|2|A-1|2=,其中分別為AHA的特征值的模的最大值和最小值。譜條件數特別地

13、,如果A為可逆的Hermite矩陣,則有cond2(A)= 這里分別為A的特征值的模的最大值和最小值。如果A為酉陣,則cond2(A)= 1例 求矩陣A的條件數cond1(A),cond(A) 解:|A|1=max6;14;4=14;|A|=max8;3;13=14;故|A-1|1=17/4;|A-1|=47/4;cond1(A)= |A|1|A-1|1=14×17/4=259/2;cond(A)= |A|A-1|=611/4。例 設線性方程組Ax=b的系數矩陣A可逆。討論當b有誤差b時,解的相對誤差x的大小。解:因矩陣A可逆,所以Ax=b有唯一解x=A-1b,設解的誤差為x,由A(x+x)=b+b得 Ax=b或x=A-1b得 (1)又Ax=b,可得,或 (2)所以由(1)和(2),得 這說明相誤差的大小與條件數cond(A)密切相關;當右端b的相對誤差一定時,cond(A)越大,解的相對誤差就可能越大;cond(A)越小,解的相對誤差就可能越小。因而條件數cond(A)可以反映A的特性。一般來說:條件數反映了誤差放大的程度,

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