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文檔簡(jiǎn)介
1、第五專題 矩陣的數(shù)值特征(行列式、跡、秩、相對(duì)特征根、范數(shù)、條件數(shù))一、行列式已知Ap×q, Bq×p, 則|Ip+AB|=|Iq+BA|證明一:參照課本194頁,例4.3.證明二:利用AB和BA有相同的非零特征值的性質(zhì);從而Ip+AB,Iq+BA中不等于1的特征值的數(shù)目相同,大小相同;其余特征值都等于1。行列式是特征值的乘積,因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值(不等于1)的乘積,所以二者相等。二、矩陣的跡矩陣的跡相對(duì)其它數(shù)值特征簡(jiǎn)單些,然而,它在許多領(lǐng)域,如數(shù)值計(jì)算,逼近論,以及統(tǒng)計(jì)估計(jì)等都有相當(dāng)多的應(yīng)用,許多量的計(jì)算都會(huì)歸結(jié)為矩陣的跡的運(yùn)算。下面討論有關(guān)跡的一
2、些性質(zhì)和不等式。定義:,etrA=exp(trA)性質(zhì):1. ,線性性質(zhì);2. ;3. ;4. ;5. 為向量;6. ;從Schur定理(或Jordan標(biāo)準(zhǔn)形)和(4)證明;7. ,則,且等號(hào)成立的充要條件是A=0;8. ,則,且等號(hào)成立的充要條件是A=B();9. 對(duì)于n階方陣A,若存在正整數(shù)k,使得Ak=0,則tr(A)=0(從Schur定理或Jordan標(biāo)準(zhǔn)形證明)。若干基本不等式對(duì)于兩個(gè)m×n復(fù)矩陣A和B,tr(AHB)是m×n維酉空間上的內(nèi)積,也就是將它們按列依次排成的兩個(gè)mn維列向量的內(nèi)積,利用Cauchy-schwarz不等式x,y2x,xy,y 得定理:對(duì)任
3、意兩個(gè)m×n復(fù)矩陣A和B |tr(AHB)|2tr(AHA)tr(BHB) 這里等號(hào)成立的充要條件是A=cB,c為一常數(shù)。特別當(dāng)A和B為實(shí)對(duì)稱陣或Hermit矩陣時(shí)0|tr(AB)|定理:設(shè)A和B為兩個(gè)n階Hermite陣,且A0,B0,則 0tr(AB)1(B)tr(A) tr(A)tr(B) 1(B)表示B的最大特征值。證明:tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) 0,又因?yàn)锳1/21(B)I-BA1/20,所以1(B)tr(A)A1/2BA1/2,得tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)tr(1(B) A)=1(B) tr(A)tr(A)tr(B)推論:設(shè)A為Hermi
4、te矩陣,且A>0,則tr(A)tr(A-1)n另外,關(guān)于矩陣的跡的不等式還有很多,請(qǐng)參考矩陣論中不等式。三、矩陣的秩矩陣的秩的概念是由Sylvester于1861年引進(jìn)的。它是矩陣的最重要的數(shù)字特征之一。下面討論有關(guān)矩陣秩的一些性質(zhì)和不等式。定義:矩陣A的秩定義為它的行(或列)向量的最大無關(guān)組所包含的向量的個(gè)數(shù)。記為rank(A)性質(zhì):1. ;2. ;3. ;4. ,其中X列滿秩,Y行滿秩(消去法則)。定理(Sylvester):設(shè)A和B分別為m×n和n×l矩陣,則 Sylveste定理是關(guān)于兩個(gè)矩陣乘積的秩的不等式。其等號(hào)成立的充要條件請(qǐng)參考王松桂編寫的矩陣論中不
5、等式,三個(gè)矩陣乘積的秩的不等式也一并參考上述文獻(xiàn)。四、相對(duì)特征根定義:設(shè)A和B均為P階實(shí)對(duì)稱陣,B>0,方程|A-B|=0的根稱為A相對(duì)于B的特征根。性質(zhì):|A-B|=0等價(jià)于|B-1/2AB-1/2-I|=0(因?yàn)锽>0,所以B1/2>0)注:求A相對(duì)于B的特征根問題轉(zhuǎn)化為求B-1/2AB-1/2的特征根問題或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是實(shí)對(duì)稱陣,所以特征根為實(shí)數(shù)。定義:使(A-iB)li=0的非零向量li稱為對(duì)應(yīng)于i的A相對(duì)于B的特征向量。性質(zhì): 設(shè)l是相對(duì)于的A B-1的特征向量,則A B-1l=l 或 A (B-1l)=B( B-1l)B-1l 為對(duì)應(yīng)
6、的A相對(duì)于B的特征向量(轉(zhuǎn)化為求A B-1的特征向量問題)。 設(shè)l是相對(duì)于的B-1/2AB-1/2的特征向量,則B-1/2AB-1/2l=l 可得A (B-1/2l)=B(B-1/2l)則B-1/2l 為對(duì)應(yīng)的A相對(duì)于B的特征向量(轉(zhuǎn)化為求B-1/2AB-1/2對(duì)稱陣的特征向量問題)。五、向量范數(shù)與矩陣范數(shù)向量與矩陣的范數(shù)是描述向量和矩陣“大小”的一種度量。先討論向量范數(shù)。1. 向量范數(shù)定義:設(shè)V為數(shù)域F上的線性空間,若對(duì)于V的任一向量x,對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)值函數(shù),并滿足以下三個(gè)條件: (1)非負(fù)性 ,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立; (2)齊次性 (3)三角不等式。則稱為V中向量x的范數(shù),簡(jiǎn)稱為向量范數(shù)。
7、定義了范數(shù)的線性空間定義稱為賦范線性空間。例1. ,它可表示成, 就是一種范數(shù),稱為歐氏范數(shù)或2-范數(shù)。證明:(i)非負(fù)性 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即x0時(shí),0 (ii)齊次性 (iii)三角不等式 , 根據(jù)Hölder不等式:, 2. 常用的向量范數(shù)(設(shè)向量為) 1-范數(shù):; -范數(shù):;P-范數(shù): (p>1, p=1, 2,);2-范數(shù):;橢圓范數(shù)(2-范數(shù)的推廣):,A為Hermite正定陣.加權(quán)范數(shù):, 當(dāng),證明:顯然滿足非負(fù)性和齊次性 (iii),應(yīng)用Hölder不等式 即 3. 向量范數(shù)的等價(jià)性定理 設(shè)、為的兩種向量范數(shù),則必定存在正數(shù)m、M,使得 ,(m、M與x無關(guān)
8、),稱此為向量范數(shù)的等價(jià)性。同時(shí)有注:(1)對(duì)某一向量X而言,如果它的某一種范數(shù)小(或大),那么它的其它范數(shù)也小(或大)。(2)不同的向量范數(shù)可能大小不同,但在考慮向量序列的收斂性問題時(shí),卻表現(xiàn)出明顯的一致性。4、矩陣范數(shù)向量范數(shù)的概念推廣到矩陣情況。因?yàn)橐粋€(gè)m×n階矩陣可以看成一個(gè)mn維向量,所以中任何一種向量范數(shù)都可以認(rèn)為是m×n階矩陣的矩陣范數(shù)。1. 矩陣范數(shù)定義:設(shè)表示數(shù)域C上全體階矩陣的集合。若對(duì)于中任一矩陣A,均對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)值函數(shù),并滿足以下四個(gè)條件: (1)非負(fù)性: ,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)A=0時(shí)成立; (2)齊次性: (3)三角不等式:,則稱為廣義矩陣范數(shù); (4)相
9、容性:,則稱為矩陣范數(shù)。5. 常用的矩陣范數(shù)(1)Frobenius范數(shù)(F-范數(shù))F-范數(shù): = =矩陣和向量之間常以乘積的形式出現(xiàn),因而需要考慮矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的協(xié)調(diào)性。定義:如果矩陣范數(shù)和向量范數(shù)滿足則稱這兩種范數(shù)是相容的。給一種向量范數(shù)后,我們總可以找到一個(gè)矩陣范數(shù)與之相容。(2)誘導(dǎo)范數(shù)設(shè)ACm×n,xCn, 為x的某種向量范數(shù),記 則是矩陣A的且與相容的矩陣范數(shù),也稱之為A的誘導(dǎo)范數(shù)或算子范數(shù)。(3)p-范數(shù):,,x為所有可能的向量, ,可以證明下列矩陣范數(shù)都是誘導(dǎo)范數(shù):(1) 列(和)范數(shù);(2) 譜范數(shù);的最大特征值稱為的譜半徑。當(dāng)A是Hermite矩陣時(shí),是A的譜
10、半徑。注:譜范數(shù)有許多良好的性質(zhì),因而經(jīng)常用到。(3) 行(和)范數(shù)( ,)定理 矩陣A的任意一種范數(shù)是A的元素的連續(xù)函數(shù);矩陣A的任意兩種范數(shù)是等價(jià)的。定理 設(shè)ACn×n,xCn, 則和是相容的即 證明:由于成立。定理 設(shè)ACn×n,則是酉不變的,即對(duì)于任意酉矩陣U,VCn×n,有證明: 定義 設(shè)ACn×n,A的所有不同特征值組成的集合稱為A的譜;特征值的模的最大值稱為A的譜半徑,記為(A)。定理 (A)不大于A的任何一種誘導(dǎo)范數(shù),即(A) 證明:設(shè)是A的任意特征值,x是相應(yīng)的特征向量,即 Ax=x則|·|x|= |Ax|A|·|x
11、|, |x|0即 |A|試證:設(shè)A是n階方陣,|A|是誘導(dǎo)范數(shù),當(dāng)|A|<1時(shí),I-A可逆,且有|(I-A)-1|(1-|A|)-1證明:若I-A不可逆,則齊次線性方程組(I-A)x=0有非零解x,即x=Ax,因而有|x|=|Ax|A|x|<|x|但這是不可能的,故I-A可逆。于是 (I-A)-1= (I-A)+A (I-A)-1=I+A (I-A)-1因此|(I-A)-1|I|+|A(I-A)-1|=1+|A(I-A)-1|1+|A| (I-A)-1|即證 |(I-A)-1|(1-|A|)-1補(bǔ)充證明|I|=1:由相容性可知:|A|A-1|A A-1|=|I|對(duì)于誘導(dǎo)范數(shù)( )。
12、六、條件數(shù)條件數(shù)對(duì)研究方程的性態(tài)起著重要的作用。 定義:設(shè)矩陣A是可逆方陣,稱|A|A-1|為矩陣A的條件數(shù),記為cond(A),即cond(A)= |A|A-1|性質(zhì):(1)cond(A) 1,并且A的條件數(shù)與所取的誘導(dǎo)范數(shù)的類型有關(guān)。因cond(A)= |A|A-1|A A-1|=|I|=1(2)cond(kA)= cond(A)=cond(A-1),這里k為任意非零常數(shù)。當(dāng)選用不用的范數(shù)時(shí),就得到不同的條件數(shù),如:cond1(A)= |A|1|A-1|1cond(A)= |A|A-1|cond2(A)= |A|2|A-1|2=,其中分別為AHA的特征值的模的最大值和最小值。譜條件數(shù)特別地
13、,如果A為可逆的Hermite矩陣,則有cond2(A)= 這里分別為A的特征值的模的最大值和最小值。如果A為酉陣,則cond2(A)= 1例 求矩陣A的條件數(shù)cond1(A),cond(A) 解:|A|1=max6;14;4=14;|A|=max8;3;13=14;故|A-1|1=17/4;|A-1|=47/4;cond1(A)= |A|1|A-1|1=14×17/4=259/2;cond(A)= |A|A-1|=611/4。例 設(shè)線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A可逆。討論當(dāng)b有誤差b時(shí),解的相對(duì)誤差x的大小。解:因矩陣A可逆,所以Ax=b有唯一解x=A-1b,設(shè)解的誤差為x,由A(x+x)=b+b得 Ax=b或x=A-1b得 (1)又Ax=b,可得,或 (2)所以由(1)和(2),得 這說明相誤差的大小與條件數(shù)cond(A)密切相關(guān);當(dāng)右端b的相對(duì)誤差一定時(shí),cond(A)越大,解的相對(duì)誤差就可能越大;cond(A)越小,解的相對(duì)誤差就可能越小。因而條件數(shù)cond(A)可以反映A的特性。一般來說:條件數(shù)反映了誤差放大的程度,
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