1、第五專題 矩陣的數值特征（行列式、跡、秩、相對特征根、范數、條件數）一、行列式已知Ap×q, Bq×p, 則|Ip+AB|=|Iq+BA|證明一：參照課本194頁，例4.3.證明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性質；從而Ip+AB，Iq+BA中不等于1的特征值的數目相同，大小相同；其余特征值都等于1。行列式是特征值的乘積，因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值（不等于1）的乘積，所以二者相等。二、矩陣的跡矩陣的跡相對其它數值特征簡單些，然而，它在許多領域，如數值計算，逼近論，以及統計估計等都有相當多的應用，許多量的計算都會歸結為矩陣的跡的運算。下面討論有關跡的一

2、些性質和不等式。定義：，etrA=exp(trA)性質：1. ，線性性質；2. ；3. ；4. ；5. 為向量；6. ;從Schur定理（或Jordan標準形）和（4）證明；7. ,則,且等號成立的充要條件是A=0；8. ,則，且等號成立的充要條件是A=B（）；9. 對于n階方陣A，若存在正整數k,使得Ak=0,則tr(A)=0（從Schur定理或Jordan標準形證明）。若干基本不等式對于兩個m×n復矩陣A和B，tr(AHB)是m×n維酉空間上的內積，也就是將它們按列依次排成的兩個mn維列向量的內積，利用Cauchy-schwarz不等式x,y2x,xy,y 得定理：對任

3、意兩個m×n復矩陣A和B |tr(AHB)|2tr(AHA)tr(BHB) 這里等號成立的充要條件是A=cB,c為一常數。特別當A和B為實對稱陣或Hermit矩陣時0|tr(AB)|定理：設A和B為兩個n階Hermite陣,且A0，B0，則 0tr(AB)1(B)tr(A) tr(A)tr(B) 1(B)表示B的最大特征值。證明：tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) 0，又因為A1/21(B)I-BA1/20，所以1(B)tr(A)A1/2BA1/2，得tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)tr(1(B) A)=1(B) tr(A)tr(A)tr(B)推論：設A為Hermi

4、te矩陣，且A>0，則tr(A)tr(A-1)n另外，關于矩陣的跡的不等式還有很多，請參考矩陣論中不等式。三、矩陣的秩矩陣的秩的概念是由Sylvester于1861年引進的。它是矩陣的最重要的數字特征之一。下面討論有關矩陣秩的一些性質和不等式。定義：矩陣A的秩定義為它的行（或列）向量的最大無關組所包含的向量的個數。記為rank(A)性質：1. ；2. ；3. ；4. ，其中X列滿秩，Y行滿秩（消去法則）。定理（Sylvester）：設A和B分別為m×n和n×l矩陣，則 Sylveste定理是關于兩個矩陣乘積的秩的不等式。其等號成立的充要條件請參考王松桂編寫的矩陣論中不

5、等式，三個矩陣乘積的秩的不等式也一并參考上述文獻。四、相對特征根定義：設A和B均為P階實對稱陣，B>0，方程|A-B|=0的根稱為A相對于B的特征根。性質：|A-B|=0等價于|B-1/2AB-1/2-I|=0(因為B>0，所以B1/2>0)注：求A相對于B的特征根問題轉化為求B-1/2AB-1/2的特征根問題或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是實對稱陣，所以特征根為實數。定義：使(A-iB)li=0的非零向量li稱為對應于i的A相對于B的特征向量。性質： 設l是相對于的A B-1的特征向量，則A B-1l=l 或 A (B-1l)=B( B-1l)B-1l 為對應

6、的A相對于B的特征向量（轉化為求A B-1的特征向量問題）。 設l是相對于的B-1/2AB-1/2的特征向量，則B-1/2AB-1/2l=l 可得A (B-1/2l)=B(B-1/2l)則B-1/2l 為對應的A相對于B的特征向量（轉化為求B-1/2AB-1/2對稱陣的特征向量問題）。五、向量范數與矩陣范數向量與矩陣的范數是描述向量和矩陣“大小”的一種度量。先討論向量范數。1. 向量范數定義：設V為數域F上的線性空間，若對于V的任一向量x，對應一個實值函數，并滿足以下三個條件： （1）非負性 ，等號當且僅當x=0時成立； （2）齊次性 （3）三角不等式。則稱為V中向量x的范數，簡稱為向量范數。

7、定義了范數的線性空間定義稱為賦范線性空間。例1. ，它可表示成， 就是一種范數，稱為歐氏范數或2-范數。證明：（i）非負性 ，當且僅當時，即x0時，0 （ii）齊次性 （iii）三角不等式 ， 根據Hölder不等式：， 2. 常用的向量范數（設向量為） 1-范數：； -范數：；P-范數： （p>1, p=1, 2,）;2-范數：;橢圓范數(2-范數的推廣):，A為Hermite正定陣.加權范數：， 當，證明：顯然滿足非負性和齊次性 （iii），應用Hölder不等式 即 3. 向量范數的等價性定理 設、為的兩種向量范數，則必定存在正數m、M，使得 ，（m、M與x無關

8、），稱此為向量范數的等價性。同時有注：（1）對某一向量X而言，如果它的某一種范數小（或大），那么它的其它范數也小（或大）。（2）不同的向量范數可能大小不同，但在考慮向量序列的收斂性問題時，卻表現出明顯的一致性。4、矩陣范數向量范數的概念推廣到矩陣情況。因為一個m×n階矩陣可以看成一個mn維向量，所以中任何一種向量范數都可以認為是m×n階矩陣的矩陣范數。1. 矩陣范數定義：設表示數域C上全體階矩陣的集合。若對于中任一矩陣A，均對應一個實值函數，并滿足以下四個條件： （1）非負性： ，等號當且僅當A=0時成立； （2）齊次性： （3）三角不等式：,則稱為廣義矩陣范數； （4）相

9、容性：,則稱為矩陣范數。5. 常用的矩陣范數（1）Frobenius范數（F-范數）F-范數： = =矩陣和向量之間常以乘積的形式出現，因而需要考慮矩陣范數與向量范數的協調性。定義：如果矩陣范數和向量范數滿足則稱這兩種范數是相容的。給一種向量范數后，我們總可以找到一個矩陣范數與之相容。（2）誘導范數設ACm×n，xCn, 為x的某種向量范數，記 則是矩陣A的且與相容的矩陣范數，也稱之為A的誘導范數或算子范數。（3）p-范數：，,x為所有可能的向量， ，可以證明下列矩陣范數都是誘導范數：（1） 列（和）范數；（2） 譜范數；的最大特征值稱為的譜半徑。當A是Hermite矩陣時，是A的譜

10、半徑。注：譜范數有許多良好的性質，因而經常用到。（3） 行（和）范數（ ，）定理 矩陣A的任意一種范數是A的元素的連續函數；矩陣A的任意兩種范數是等價的。定理 設ACn×n，xCn, 則和是相容的即 證明：由于成立。定理 設ACn×n，則是酉不變的，即對于任意酉矩陣U,VCn×n，有證明： 定義 設ACn×n，A的所有不同特征值組成的集合稱為A的譜；特征值的模的最大值稱為A的譜半徑，記為(A)。定理 (A)不大于A的任何一種誘導范數，即(A) 證明：設是A的任意特征值，x是相應的特征向量，即 Ax=x則|·|x|= |Ax|A|·|x

11、|, |x|0即 |A|試證：設A是n階方陣，|A|是誘導范數，當|A|<1時，I-A可逆，且有|(I-A)-1|(1-|A|)-1證明：若I-A不可逆，則齊次線性方程組(I-A)x=0有非零解x，即x=Ax，因而有|x|=|Ax|A|x|<|x|但這是不可能的，故I-A可逆。于是 (I-A)-1= (I-A)+A (I-A)-1=I+A (I-A)-1因此|(I-A)-1|I|+|A(I-A)-1|=1+|A(I-A)-1|1+|A| (I-A)-1|即證 |(I-A)-1|(1-|A|)-1補充證明|I|=1：由相容性可知：|A|A-1|A A-1|=|I|對于誘導范數( )。

12、六、條件數條件數對研究方程的性態起著重要的作用。 定義：設矩陣A是可逆方陣，稱|A|A-1|為矩陣A的條件數，記為cond(A)，即cond(A)= |A|A-1|性質：（1）cond(A) 1,并且A的條件數與所取的誘導范數的類型有關。因cond(A)= |A|A-1|A A-1|=|I|=1（2）cond(kA)= cond(A)=cond(A-1)，這里k為任意非零常數。當選用不用的范數時，就得到不同的條件數，如：cond1(A)= |A|1|A-1|1cond(A)= |A|A-1|cond2(A)= |A|2|A-1|2=，其中分別為AHA的特征值的模的最大值和最小值。譜條件數特別地

13、，如果A為可逆的Hermite矩陣，則有cond2(A)= 這里分別為A的特征值的模的最大值和最小值。如果A為酉陣，則cond2(A)= 1例 求矩陣A的條件數cond1(A)，cond(A) 解：|A|1=max6;14;4=14;|A|=max8;3;13=14;故|A-1|1=17/4;|A-1|=47/4;cond1(A)= |A|1|A-1|1=14×17/4=259/2;cond(A)= |A|A-1|=611/4。例 設線性方程組Ax=b的系數矩陣A可逆。討論當b有誤差b時，解的相對誤差x的大小。解：因矩陣A可逆，所以Ax=b有唯一解x=A-1b，設解的誤差為x，由A(x+x)=b+b得 Ax=b或x=A-1b得 （1）又Ax=b，可得，或 （2）所以由（1）和（2），得 這說明相誤差的大小與條件數cond(A)密切相關；當右端b的相對誤差一定時，cond(A)越大，解的相對誤差就可能越大；cond(A)越小，解的相對誤差就可能越小。因而條件數cond(A)可以反映A的特性。一般來說：條件數反映了誤差放大的程度，