1、第二章 導數與微分一、學習目的與要求1、加深理解導數概念，并能利用導數解決一些具體問題。2、熟練掌握求導法則及導數基本公式，能正確求出初等函數的導數。3、熟練掌握隱函數和參數方程所確定函數的一階、二階導數的求法。二、學習重點導數概念及復合函數求導問題三、內容提要1、 導數定義 設函數在的某鄰域內有定義，對應于自變量的任一改變量，函數的改變量為，如果存在，則稱在處可導，且稱此極限值為在點處的導數，記作。若記又可記為若記 則稱、分別是在處的右導數與左導數，且2、可導與連續的關系 可導連續，不連續不可導；反之，不一定成立。3、若在點處的增量，其中無關，則稱在處可微，并稱為函數在點處的微分，記為.當在

2、處可微時,因此,由上可知，導數可表為函數的微分與自變量微分之商。可導可微。4、導數與微分的四則運算設處可導，則5、復合函數的導數與微分設在點處可導，在點所對應的點處可導，則復合函數在點可導，且對于不論變量是中間變量還是自變量，都有，這一性質稱為一階微分形式不變性。6、隱函數求導，反函數求導設是方程所確定的隱函數，則可由方程兩邊對求導后解出。設函數在點的某鄰域內單調連續且在處可導，的反函數在點所對應的點處可導，且在計算反函數的二階導數時要注意：一般，7、參數式求導設上連續，可導且則參數式確定的函數可導，且記為,則 8、高階導數如果的函數在點處可導，則的導數稱為的二階導數，且記作，由定義。類似的，

3、二階導數的導數稱為三階導數，一般地，的階導數的導數稱為的的階導數，且記為即 。函數的階導數存在也表明函數次可微。9、高階導數的運算法則 設階可導，則（1） 2）（3）10、幾個基本初等函數的階求導公式；11、導數的幾何意義若函數處的導數存在，則的值等于曲線 處的切線斜率，且在處的切線方程為法線方程為或12、常用基本求導公式 四、思考題1、初等函數在其定義區間內是否一定可導？2、若函數在（-，+）內處處可導，則其導函數必處處連續，對嗎？3、若為內可導的偶函數，則在內是否必為奇函數？若 則 =？4、函數在一點可導的充要條件是什么？5、若曲線處處有切線，則函數必處處可導，對嗎？6、可導的周期函數，其

4、導函數是否必為周期函數？7、若在(a,b)內可導，其反函數在相應點是否必定可導？8、若與在(a,b)內可導，且，則對嗎？9、設是單調連續函數的反函數，且=5，則五、典型例題分析例1 研究函數在點=0處的連續性與可導性，并求。問在=0處連續嗎？分析 為分段函數。而求分段函數的導數，通常如下進行：（1）判斷在各段開區間內是否可導。如果可導，則在各段開區間內分別求導.（2）判斷在各分段點處是否可導，此步是分段函數求導的關鍵。要判斷分段函數在分斷點是否可導，首先要看它在該點是否連續，若不連續，則在該點必不可導；其次，若在分段點連續，滿足了函數在一點可導的必要條件，再根據導數定義來判斷函數在該點的可導性

5、，或用函數在一點可導的充要條件來判定在該點的可導性。求解此問題應分成四個步驟。解（1） 因（無窮小乘有界變量）所以 故在=0處連續。（2） = （無窮小乘有界變量） 。所以在=0處可導，且。（3）（4）因，不存在。 所以在=0處不連續。例2 若存在，求，其中為不等于0的常數。分析 （1）已知條件是存在，所求是一個比值的極限，而函數在一點的導數定義為函數增量與自變量增量之比當自變量增量趨于0時的極限，因此，要求此極限必須緊扣條件，利用導數定義。（2）自變量的增量可以用表示，也可用一個常數乘來表示，亦可用別的字母表示。從觀察知，自變量在點取得的增量應為，從觀察，自變量在點取得的增量應為。要利用導數

6、定義，還需作適當的恒等變形。解 將分式適當變形原式= = =例3 設，試確定系數和，使得處處連續可導。解 顯然，當0時，連續。當=0時，有，第一項極限不存在，第二項極限為零，要使在=0處連續，必需。當時，有(0-0)=(0+0)=(0)=0，函數在=0處連 續，從而處處連續。此時又當0時，顯然可導，當=0時，有 故當=1，在=0處可導，從而處處可導。綜上討論，當=0，=1時，處處連續可導。例4 指出下列各題作法中的錯誤，并正確求解各題（1）已知，求。解 ，（2）已知，求。解 。（3）已知，求。解 = =（4）已知，求（其中>0）。解 ，以下逐題分析錯誤所在，并給予正確解答。（1）錯誤在于

7、，正確作法為： （2）錯誤是復合函數求導未進行到底。正確作法為：（3）錯誤在于第二個等號不成立，最后一個因子不應乘以，正確作法為： = =（4）解中不成立，正確作法為： 兩邊對求導：=， =小結 （1）在進行復合函數求導時，若有可能，應首先利用代數恒等變形或三角恒等變形，將函數化簡，然后求導，這樣可簡化計算，少出差錯。如可先變形為，然后再求導。（2）求復合函數的導數是導數內容的重點，在求導過程中，必須先搞清函數是怎樣復合而成的，函數由里到外逐步復合，求導時，從外到里逐次求導，注意一定要求到底，不要有遺漏。 （3）對于冪指函數，如，和多因子連乘、除、乘方、開方的函數，如等，注意正確運用對數求導法

8、。例5 設，試證明關系式。分析 這是涉及到高階導數的問題，若設想按照高階導數求法，依次求出函數的(n-1)階，n階，(n+1)階導數，然后代入關系式的左端加以整理，看其是否為0，顯然是很困難的。因此，要證明此題，需采用適當的技巧。一般在求高階導數時，應對函數進行：1.初等變形；2.利用基本初等函數的高階導數公式；3.利用萊布尼茲公式或數學歸納法。證法1 ，即,兩端對求導，整理得 （*）（*）式左端正好是要求論證結果左端n=1的情形，但右端尚不是0，不過，關系式是對n>1成立。所以，利用萊布尼茲公式，（*）式兩端再對求（n-1）階導數。即 證法2 要論證有關n階導數所滿足的恒等關系式，也常

9、采用數學歸納法。（1）將(*)式兩端對求導 ，整理得這說明關系式對n=2時成立。（2）設當n=k時，關系式成立，即 （* *）求證當n=k+1時關系成立。（* *）式兩端對求導整理得 故關系式對任意的n2均成立。例6 求由方程所確定的隱函數的導數及二階導數 （）。解 根據此方程的特點，方程兩端先取對數，再求導更為方便。方程兩端取對數：，再兩端對求導：整理得 ，即 ，所以 ,小結 （1）隱函數求導法很重要，當、之間關系由方程給出時，或 對的導數比較難求時，可用此法。 （2）隱函數求二階導數時，可先求出，再將對求導，注意是自變量， 是的函數，然后把代入整理即可。亦可由方程兩端繼續 對求導，有 ，解

10、出 ，再將代入，得例7 求由參數方程所確定函數的一階、二階導數。解 。=說明 在求由參數方程所確定函數的高階導數時，僅需弄清式子即可。同學們在求導中常常丟掉，應注意此點。例8 試確定的值，使兩曲線與相切。分析 兩曲線相切，包含兩層意思：一是在切點處，兩曲線的縱橫坐標相等；二是在切點處，兩曲線的切線斜率相同。 （1）（2）解 由（1）得，代入（2），得，所以 。說明 解此題同學們往往只注意到相切，由，得，認為問題就解決了，實際上，由只能說明兩曲線的切線平行，而為待定系數，為了確定其值，還需用到兩曲線相切，切點處縱橫坐標相等的條件把定出來。例9 求橢圓上，點處的切線方程和法線方程。分析 此題的核心

11、是求曲線斜率和法線斜率，而導數的幾何意義就是曲線在該點處的切線斜率，故只需求出橢圓上點處對應的導數值即可，而橢圓可用三種方式表示，即 顯式、隱式、參數式，而此處是用隱函數形式給出的，求曲線斜率用隱函數求導法更簡便。解 方程兩端對求導：所以 故 所求切線方程為 法線方程為 例10 將水注入深8m而上頂直徑為8m的錐形水池中，注入速率為每分鐘4m2，求當深為5m時，其表面上升的速率為多少？分析 這是相關變化率問題。池中水面高度h是時間t的可導函數，注入池中的水的體積也是時間t的可導函數，若能建立池中水的體積與水面高度間的函數關系式，就能利用已知變化率，求得水面高度h隨時間的變化率。解 設經過t分鐘后，注入池中水的體積為V，水面高度為h，則由于，所以，即。這就是注入池中水的體積與水面高度間的函數關系式。兩端對t求導，得已知，所以，當h=5m時，其表面上升速率為 （m/min）例11 若在內有定義，=0，且時，有成立。（1）討論的連續性。（2）求。分析 此題是運用極限、連續、導數等重要概念的綜合題，主要搞清解題思路，及解題過程中的正確表達。解 由，知