1、南昌大學 20122013學年第二學期期末考試試卷一、填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設，則三重積分 _.2. 交換二次積分的順序= _.3. 函數的極大值為_.4. 將展開成的冪級數為_.5. 點到平面的距離為_. 二、單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 函數的定義域是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）.2.設為由曲面及平面所圍成的立體的表面，則曲面積分= （ ）（A）； （B）； （C）； （D）0.3.級數發散，則（ ）（A）；（B）；（C）；（D）.4.設函數 ,則在點（0，0）處 （ ）（A）連續且偏導數存在； （B）連續但偏導數不存在；（C）不連續但偏導數

2、存在； （D）不連續且偏導數不存在。5.設是常系數線性非齊次方程的三個線性無關的解，則的通解為 （ ）（A）； （B）；（C）；（D）.三、計算題(共24分，每小題8分)1、設，求和.2、判斷級數的斂散性.3、求微分方程的通解四、解答題（一）(共24分，每小題8分)1、設方程可確定是的函數，且具有連續偏導數，求.2、計算曲線積分，其中L為由點到的左半圓周.3、求級數的收斂域與和函數.五、解答題（二）(共16分，每小題8分)1、求橢球面上點（1，1，1 ）處的切平面方程和法線方程.2、利用高斯公式計算曲面積分,其中為平面所圍成的立體的表面的外側.六、證明題(本題滿分6分)設數列單調減少，（）且發

3、散，證明收斂.南昌大學 20122013學年第二學期期末考試試卷及答案 一、填空題(每空 3 分，共 15 分)1. 設，則三重積分.2. 交換二次積分的順序=.3. 函數的極大值為.4. 將展開成的冪級數為. 5. 點到平面的距離為. 二、單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 函數的定義域是（ C ）（A）； （B）； （C）； （D）.2.設為由曲面及平面所圍成的立體的表面，則曲面積分= （ B ）（A）； （B）； （C）； （D）0.3.級數發散，則（A ）（A）；（B）；（C）；（D）.4.設函數 ,則在點（0，0）處 （ C ）（A）連續且偏導數存在； （B）連續但偏導數不存在

4、；（C）不連續但偏導數存在； （D）不連續且偏導數不存在。5.設是常系數線性非齊次方程的三個線性無關的解，則的通解為 （ D ）（A）； （B）；（C）；（D）.三、計算題(共24分，每小題8分)1、設，求和.解: ， 2、判斷級數的斂散性.解: 所以該級數收斂 3、求微分方程的通解解: 對應齊次方程的通解特征方程為解得所以的通解為由題意可設的特解為代入原方程可得所以原方程的通解為四、解答題（一）(共24分，每小題8分)1、設方程可確定是的函數，且具有連續偏導數，求.解: ， ， ， 2、計算曲線積分，其中L為由點到的左半圓周.解: 添加輔助有向線段，它與左半圓周組成閉區域記為，由格林公式可得

5、= =3、求級數的收斂域與和函數.解: ，所以收斂半徑為2當時，原級數化為，收斂當時，原級數化為，發散所以收斂域為設和函數為，則，=，五、解答題（二）(共16分，每小題8分)1、求橢球面上點（1，1，1 ）處的切平面方程和法線方程.解: 令，則點（1，1，1 ）處的切平面方程的法向量所求切平面方程為即所求法線方程為2、利用高斯公式計算曲面積分,其中為平面所圍成的立體的表面的外側.解: ，則，記邊界曲面：所圍成的立體為由高斯公式可得六、證明題(本題滿分6分)設數列單調減少，（）且發散，證明收斂.證明: 方法一：數列單調減少有下界，故存在，不妨設，則，若，則由萊布尼茲定理知收斂，與題設矛盾，故又，由比