1、精選優質文檔-傾情為你奉上利用導數證明不等式的兩種通法吉林省長春市東北師范大學附屬實驗學校金鐘植 岳海學利用導數證明不等式是高考中的一個熱點問題，利用導數證明不等式主要有兩種通法，即函數類不等式證明和常數類不等式證明。下面就有關的兩種通法用列舉的方式歸納和總結。一、函數類不等式證明函數類不等式證明的通法可概括為：證明不等式（）的問題轉化為證明（），進而構造輔助函數，然后利用導數證明函數的單調性或證明函數的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1 已知，求證：分析：欲證，只需證函數和在上單調遞減即可。證明：令 ，其中則，而所以在上單調遞減，即所以；令 ，其中則，所以在上單調遞減，即所以

2、。綜上所述，評注：證明函數類不等式時，構造輔助函數比較容易，只需將不等式的其中一邊變為0，然后另一邊的函數作為輔助函數，并利用導數證明其單調性或其最值，進而構造我們所需的不等式的結構即可。根據不等式的對稱性，本例也可以構造輔助函數為在上是單調遞增的函數（如：利用在上是單調遞增來證明不等式），另外不等式證明時，區間端點值也可以不是我們所需要的最恰當的值（比如此例中的也可以不是0，而是便于放大的正數也可以）。因此例可變式為證明如下不等式問題：已知，求證：證明這個變式題可采用兩種方法：第一種證法：運用本例完全相同的方法證明每個不等式以后再放縮或放大，即證明不等式以后，根據來證明不等式；第二種證法：直

3、接構造輔助函數和，其中然后證明各自的單調性后再放縮或放大（如：）例2 求證：分析：令，經過求導易知，在其定義域上不單調，但可以利用最值證明不等式。證明：令函數f(x)的定義域是,(x)=.令(x)=0，解得x=0，當-1<x<0時, (x)>0,當x>0時,(x)<0，又f(0)=0，故當且僅當x=0時，f(x)取得最大值，最大值是0所以即二、常數類不等式證明常數類不等式證明的通法可概括為：證明常數類不等式的問題等價轉化為證明不等式的問題，在根據的不等式關系和函數的單調性證明不等式。例3已知求證：分析：證明：令則所以，又因為，所以即即評注：利用導數證明常數類不等式

4、的關鍵是經過適當的變形，將不等式證明的問題轉化為函數單調性證明問題，其中關鍵是構造輔助函數，如何構造輔助函數也是這種通法運用的難點和關鍵所在。通過本例，不難發現，構造輔助函數關鍵在于不等式轉化為左右兩邊是相同結構的式子（本例經過轉化后的不等式的兩邊都是相同式子的結構，所以可以構造輔助函數），這樣根據“相同結構”可以構造輔助函數。例4 已知，求證：分析：欲證，只需證（不然沒法構造輔助函數），即，則需證函數都在函數區間上單調遞增即可。證明：設，則由例1知，即，所以在上單調遞增，而所以，即，進而得到設，則，又因為，所以，進而在上單調遞增，而所以，即，進而得到綜上所述三、同步練習題1當時,求證:2已知a,b為實數，并且e<a<b，其中e是自然對數的底，證明：3已知函數（1）求函數的最小值；（2）若，求證：4求證：參考答案：1證明：要證，只要證, 即證則當時，, 上遞增，即成立，原不等式得證2證明：當e<a<b時， 要證， 只要證,即只要證考慮函數。因為當時，所以函數內是減函數因為e<a<b，所以，即得3（1）最小值為0（2）因為