1、例1 求下列函數的定義域:(1)；(2)；(3).分析 求函數的定義域,主要是使所給函數的數學式子有意義,要注意以下幾種情況:(a)分式的分母不能為零；(b)偶次根號內的式子應大于或等于零；(c)對數的真數應大于零；(d)或,其；(e)若函數的表達式由幾項組成,則它的定義域是各項定義域的交集；(f)分段函數的定義域是各段定義域的并集.解 (1)要使函數有意義,應有 , 即 .故所給函數的定義域是不等于1和2的所有實數.(2)要使函數有意義,應有 ,解得.故所給函數的定義域是.(3)要使有意義,必須, 即).要使有意義,必須 , 即 .故所給函數的定義域是且.例2 求下列函數的值域:(1)；(2

2、).(1)分析 本題可用求其反函數定義域的方法來求直接函數的值域.解 由于的反函數為, 其定義域為,故直接函數的值域為.(2)分析 本題可以利用不等式來求值域.解 由基本不等式,所以,即所求值域為.例3 設,求.分析 本題是求函數的表達式,可以用湊元法或換元法.解法一 (湊元法) 因為 ,所以 即 ,故 .解法二 (換元法) 令,則,所以故 .例4 下列各題中,函數和是否相同?為什么?(1),；(2),；(3),.分析 要判斷兩個函數相同,關鍵是要判斷它們的定義域相同,并且對應法則也要相同.解 (1) 由于的定義域為,的定義域為.所以這兩個函數不相同.(2) 由于和的定義域均為,所以這兩個函數

3、定義域相同.但是在區間內,它們的對應法則不相同. 所以這兩個函數不相同.(3) 由于和的定義域均為,所以這兩個函數定義域相同,并且在內,恒成立,從而對應法則也相同,所以這兩個函數相同.例5 設,且,求及其定義域.分析 此題是考查復合函數的概念解 ,而,；再求定義域: ,即定義域為.例6 若對任意,有,求.分析 此題可以用解函數方程組的方法求出.解 令,則,即 ,與原式聯立,消去,得到 .例7 判斷下列函數的奇偶性:(1)；(2)；(3).分析 要判斷函數的奇偶性,只需用定義來證明.解 (1) 由于的定義域為的全體實數,不關于原點對稱,所以所給函數是非奇非偶函數.(2) 由于 +=.得到.所以所

4、給函數是奇函數.(3) 由于,即.所以所給函數是偶函數.例8 單項選擇題: 設,則是( ).(A)有界函數；(B)單調函數；(C)周期函數；(D)偶函數.分析 此題主要是考察函數的性質,用定義來分析.解 當時,只要,則,所以無界.又,顯然不是單調函數,周期函數,并且很容易證明它是偶函數.所以答案是(D).例9 單項選擇題: 設,則( ).(A)；(B)；(C)；(D).分析 此題是考查函數及分段函數的概念.解 ,答案是(D)例10 設是的反函數,求的反函數.分析 此題關鍵是對反函數定義的理解解 因為是的反函數,所以對一切都成立,用代,得到,由此推出故的反函數為2.例11 設函數 ,求.分析 本

5、題是將兩個分段函數復合成一個分段函數.解 首先需寫出以為自變量的函數的表達式,得到由的定義可知,當時,；當時,.代入的表達式,得到 .例12 單項選擇題:“對任意給定的,總存在正整數,當時,恒有”是數列收斂于的( ).（A）充分條件但非必要條件（B）必要條件但非充分條件（C）充分必要條件（D）既非充分條件又非必要條件分析 此題必須對數列極限的定義有深刻的了解.解 只是用來刻劃與無限接近的程度的,所以選的意義是一樣的.同樣,由于是可以任意小的,所以也是可以任意小的.答案是(C).例13 用定義證明.分析 證明的關鍵是,對于任意給定的正數,要確實找出正整數,使得當時,成立,并且在找的過程中,可以進

6、行適當放大.證 任給,所以要使,只需,即.因此,取,則當時,必有成立.所以.例14 用定義證明.分析 證明的關鍵是,對于任意給定的正數,要確實找出正數,使得當時,成立,并且在找的過程中,可以進行適當放大.證 任給,(當時)所以要使,只需,即.因此,取,則當時,必有成立.所以.例15 求極限.分析 此類題目常常采用分子有理化.解 原式.例16 已知,則 , .分析 此類題目實際上是計算題.解 ,得到 .例17 求.分析 這類函數的極限要注意的等價無窮小,并且將分子適當進行化簡,化簡的過程中要有一定的技巧.解 .而 時,所以,原極限.例18 設,求.分析 此題只需將化簡,并且利用重要極限來求.解

7、.例19 求分析 函數的表達式中含有絕對值符號,或指數函數的指數趨向于無窮大時,解題時必須求其求左、右極限,并判斷是否相等.解 ,.因為左、右極限存在并且相等, .例20 如果,求.分析 本題是已知一個函數的極限,求另一個函數的極限.解本題的關鍵是將所給的函數變形,分解出部分,而后求極限.解 .故 .例21 求極限 .分析 求指數函數當時的極限,必須區分正、負無窮.解 ,.故原極限不存在.例22 求極限 .分析 此極限為型,可以化為重要極限來求. 解 令,則有.例23 已知極限,問分析 此極限為型,可以轉化為重要極限來求.解 而 . 所以,原極限=.故 .例24 求極限.分析 將有不等于零的極

8、限分離出來,并且用等價無窮小替代.解 .例25 單項選擇題: 時,變量是( ).(A)無窮小量 (B)無窮大量(C)有界的,但不是無窮小量 (D)無界的,但不是無窮大量分析 此題主要是區分無窮大量與無界變量.解 答案是(D).因為,取,時,.而此時,但是,取,時,仍有.而此時.所以,時,變量不是無窮大量,更不可能是無窮小量,而是無界變量.例26 設,證明數列收斂,并求數列的極限.分析 此題關鍵是用單調有界數列有極限這個準則來證明.證 由于 .并且得到:數列單調遞減有下界,從而數列有極限.記.在等式兩邊取極限得到:解得 (舍去,因為).故 .例27 設,試證數列的極限存在,并求此極限.分析 此類

9、題目應該采用極限存在準則進行證明.證:(1)有界性：,設,則,由歸納法可知,對一切,有,即數列有下界；(2)單調減少：,設,則,由歸納法可知,數列單調減少；故數列極限存在；(3)設,對,令,得,由,解得.例28 單項選擇題:數列和滿足,則下列斷言正確的是( ).（A）若發散,則必發散；（B）若無界,則必無界；（C）若有界,則必為無窮小；（D）若為無窮小,則必為無窮小.分析 本題考查的是無窮小量與有界變量的性質.解 (A)不成立.只需舉一反例.如,時,雖然發散,并且.但是不發散；(B)不成立.因為兩個無界變量之積不可能是無窮小量.(C)不成立.只需舉一反例.如,時,雖然有界,并且.但不是無窮小；

10、(D)成立.所以,答案是(D).例29 證明.分析 利用兩邊夾定理來證明此題.證 因為 .由于 所以,根據兩邊夾定理有 .例30 已知,求.分析 本題是已知一個函數的極限,求另一個函數的極限.解本題的關鍵是將所給的函數適當變形,分解出部分,而后求極限.解 ,于是,.例31 求.分析 將分子拆開,并且用等價無窮小來替換.解 分子而 .例32 設,其中存在,求.分析 兩邊求極限即可.解 設,則,令,得,故.例33 若函數在上連續,求的值. 分析 本題只需根據連續的定義做.解 ,.例34 討論函數的間斷點及其類型.分析 只需用定義判斷間斷點的類型.解 間斷點為及,所以為(第一類)跳躍間斷點；,所以為(第二類)無窮型間斷點.例35 設函數,討論的間斷點.分析 因為極限中有兩個變量,而是真正的變量,在極限過程中是常量.解本題的關鍵是先求出,再討論連續性.解 當時, , 當時, , 當時, , 當時, ,而 ,.所以,的間斷點為,是第一類間斷點.例36 設函數在閉區間上連續,并且在上,都有,證明在上至少存在一點,使得.分析 構造一個連續函數,利用連續函數的零點定理進行證明.證 令,在上連續,在上也連續,如果(1)或,則結論顯然成立.(2)且,則有,所以,根據連續函數的零點定理,必定存在一點,使得.即.所以.