1、精選優質文檔-傾情為你奉上初 中數學競賽精品標準教程及練習(70)正整數簡單性質的復習一. 連續正整數一. n位數的個數：一位正整數從1到9，共9個，兩位數從10到99，共90個，三位數從100到999共9×102個，那么 n位數的個數共_.(n是正整數)練習：1. 一本書共1989頁，用0到9的數碼，給每一頁編號，總共要用數碼個. 2.由連續正整數寫成的數1234是一個_位數； 3是_位數. 3. 除以3余1的兩位數有_個，三位數有_個，n位數有_個. 4. 從1到100的正整數中，共有偶數_個，含 3的倍數_個； 從50到1000的正整數中，共有偶數_個，含3的倍數_個.二. 連

2、續正整數的和：1+2+3+n=(1+n)×.把它推廣到連續偶數，連續奇數以及以模m有同余數的連續數的和.練習：5.計算2+4+6+100=_.6. 1+3+5+99=_.7. 5+10+15+100=_.8. 1+4+7+100=_.9. 1+2+3+1989其和是偶數或奇數？答_10. 和等于100的連續正整數共有_組，它們是_.11. 和等于100的連續整數共有_組，它們是_.三. 由連續正整數連寫的整數，各位上的數字和整數 各位上的數字和是：(0+9)+(1+8)+(4+5)=9×5=45；123499100各位數字和是(0+99)+(1+98)+(49+50)+1=

3、18×50+1=901.練習：12. 整數 1234各位上的數字和是_.13. 把由1開始的正整數依次寫下去，直到第198位為止：這個數用9除的余數是_.14. 由1到100這100個正整數順次寫成的數123499100中： 它是一個_位數； 它的各位上的數字和等于_； 從這一數中劃去100個數字，使剩下的數盡可能大，那么 剩下的數的前十位是_.四.連續正整數的積： 1×2×3××n 記作n ! 讀作n的階乘. n個連續正整數的積能被n!整除.如：2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)(a+n1).

4、 a為整數. n! 中含有質因數m的個數是+.x表示不大于x的最大正整數，i=1,2,3 min如：1×2×3××10的積中，含質因數3的個數是：=3+1=4練習：15. 在100!的積中，含質因數5的個數是：_16.一串數1，4，7，10，697，700相乘的積中，末尾共有零_個 17. 求證：10494 | 1989!18. 求證：4! | a(a21)(a+2) a為整數五. 兩個連續正整數必互質練習：19. 如果n+1個正整數都小于2n, 那么必有兩個是互質數，試證之.二. 正整數十進制的表示法一. n+1位的正整數記作：an×10n+

5、an1×10n1+a1×10+a0 其中n是正整數，且0ai9 (i=1,2,3,n)的整數, 最高位an0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例題：從12到33共22個正整數連寫成A=3233. 試證：A能被99整除.證明：A=12×1042+13×1040+14×1038+31×104+32×102+33 =12×10021+13×10020+14×1019+31×1002+32×100+33. 1

6、00的任何次冪除以9的余數都是1，即100 n=(99+1) n1 (mod 9) A=99k+12+13+14+31+32+33 (k 為正整數 ) =99 k+(12+33)+(13+32)+(22+23) =99k+45×11 =99k+99×5.A能被99整除.練習：20. 把從19到80的連結兩位數連寫成7980.試證明這個數能被1980整除二. 常見的一些特例=10 n1, =(10 n1), (10 n1).例題：試證明12，1122，這些數中的任何一個，都是兩個相鄰的正整數的積.證明：第n個數是=×10 n+ =(10 n+2)=×. 證

7、畢.練習：21. 化簡 ×+1=_.22. 化簡 =_.23. 求證 是合數.24. 已知：存在正整數 n,能使數被1987整除. 求證：數p=和 數q=都能被1987整除. 25. 證明： 把一個大于1000的正整數分為末三位一組，其余部分一組，若這兩組數的差，能被7(或13)整除，則這個正整數就能被7(或13)整除.26. 求證：×15+1是完全平方數.三. 末位數的性質.一.用N (a)表示自然數的個位數. 例如a=124時，N (a)=4；a=3時，N (a)=3. 1. N (a4k+r)=N (ar) a和k都是整數，r=1,2,3,4. 特別的： 個位數為0，

8、1，5，6的整數，它們的正整數次冪的個位數是它本身.個位數是4，9 的正偶數次冪的個位數也是它本身.2. N (a)=N (b)N (ab)=010 |(ab).3. 若N (a)=a0, N (b)=b0. 則N (an)=N (a0n)； N (ab)=N (a0b0).例題1：求53100 ； 和 7的個位數.解：N (53100)=N (34×24+4)=N (34)=1先把冪的指數77化為4k+r形式，設法出現4的因數.77=777+7=7(761)+4+3=7(721)(74+72+1)+4+3 =7×4×12× (74+72+1)+4+3

9、=4k+3 N(7)=N(74k+3)=N(73)=3.練習：27. 的個位數是_，9的個位數是_.28. 求證：10 | ().29. 2210×3315×7720×5525的個位數是_.二. 自然數平方的末位數只有0，1，4，5，6，9；連續整數平方的個位數的和，有如下規律：12，22，32，102的個位數的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. 用這一性質計算連續整數平方的個位數的和 例題1. 填空：12，22，32，的和的個位數的數字是_. 解：12，22，32，102的個位數的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；

10、21到30；31到40；到，的平方的個位數的和也都是45. 所以所求的個位數字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(+1)的個位數5. 2. 為判斷不是完全平方數提供了一種方法例題2. 求證：任何五個連續整數的平方和不能是完全平方數.證明：(用反證法)設五個連續整數的平方和是完全平方數，那么可記作：(n2)2+(n1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2 (n, k都是整數)5(n2+2)=k2 . k2是5的倍數，k也是5的倍數.設k=5m, 則5(n2+2)=25m2. n2+2=5m2.n2+2是5的倍數，其個位數只能是0或5，那么 n2的倍數是8或3.但任何自然

11、數平方的末位數，都不可能是8或3. 假設不能成立 任何五個連續整數的平方和不能是完全平方數.3.判斷不是完全平方數的其他方法例題3. 已知：a是正整數.求證： a(a+1)+1不是完全平方數 證明：a(a+1)+1=a2+a+1，且a是正整數 a2< a(a+1)+1=a2+a+1<(a+1)2， a 和a+1是相鄰的兩個正整數，a(a+1)+1介于它們的平方之間a(a+1)+1不是完全平方數例題4. 求證： (n>1的正整數) 不是完全平方數 證明：根據奇數的平方數除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但 =4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+

12、3即除以4余數為3，而不是1，它不是完全平方數.例題5. 求證：任意兩個奇數的平方和，都不是完全平方數.證明：設2a+1,2b+1(a,b是整數)是任意的兩個奇數.(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1=4(a2+b2+a+b)+2. 這表明其和是偶數，但不是4的倍數，故任意兩個奇數的平方和，都不可能是完全平方數.三. 魔術數：將自然數N接寫在每一個自然數的右面，如果所得到的新數，都能被N整除，那么N稱為魔術數.常見的魔術數有：a) 能被末位數整除的自然數，其末位數是1，2，5(即10的一位正約數是魔術數)b) 能被末兩位數整除的自然數，其末兩位數是10，20，25

13、，50(即100的兩位正約數也是魔術數)c) 能被末三位數整除的自然數，其三末位數是100，125，200，250，500(即1000的三位正約數也是魔術數)練習：30. 在小于130的自然數中魔術數的個數為_.四. 兩個連續自然數，積的個位數只有0，2，6；和的個位數只有1，3，5，7，9. 練習：31. 已知：n是自然數，且9n2+5n+26的值是兩個相鄰自然數的積，那么n的值是：_. 四. 質數、合數1. 正整數的一種分類：2. 質數中，偶數只有一個是2，它也是最小的質數.3. 互質數：是指公約數只有1的兩個正整數. 相鄰的兩個正整數都是互質數. 例題：試寫出10個連續自然數，個個都是合

14、數.解：答案不是唯一的，其中的一種解法是：令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10個連續數，且個個都是合數. 一般地，要寫出n個連續自然數，個個是合數，可用令m=n+1, 那么m!+2, m!+3, m!+4, + m!+n+1 就是所求的合數.m!+i (2in+1) 有公約數i. 練習：32. 已知質數a， 與奇數b 的和等于11，那么a=_,b=_.33. 兩個互質數的最小公倍數是72

15、，若這兩個數都是合數，那么它們分別等于_，_.34. 寫出10個連續正奇數，個個都是合數，可設m=(10+1)×2， m!=22! 那么所求的合數是22!+3，_,_,_,35. 寫出10個連續自然數，個個都是合數，還可令 N=2×3×5×7×11.(這里11=10+1，即N是不大于11的質數的積).那么 N+2，N+3，N+4，N+11就是所求的合數.這是為什么？如果 要寫15個呢？36. 已知：x,m,n 都是正整數 . 求證：24m+2+x4n 是合數.五.奇數和偶數1.整數的一種分類：2. 運算性質：奇數+奇數=偶數， 偶數+偶數=偶數

16、， 奇數+偶數=奇數.奇數×奇數=奇數，偶數×偶數=偶數，奇數×偶數=偶數.(奇數)正整數=奇數，(偶數)正整數=偶數.4. 其他性質： 兩個連續整數必一奇一偶，其和是奇數，其積是偶數. 奇數的平方被4除余1；偶數的平方能被4整除；除以4余2或3的整數不是平方數.a) 2n (n為正整數)不含大 于1的奇因數.b) 若兩個整數的和(差)是奇數，則它們必一奇一偶.c) 若n個整數的積是奇數，則它們都是奇數. 例1. 設m 與n都是正整數，試證明m3n3為偶數的充分必要條件是mn為偶數.證明：m3n3（mn）(m2+mn+n2).當mn為偶數時，不論m2+mn+n2是

17、奇數或偶數，m3n3都是偶數；mn為偶數是m3n3為偶數的充分條件.當mn為奇數時，m, n必一奇一偶，m2，mn，n2三個數中只有一個奇數，m2+mn+n2是奇數，從而m3n3也是奇數.mn為偶數，是m3n3為偶數的必要條件.綜上所述m3n3為偶數的充分必要條件是mn為偶數.例2. 求方程x2y2=1990的整數解.解：(x+y)(xy)=2×5×199. 若x, y同是奇數或同是偶數，則 x+y，xy都是偶數，其積是4的倍數，但1990不含4的因數，方程左、右兩邊不能相等. 若x, y為一奇一偶，則xy，x+y都是奇數，其積是奇數，但1990不是奇數，方程兩邊也不能相等

18、.綜上所述，不論x, y取什么整數值，方程兩邊都不能相等. 所以 原方程沒有整數解本題是根據整數的一種分類：奇數和偶數，詳盡地討論了方程的解的可能性.練習：37. 設n為整數，試判定n2n+1是奇數或偶數.38. 1001+1002+1003+1989其和是偶數或奇數，為什么？39. 有四個正整數的和是奇數，那么它們的立方和，不可能是偶數，試說明理由.40. 求證：方程x2+1989x+9891=0沒有整數根.41. 已知： 求證：n是4的倍數.42. 若n是大于1的整數，p=n+(n21)試判定p是奇數或偶數，或奇偶數都有可能. 六. 按余數分類1. 整數被正整數 m除，按它的余數可分為m類

19、，稱按模m分類. 如：模m=2，可把整數分為2類:2k, 2k+1 k為整數，下同模m=3，可把整數分為3類:3k, 3k+1，3k+2.模m=9，可把整數分為9類:9k,9k+1,9k+2.9k+8.2. 整數除以9的余數，與這個整數各位上的數字和除以9的余數相同.如：6372，5273，4785各位數字和除以9的余數分別是0，8，6. 那么這三個數除以9的余數也分別是0，8，6.3. 按模m分類時，它們的余數有可加，可乘，可乘方的性質.如：若a=5k1+1,b=5k2+2. 則a+b除以5 余數 是3 (1+2)；ab除以5余2 (1×2)； b2 除以5余4 (22).例1.

20、求除以7的余數.解：=(7×284+1)1989， 11989 1 (mod 7).即除以7的余數是1.練習：43. 今天是星期一，99天之后是星期_.44. n 個整數都除以 n1, 至少有兩個是同余數，這是為什么？45. a 是整數，最簡分數化為小數時，若為循環小數，那么一個循環節最多有幾位？4. 運用余數性質和整數除以9的余數特征，可對四則運算進行檢驗例2. 下列演算是否正確？ 12625+9568=21193 ； 2473×429=.解：用各位數字和除以9，得到余數：12625，9568，21193除以9的余數分別是7，1，7. 7+17， 演算必有錯. 2473，

21、429，除以9的余數分別是7，6，7.而7×6=42，它除以9余數為6，不是7，故演算也有錯.注意：發現差錯是準確的，但這種檢驗并不能肯定演算是絕對正確.練習：46. 檢驗下列計算有無差錯： 83275= ； ÷6236=3748.5. 整數按模分類，在證明題中的應用例3. 求證：任意兩個整數a和b，它們的和、差、積中，至少有一個是3的倍數.證明：把整數a和b按模3分類，再詳盡地討論.如果a, b除以3，有同余數 (包括同余0、1、2)，那么a, b的差是3的倍數；如果a, b除以3，余數不同，但有一個余數是0，那么a, b的積是3的倍數；如果a, b除以3，余數分別是1和

22、2，那么a, b的和是3的倍數.綜上所述任意兩個整數a，b，它們的和、差、積中，至少有一個是3的倍數. (分類討論時，要求做到既不重復又不違漏)例4. 已知： p5，且 p和2p+1都是質數. 求證：4p+1是合數. 證明：把整數按模3分類. 即把整數分為3k,3k+1,3k+2 (k為整數)三類討論p是質數，不能是3的倍數，即p3k； 當p=3k+1時, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). 2p+1不是質數，即p3k+1； 只有當質數p=3k+2時， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5. 2 p+1也是質數， 符合題設.這時，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合數

23、. 證畢練習：47. 已知：整數a不能被2和3整除 . 求證：a2+23能被24整除. 48. 求證：任何兩個整數的平方和除以8，余數不可能為6.49. 若正整數a不是5的倍數. 則a8+3a44能被100整除.50. 已知：自然數n>2求證：2n1和2n+1中，如果 有一個是質數，則另一個必是合數.51.設a,b,c是三個互不相等的正整數，求證 a3bab3,b3cbc3,c3aca3三個數中，至少有一個能被10整除. 七. 整數解1. 二元一次方程 ax+by=c的整數解：當a,b互質時，若有一個整數的特解那么可寫出它的通解2. 運用整數的和、差、積、商、冪的運算性質 整數±

24、;整數=整數， 整數×整數=整數，整數÷(這整數的約數)=整數， (整數)自然數=整數3. 一元二次方程，用求根公式，根的判別式，韋達定理討論整數解.4. 根據已知條件討論整數解.例1. 小軍和小紅的生日.都在10月份，且星期幾也相同，他們生日的日期的和等于34，小軍比小紅早出生，求小軍的生日.解：設小軍和小紅的生日分別為x, y，根據題意，得 (k=1,2,3,4) 2x=347k x=17k=1, 3時， x沒有整數解；當k=2時， 當k=4時， (10月份沒有31日，舍去)小軍的生日在10月10日例2. 如果一個三位數除以11所得的商，是這個三位數的各位上的數的平方和

25、，試求符合條件的所有三位數. 解：設三位數為100a+10b+c, a, b, c都是整數，0<a9，0b, c9.那么 ， 且8<ab+c<18.要使ab+c被11整除，其值只能是0和11.( 1)當ab+c=0時， 得9a+b=a2+b2+c2.以b=a+c代入，并整理為關于a的二次方程，得 2a2+2(c5)a+2c2c=0根據韋達定理 這是必要而非充分條件.5c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4逐一討論a的解.當c=2,4時，無實數根；當c=1,3時，無整數解；只有當c=0時，a=5；或a=0. (a=0不合題意，舍去)只有c=0,a=5,b=5適合 所求

26、的三位數是550；(2)當ab+c=11時， 得9a+b+1=a2+b2+c2.以b=a+c代入，并整理為關于a的二次方程，得2a2+2(c16)a+2c223c+131=0. 仿(1)通過韋達定理，由c的值逐一以討論a的解.只有當c=3時, a=8, b=0適合所有條件.即所求三位數為803.綜上所述，符合條件的三位數有550和803.練習：52. 正整數x1, x2, x3,xn滿足等式x1x2x3x4+x5=x1x2x3x4x4x5 那么x5的最大值是_. 53. 如果p, q, 都是整數，.且p>1, q>1, 試求p+q的值.54. 能否找到這樣的兩個正整數m和n，使得等

27、式m2+1986=n2成立. 試說出你的猜想，并加以證明.55. 當m取何整數時，關于x的二次方程m2x218mx+72=x26x的根是正整數，并求出它的根. 56. 若關于x的二次方程（1+a）x2+2x+1a=0的兩個實數根都是整數，那么a的取值是_. 57. 不等邊三角形的三條邊都是整數，周長的值是28，最大邊與次大邊的差比次大邊與最小邊的差大1，適合條件的三角形共有_個，它們的邊長分別是：_.58. 直角三角形三邊長都是整數，且周長的數值恰好等于面積的數值，求各邊長.59. 雞翁一，值錢；，雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一.百錢買百雞，問雞翁、雞母、雞雛各幾何？60. 甲買鉛筆4支，筆記

28、本10本，文具盒1個共付1.69元，乙買鉛筆3支，筆記本7本，文具盒1個共付1.26元，丙買鉛筆、筆記本、文具盒各1，應付幾元？若1×2×3×4××99×100=12 n×M，其中M為自然數，n為使得等式成立的最大自然數，則M是( ) (A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除.(C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除.練習70參考答案：1. 9+90×2+900×3+990×4=68492. 2893 7956 3. 30，300，3

29、×10n1 4. 50,33,476,317 . 5.2550 6.2500.7. 1050 1. 1717.9.奇數 (1+1989)× . 10有兩組：18，19，20，21，22；9，10，11，12，13，14，15，16.11.有四組：除上題中的兩組外，尚有8到16；17到2212.13501. 13. 余數是6(由1到102剛好是198位).14. (1)192 (2)901 (3) 15.+=2416. 60個.計算積中含質因數5的個數是： 從10，25，40，55，700這組數中含質因數5的共有(70010)÷15+1=47；而25，100，175

30、，700含有52因數，應各加1個5，共有(10025)÷75+1=10；且250，625，含有53因數，應再各加1個5，共有 2個；625 含有54因數，再加1個5. 總共是47+10+2+1=60.17. =379+79+15+3=49418.把a(a21)(3a+2)化為a(a+1)(a1)(2a+4)+(a2)=2(a1)a(a+1)(a+2)+(a2)(a1)a(a+1).19.根據兩個連續整數必互質，把n+1個正整數按非連續數單獨分組，因為它們都小于2n,所以最多分為n 組，那么n+1個正整數至少有一個不能單獨分組，即與n組中的一個互質.20. 易證能被20整除，再證能被9

31、9整除21. 原數=(10n1)2+1×10n+(10n1)=102n22. 原數=×(102n1)2××(10n1)=()2=(23. 原數=×(1)= ×(10995+1) (109951)=×(10995+1) (101)×N (N為整數)24. p=×(103n+9×102n+8×10n+7) q=×(103n+3+9×102n+2+8×10n+1+7)10n=9×+1， 103n+3，102n+2，10n+1除以的余數分別為103，102，10.q的第二因式除以的余數分別為1×103+9×102+8×10+725.設A=103 M+N，7|(MN).A=103 M+N=103 M+MM+N=1001M(MN).26. 原數=27. 1. 28. 71與33的個位數相同. 29 . 0.30. 9個(1，25，10，20，25，50，100，125).31. 2，6. 可設9n2+5n+26=m(m+1),配方，分解因式32. 2，9. 33. 8，9.34. 22!+3，