1、第5章 大數(shù)定律和中心極限定理本章教學基本要求1.了解切比雪夫不等式，會用該不等式估算某些事件的概率.2.了解相關大數(shù)定律.3.了解相關中心極限定理，會用定理近似計算事件的概率.5.1大數(shù)定律一、主要知識歸納1.切比雪夫不等式：設隨機變量具有均值，方差，則對于任意正數(shù)，有不等式 成立.2. 切比雪夫大數(shù)定理：設隨機變量相互獨立，均具有有限方差，且有公共上界，即 ，則對于任意，有成立.3.辛欽大數(shù)定理：設相互獨立，服從同一分布的隨機變量序列，且具有數(shù)學期望.作前個變量的算術平均值，則對于任意，有 成立 4.伯努利大數(shù)定理：設是次重復獨立試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，是在一次試驗中事件發(fā)生的概率，則對于任

2、意正數(shù)，有 成立.二、基礎練習1設隨機變量的數(shù)學期望，方差，試利用切比雪夫不等式估計下列概率值：（1） （2）.2用切比雪夫不等式估計200個新生兒中,男孩多于80個且少于120個的概率(假定生男孩和女孩的概率均為0.5)3.設隨機變量是獨立同分布的隨機變量，其分布函數(shù)為，則辛欽大數(shù)定理對此序列（ ）A 適用 B 當常數(shù)、取適當數(shù)值時適用 C 不適用 D 無法判斷5.2中心極限定理一、主要知識歸納：1.獨立同分布中心極限定理:設隨機變量相互獨立服從同一分布，且具有有限的均值與方差，則對任意實數(shù)有成立.2.棣莫佛-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理:設，則對任意實數(shù)，有成立.二、

3、基礎練習1.一加法器同時收到20個噪聲電壓，設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間上服從均勻分布.記，求的近似值.2.對于一個學生而言，來參加家長會的家人是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學校共有400名學生，設各學生參加會議的家長人數(shù)相互獨立，且服從同一分布.（1）求參加會議的家長人數(shù)超過450的概率；（2）求有1名家長來參加會議的學生人數(shù)不多于340的概率.本章小結一 本章知識結構圖切比雪夫不等式大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定理辛欽大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理獨立同分布中心極限定理中心極限定理棣莫佛-拉普拉斯（De Moivre-La

4、place）定理二、綜合練習1. 設隨機變量的數(shù)學期望，方差，則由切比雪夫不等式有.2.一顆骰子連續(xù)擲4次,點數(shù)總和為.估計.3.生產燈泡的合格率為0.6,求10000個燈泡中合格數(shù)在58006200的概率.4.一大批種蛋中,良種蛋占80%.從中任取500枚,求其中良種蛋率未超過81%的概率.5.某商店負責供應某地區(qū)1000人商品,某種商品在一段時間內每人需用一件的概率為0.6,假定在這一段時間個人購買與否彼此無關,問商店應預備多少件這種商品,才能以99.7%的概率保證不會脫銷(假定該商品在某一段時間內每人最多可以買一件).6.對敵人的防御陣地進行100次轟炸，每次轟炸命中目標的炸彈數(shù)目是一個

5、隨機變量，其數(shù)學期望是2，方差是1.69，求在100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目標的概率.7.設是相互獨立的隨機變量,且它們都服從參數(shù)為的泊松分布.記,利用中心極限定理計算8.設某種器件使用壽命(單位:小時)服從指數(shù)分布,其平均使用壽命為20小時,具體使用時是當以器件損壞后立即更換另一新器件,如此繼續(xù),已知每個器件進價為元,試求在年計劃中應為此器件作多少元預算,才可以有95%的把握一年夠用(假定一年有2000個工作小時).三、單元測試一、 填空題：（每小題5分，共20分）1設隨機變量與相互獨立，且，則由切比雪夫不等式有.2設是個相互獨立同分布的隨機變量，對于，則，.3設，當時，則.4

6、設隨機變量相互獨立同分布，且，則.二、選擇題：（每小題5分，共20分）1設隨機變量，則隨的增大，概率是（ ）A 單調增大 B 單調減少 C 保持不變 D 增減不定2設為獨立同分布序列，且服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則（ ）其中.A B C D 3設隨機變量相互獨立同分布，令，則對任意，從切比雪夫不等式直接可得（ ）A B C D 4假設隨機變量相互獨立且服從同參數(shù)的泊松分布，則下面隨機變量序列中不滿足切比雪夫大數(shù)定律的是（ ）A B C D 三、計算題：（每小題12分，共60分）1已知正常成人男性血液中，每一毫升含白細胞數(shù)平均為7300，均方差為700，試利用切比雪夫不等式估計每毫升含白細胞數(shù)在52

7、00至9400之間的概率.2設各零件的重要都是隨機變量，它們相互獨立，且服從相同的分布，其數(shù)學期望為0.5公斤，均方差為0.1公斤.問5000只零件的總重量超過2510公斤的概率是多少？3一部件包括10個部分，每部分的長度是一個隨機變量，它們相互獨立，且服從同一分布，其數(shù)學期望為2毫米，均方差為0.05毫米.規(guī)定總長度為200.1毫米時產品合格，試求產品合格的概率.4某工廠生產炭末電阻，在正常生產情況下，廢品的概率為0.01，今取500個裝成一盒，問廢品不超過5個的概率是多少？5有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3米，現(xiàn)從木柱中隨機取出100根，問其中至少有30根短于3米的概率是多

8、少？第6章 數(shù)理統(tǒng)計基礎知識本章教學基本要求1.理解總體、樣本、統(tǒng)計量等基本概念，了解經驗分布函數(shù)。2.了解分布、t分布和F分布的定義及性質，理解上分位點的含義，會查各分布表計算。3.了解正態(tài)總體的某些常見抽樣分布。6.1數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、主要知識歸納 1 總體：在數(shù)理統(tǒng)計中，我們通常把具有一定共性的研究對象的全體稱為總體，而總體中的每個基本單位稱為個體.2 樣本：從總體中隨機抽取的個個體稱為總體的一個樣本，稱為樣本容量.它們的觀察值稱為樣本值.3 經驗分布函數(shù)：設總體的一個容量為n的樣本的樣本值可按大小次序排列成， 函數(shù) 是一個分布函數(shù)，稱為經驗分布函數(shù).二、基礎練習1.測得20個毛坯重

9、量（單位：g），列成如下簡表：毛坯重量185 187 192 195 200 202 205 206 207 208 210 214 215 216 218 227頻數(shù) 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1將其按區(qū)間183.5,192.5, ,219.5,228.5分為5組，列出分組統(tǒng)計表，并畫出頻率直方圖。2.設某商店100天銷售電視機的情況有如下統(tǒng)計資料：日售出臺數(shù)k2 3 4 5 6合計天數(shù)20 30 10 25 15 100求樣本容量，經驗分布函數(shù)6.2 統(tǒng)計量及其分布一、主要知識歸納1統(tǒng)計量：設為總體的一個樣本，稱此樣本的任何不含未知參數(shù)的函數(shù)為該樣本的統(tǒng)計

10、量.經驗分布函數(shù)就是一個統(tǒng)計量.2常用統(tǒng)計量：設為總體的一個樣本，常用統(tǒng)計量有：樣本均值 樣本方差 樣本標準差 樣本(k階)原點矩 樣本(k階)中心矩 3.分布：設是取自總體的樣本, 則稱統(tǒng)計量 服從自由度為n的分布,記為4t分布：設,且X與Y相互獨立,則稱 服從自由度為n的t分布, 記為.5F分布：設且X與Y相互獨立, 則稱 服從自由度為的F分布, 記為6. 正態(tài)總體的常見統(tǒng)計量的分布（1）設總體是取自X的一個樣本，與分別為該樣本的樣本均值與樣本方差,則有；與相互獨立；（2）設與分別是來自正態(tài)總體與的樣本, 且這兩個樣本相互獨立，與，與分別為兩樣本的樣本均值與樣本方差.記則 當時, 二、基礎

11、練習1.設是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，若隨機變量，試求的值，使統(tǒng)計量服從分布，并求其自由度。2.設隨機變量和相互獨立且均服從，而和分別是來自總體和的樣本，求統(tǒng)計量服從的分布。3.假定是取自正態(tài)總體的一個樣本，試求統(tǒng)計量服從的分布。本章小結一、本章知識點結構圖樣本方差樣本均值樣本k階原點矩樣本k階中心矩統(tǒng)計量統(tǒng)計量的分布分布分布理分布 正態(tài)總體常見統(tǒng)計量的分布二、綜合練習1.從正態(tài)總體中抽取樣本（1）已知， 求概率；（2）未知，求概率2.設總體服從兩點分布，其中為未知參數(shù)，是來自的簡單隨機樣本.(1)寫出的聯(lián)合概率分布;(2)指出,之中哪些是統(tǒng)計量,哪些不是,為什么?3.設總體服從參數(shù)為的指數(shù)

12、分布，概率密度為求和4.設總體,是一個樣本;(1)寫出的概率分布;(2)計算和;(3)設總體的容量為10的一組樣本觀察值為(1,2,4,3,3,4,5,6,4,8),試計算樣本均值,樣本方差及經驗分布函數(shù).5.設總體,從兩個總體中分別抽樣,得到如下結果:求概率6.設總體,抽取容量為25 的樣本,求樣本均值大于12.5的概率.(1)已知;(2)未知,但已知樣本方差三、單元測試一 填空題（每題4分，共20分）1 設是來自正態(tài)總體的樣本，為樣本均值，則的分布是 .2 設和是來自正態(tài)總體的兩個，和為兩個樣本的均值，則的分布是 .3 設，則的分布是 .4設是來自正態(tài)總體的樣本，則的分布是 .5設總體服從

13、正態(tài)分布，樣本來自總體，則當 .二 選擇題（每題4分，共20分）1.設是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，其中未知，則下面不是統(tǒng)計量的是A B C D 2設是來自正態(tài)總體的樣本，則服從的分布為（ ）.A B C D 3設是來自正態(tài)總體的樣本，則的方差是（ ）.A B C D 4設是來自正態(tài)總體的樣本，則統(tǒng)計量服從的分布是（ ）.A B C D5 對于給定的正數(shù)，設分別是標準正態(tài)分布，分布，分布和分布的上分位點，則下面的結論不正確的是（ ）A B C D 三 計算題（每題12分，共60分）1 總體X表示豫農一號玉米穗位（單位：cm），抽100株得到以下數(shù)據，按區(qū)間 將其分成9個組，請列出分組數(shù)據統(tǒng)計表

14、，并畫出頻率直方圖和累積頻率直方圖. 127 118 121 113 145 125 87 94 118 111 102 72 113 76 101 134 107 118 114 128118 114 117 120 128 94 124 87 88 105115 134 89 141 114 119 150 107 126 95 137 108 129 136 98 121 91 111 134 123138 104 107 121 94 126 108 114 103 129103 127 93 86 113 97 122 86 94 118109 84 117 112 112 125

15、94 73 93 94102 108 158 89 127 115 112 94 118 11488 111 111 104 101 129 144 128 131 1422 在總體中隨機抽一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率.3 已知離散型均勻總體，其分布律為 2 4 6 取容量為54的樣本，求（1） 樣本均值落于4.1到4.4之間的概率（2） 樣本均值超過4.5的概率4.設某廠生產的燈泡的使用壽命（單位：小時），隨機抽取一容量為9的樣本，并測得樣本方差，試求。 5. 設及分別是取自兩個獨立總體及的樣本，以和分別表示兩個樣本均值，求.第7章參數(shù)估計本章教學基本要求1

16、.理解參數(shù)的點估計概念，掌握矩估計法（一階，二階）2.理解估計量的無偏性，有效性及一致性的概念，會驗證估計量的無偏性，比較估計量的有效性。3.了解區(qū)間估計的基本概念，掌握單個正態(tài)總體的均值與方差的置信區(qū)間的求解方法。7.1參數(shù)的點估計一 主要知識歸納1點估計：設是來自總體的一個樣本，其中未知.如果構造一個統(tǒng)計量作為未知參數(shù)的估計，這種確定參數(shù)的方式就稱為點估計.2矩估計法的基本思想：用樣本矩作為總體矩的估計量，即用代替3最大似然估計法的基本思想：在未知參數(shù)所有可能取值范圍內，挑選未知參數(shù)的取值，使得實際發(fā)生的事件對于未知參數(shù)各種可能取值來說具有最大的概率或概率密度.4評價估計量的標準：1）無偏

17、性對于估計量，若有成立，此時稱為的無偏估計.2 ）有效性如果估計量和同是未知參數(shù)是的無偏估計，若，則稱比有效.3 ）一致性對于估計量，若依概率收斂于，即對任意，有，則稱是參數(shù)的一致估計量.二 基礎練習1設，參數(shù)已知，未知，試求的矩估計量和最大似然估計量.2.設總體，其中為已知，為未知參數(shù)，求的矩估計量與最大似然估計量.3.設總體為來自總體的樣本，當用及作為的估計時，試證明：是最有效的.7.2 參數(shù)的區(qū)間估計一 主要知識歸納1區(qū)間估計：對于總體未知參數(shù)，假如由樣本可以確定兩個統(tǒng)計量和（），使隨機區(qū)間包含真實參數(shù)的概率很大，即，則稱是未知參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.2單個正態(tài)總體的置信區(qū)間：設總體，

18、為取自總體X的樣本，分別是樣本均值和樣本方差，置信度為，則（1）若已知，則均值的置信區(qū)間為（2）若未知，參數(shù)的置信區(qū)間為（3）若未知，的置信區(qū)間為二 基礎練習1已知燈泡壽命的標準差小時，抽出25個燈泡檢驗，得平均壽命小時，試以的可靠性對燈泡的平均壽命進行區(qū)間估計（假設燈泡壽命服從正態(tài)分布）.2 人的身高服從正態(tài)分布，從初一女生中隨機抽取6名，測其身高如下（單位：cm）：149 158.5 152.5 165 157 142求初一女生平均身高的置信區(qū)間3某大學數(shù)學測驗，抽得20名同學的成績的平均值為，樣本方差，假設測驗成績服從正態(tài)分布，求的置信度為98%的置信區(qū)間本章小結一 本章知識點結構圖矩估

19、計法極大似然估計法評價標準點估計區(qū)間估計置信區(qū)間單個正態(tài)總體的參數(shù)估計參數(shù)估計二 綜合練習1.設總體在區(qū)間上服從均勻分布，求未知參數(shù)的矩法估計量.2.設總體的概率密度為為來自總體的樣本,求的極大似然估計.3.設總體的分布律為,為來自總體的樣本,試求:(1)的矩估計量;(2)的極大似然估計量.4.設總體的概率密度為求(1)的極大似然估計量;(2)判斷是否為的無偏估計.5.設由來自正態(tài)總體容量為9的簡單隨機樣本,得樣本均值求未知參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間.6.設總體未知,已知,為使總體均值的置信度為的置信區(qū)間的長度不大于L,則樣本容量至少應取值多少?三 單元測試一 選擇題（每題4分，共36分

20、）1 設是來自總體的簡單隨機樣本，則服從分布為（ ）.A B C D 2 下列敘述中正確的是（ ） A 若是的無偏估計，則也是的無偏估計.B 都是的估計，且，則比更有效.C 若都是的無偏估計，且，則優(yōu)于D 由于，則3 設為正態(tài)總體的一個樣本,若統(tǒng)計量為的無偏估計,則C值應為( ).A B C D 4 設總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布,若X為樣本均值,為樣本容量,則下式中錯誤的是( ).A B C D 5 設X在區(qū)間0,a上服從均勻分布, a>0是未知參數(shù),對于容量為n的樣本,a的最大似然估計為( ). A B C D 6 設為來自總體X的樣本，下列關于EX的無偏估計中，最有效的為（ ）.A B

21、 C D 7 設總體X的概率密度為,是來自X的簡單隨機樣本,則的矩估計量為( ).A B C D 8 設隨機變量X和Y相互獨立,且都服從正態(tài)分布,設和分別是來自兩總體的簡單隨機樣本,則統(tǒng)計量服從分布是( ).A B C D 9 設是來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值，記，則服從自由度的分布的隨機變量是（）. A B C D 二 計算題 （每題8分，共64分）1 設總體分布為,為未知參數(shù), 樣本觀察值，求的最大似然估計值 2設總體以等概率取值,求未知參數(shù)的矩估計量。3設容量為n的簡單隨機樣本取自總體N ( 3.4, 36 ),且樣本均值在區(qū)間(1.4,5.4)內的概率不小于0.95,問樣本容量n

22、至少應取多大？4設總體的方差為，據來自的容量為的簡單隨機樣本，測得均值為，則的期望的置信度近似等于的置信區(qū)間為多少？5設總體的方差未知，據來自的容量為的簡單隨機樣本，測得均值為，方差0.25 ，求的期望的置信度近似等于的置信區(qū)間為多少？6和分別是總體與的樣本,且相互獨立,其中,已知，求的置信區(qū)間7.某商店為了解居民對某種商品的需要，調查了100家住戶，得出每戶每月平均需求量為10kg，方差為9，如果這個商店供應10000戶，試就居民對這種商品的平均需求量進行區(qū)間估計，并依次考慮最少要準備多少kg這種商品才能以99%的把握滿足需求？8假設0.5,1.25,0.8,2.0是來自總體的簡單隨機樣本值

23、，已知服從正態(tài)分布，求：；的置信度為0.95的置信區(qū)間；的置信度為0.95的置信區(qū)間。第8章 假設檢驗本章教學基本要求1.理解顯著性假設檢驗的基本思想，了解其檢驗過程中產生的兩種錯誤。2.掌握單個正態(tài)總體的均值和方差的假設檢驗方法。8.1 假設檢驗的基本概念主要知識歸納1 顯著性假設檢驗的基本思想與基本步驟：(1)提出假設稱為原假設，同時也可提出其對立假設，也叫做備擇假設，檢驗的目的就是接受或是拒絕.(2) 假定原假設成立，選擇合適的統(tǒng)計量并確定其分布.(3) 給定一個小概率，稱為顯著性水平，規(guī)定小概率事件是不可能事件.(4)依據樣本計算，如果使得小概率事件發(fā)生則拒絕原假設，否則接受原假設.2

24、 兩種錯誤: 如果原假設正確，而拒絕了它，則檢驗方案犯了“棄真”錯誤，稱為第一類錯誤. 犯第一類錯誤的概率恰好就是小概率事件發(fā)生的概率，即；而如果原假設本來是錯誤的，按照檢驗方案，由于樣本觀察隨即特性導致最終接受了它，此時檢驗方案犯了“取偽”錯誤，稱為第二類錯誤.記其概率為，即.8.2單個正態(tài)總體參數(shù)假設檢驗一 主要知識歸納設總體，為總體的樣本，分別為樣本均值與樣本方差，給定顯著性水平，1提出假設，若已知, 選取統(tǒng)計量，則參數(shù)的拒絕域為：；若未知，選取統(tǒng)計量，則參數(shù)的拒絕域為：2當 未知，提出假設，選取統(tǒng)計量，則拒絕域為二 基礎練習1.設總體為來自總體的樣本，當和未知時，則（1）檢驗假設；（2

25、）檢驗假設應選擇怎樣的統(tǒng)計量？2.打包機裝糖入包，每包的標準重量為100kg，每天開工后，要檢驗所裝糖包的總體期望值是否合乎標準（100kg）。某日開工后，測得9包糖重量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5打包機裝糖的包重服從正態(tài)分布，問該天打包機工作是否正常（）？若總體方差選取，問該天打包機工作是否正常？3.要求一種元件平均使用壽命不得低于1000小時，生產者從一批這種元件中隨機抽取25件，測得其壽命的平均值為950小時。已知該種元件壽命服從標準差為小時的正態(tài)分布。試在顯著性水平下確定這批元件是否合格？設總體均值為，未知，即需

26、檢驗假設本章小結一 本章知識點結構圖U檢驗法t檢驗法F檢驗法顯著性假設檢驗兩類錯誤棄真取偽假設檢驗單個正態(tài)總體的參數(shù)的檢驗二 綜合練習1. 某地早稻收割根據長勢估計平均畝產為310kg，收割時，隨機抽取了10塊，測出每塊的實際畝產量為，計算得.如果已知早稻畝產量，試問所估產量是否正確？（）2.一自動車床加工零件的長度服從正態(tài)分布，車床正常時，加工零件長度均值為10.5，經過一段時間生產后，要檢驗這車床是否正常工作，為此抽取該車床加工的31個零件，測得數(shù)據如下：零件長度10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12頻數(shù) 1 3 7 10 6 3 1若加工零件長度方差不變，問此車

27、床工作是否正常？（）3.某廠生產樂器用合金弦線，其抗拉強度服從均值為10560（公斤/平方厘米）的正態(tài)分布.現(xiàn)從一批產品中抽取10根,測得其抗拉強度為:10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670問這批產品的抗拉強度有無顯著變化? （）4.設某異常區(qū)磁場強度服從正態(tài)分布,由以前觀測知道,現(xiàn)有一臺新型號的儀器,用它對該區(qū)進行磁測,抽取了41個點,其平均值,問用此儀器測出的結果是否符合要求? （）5已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布.現(xiàn)對操作工藝進行了某些改進,從中抽取五爐鐵水測得含碳量分別為

28、4.421, 4.052, 4.357, 4.287, 4.683.問:據此是否可以認為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為（）?三 單元測試一 填空題（每題4分，共8分）1 設總體是來自總體的樣本，記，當和未知時，則檢驗假設所使用的統(tǒng)計量是 ，檢驗假設使用的統(tǒng)計量是 。2 某種產品以往的廢品率為5%，采取某種技術革新措施后，對產品的樣本進行檢驗；這種產品的廢品率是否有所降低，取顯著性水平，則此問題的原假設 ；備擇假設 ；凡第一類錯誤的概率為 。二 選擇題（每題4分，共32分）1 在假設檢驗中,一般情況下( ).A 只犯第一類錯誤 B 只犯第二類錯誤C 兩類錯誤都可能發(fā)生 D 不會犯錯誤2 設總體

29、已知，未知，為的樣本，記，又表示標準正態(tài)分布的分布函數(shù)，已知，則的置信水平為0.95的置信區(qū)間是（ ）A B C D 3 設總體未知,通過樣本檢驗假設,要采用檢驗估計量( ).A B C D 4 設為來自總體的樣本，對于檢驗的拒絕域可以形如（ ）.A B C D 5設樣本來自總體未知.對于檢驗，取拒絕域形如，若取，則值為（ ）.A 1.176 B 1.96 C 1.64 D 0.984 6 在假設檢驗中，顯著性水平的意義是（ ）A 原假設成立，經檢驗被拒絕的概率B 原假設不成立，經檢驗被拒絕的概率C 原假設成立，經檢驗不能拒絕的概率D 原假設不成立，經檢驗不能拒絕的概率7在假設檢驗中，記為原假設，則稱（ ）為第一類錯誤。A 為真，接受； B 不真，拒絕；C 為真，拒絕； D 不真，接受；8 設和是來自正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差，樣本容量為，則為（ ）A 的拒絕域 B 的接受域C 的一個置信區(qū)間 D 的一個置信區(qū)間三 計算題（每題10 分，共60分）1設考生的某次考試成績服從正態(tài)分布，從中任取36位考生的成績，其平均成績?yōu)?6.5分，樣本標準差為15分.問在0.05的顯著性水平下，可否認為全體考生這次考試的平均成績?yōu)?0分，給出檢