1、第三章 微積分基本思想教學(xué)目的：1.使學(xué)生準(zhǔn)確掌握導(dǎo)數(shù)與微分的概念。明確其物理、幾何意義，能從定義出發(fā)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分；2.弄清函數(shù)可導(dǎo)與可微之間的一致性及其相互聯(lián)系，熟悉導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算性質(zhì)和微分法則，牢記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并熟練地進(jìn)行初等函數(shù)的微分運(yùn)算；3.能利用導(dǎo)數(shù)與微分的意義解決某些實(shí)際問題的計(jì)算。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：本章重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)與微分的概念及其計(jì)算；難點(diǎn)是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 教學(xué)時(shí)數(shù)：16學(xué)時(shí) §3.1 導(dǎo)數(shù)的概念 教學(xué)目的：使學(xué)生準(zhǔn)備掌握導(dǎo)數(shù)的概念。明確其物理、幾何意義，能從定義出發(fā)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，能利用導(dǎo)數(shù)的意義解決某些實(shí)際應(yīng)用的計(jì)算問題。教

2、學(xué)要求：深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達(dá)其定義；明確其實(shí)際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相互聯(lián)系和區(qū)別；明確導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)概念解決一些涉及函數(shù)變化率的實(shí)際應(yīng)用為體；會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程。教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念。教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念。教學(xué)方法：“系統(tǒng)講授”結(jié)合“問題教學(xué)”。一、問題提出：導(dǎo)數(shù)的背景. 背景：運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度；曲線的切線.二、講授新課： 1.導(dǎo)數(shù)的定義: 定義 設(shè)在)(0xU有定義，在自變量的改變量是，相應(yīng)函數(shù)的改變量是)()()()(000xfxxfxfxfy-D+=-=D，若存在，稱函數(shù)在可導(dǎo)，此極限稱

3、為函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)（或微商）。表為或。即。若此極限不存在，稱函數(shù)在不可導(dǎo)。例1 求 例2 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 可導(dǎo), 求極限 2.單側(cè)導(dǎo)數(shù): 定義 若（）存在，稱函數(shù)在右可導(dǎo)（左可導(dǎo)），極限稱為右導(dǎo)數(shù)（左導(dǎo)數(shù)），記為（），有時(shí)也記為（）。 易見，在可導(dǎo)等價(jià)于在左、右可導(dǎo)都存在且相等。例3  考查 在點(diǎn)的可導(dǎo)情況.3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:   可導(dǎo)的幾何意義, 導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 單側(cè)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.例4  求曲線 在點(diǎn)處的切線與法線方程.4.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系: 定理 若在可導(dǎo)，則必在連續(xù)。反之不成立，例如在連續(xù)，但不可導(dǎo)。5.導(dǎo)函數(shù): 定義 若函數(shù)在區(qū)間I的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)

4、在區(qū)間I可導(dǎo)，稱為在I的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，記為或或。函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)性, 導(dǎo)函數(shù), 導(dǎo)函數(shù)的記法.   例5 求的導(dǎo)數(shù)。例6 求的導(dǎo)數(shù)。例7 求的導(dǎo)數(shù)。例8 求的導(dǎo)數(shù)。例9 設(shè)，求。注意: 等具體函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不能記為 應(yīng)記為 練習(xí)P124 2 3 4 5 8 10 作業(yè)P124 7 9 §3.2 導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目的：熟悉導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則，牢記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并熟練進(jìn)行初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算。教學(xué)要求：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并在熟記基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的基礎(chǔ)上綜合運(yùn)用這些法則與方法熟練準(zhǔn)確地求出初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)

5、：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、反函數(shù)求導(dǎo)法；教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。教學(xué)方法： 以問題教學(xué)法為主，結(jié)合課堂練習(xí)。一、復(fù)習(xí)引新：復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念等知識(shí)，并由此引入新課. 二、講授新課： （一）.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 定理2.1 如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則必連續(xù).證:(略) 定理2.1的逆定理不成立。即連續(xù)不一定可導(dǎo)。如：.（二）.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則: 推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算公式.(只證“”和“”)定理2.2 若函數(shù)與在可導(dǎo)，則函數(shù)在可導(dǎo)，且.例1 求 定理2.3若函數(shù)與在可導(dǎo)，則函數(shù)在可導(dǎo)，且。應(yīng)用歸納法可將定理2推廣到任意有限個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)。推論：若函數(shù)在都可導(dǎo)，則可導(dǎo)，且

6、。特別到常數(shù)與函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例2 求 ( 定理2.4若函數(shù)與在可導(dǎo)，且，則函數(shù)在可導(dǎo)，且。例3 求 例4 求正切函數(shù)與余切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例5 求正割函數(shù)與余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例6 證明: .例7 求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程.  練習(xí)P130 1（1,3,5,7,9） 2 3 5 作業(yè)P131 4 6§3.3 微分及其性質(zhì) 重點(diǎn)與難點(diǎn)：微分定義及幾何意義。基本內(nèi)容：1、微分定義；2、微分的運(yùn)算法則和公式；3、微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用。基本要求：1、掌握微分定義及幾何意義；2、掌握微分與導(dǎo)數(shù)的異同及其不同功用；3、會(huì)求函數(shù)的微分。基本方法：求函數(shù)微分的方法。課時(shí)分

7、配：2學(xué)時(shí)。一、微分的概念定義 若函數(shù)在的改變量與自變量的改變量有如下關(guān)系，其中是與無關(guān)的常數(shù)，稱函數(shù)在可微，稱為函數(shù)在的微分，記為。也稱為線性主部。例1 設(shè)，求定理3.1 函數(shù)在可微函數(shù)在可導(dǎo)。二、微分的運(yùn)算法則和公式已知可導(dǎo)和可微是等價(jià)的，且。從而有：若函數(shù)與可微，則1. ，其中為常數(shù)；2. ；3. ；4. 求微分公式：1. ，其中c是常數(shù)。2. ，其中是常數(shù)；。3. ；4. ；5. ；6. ；。三、微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用1.  建立近似公式: 原理: 即 特別當(dāng) 時(shí), 有近似公式 具體的近似公式如: 等. 2. 作近似計(jì)算: 原理: 例2  求 和 的近似值

8、.例3 求 的近似值. 3估計(jì)誤差： 絕對(duì)誤差估計(jì)： 相對(duì)誤差估計(jì)： 例4 設(shè)已測(cè)得一根圓軸的直徑為 ，并知在測(cè)量中絕對(duì)誤差不超過 . 試求以此數(shù)據(jù)計(jì)算圓軸的橫截面面積時(shí)所產(chǎn)生的誤差. 4. 求速度: 原理: 例5 球半徑以的速度勻速增大.求時(shí),球體積增大的速度. 練習(xí)P136 2 (1,3,5) 3(2,4) 5（1，3，5）作業(yè)P136 2(2,4) 3(1,3)  §3.4 定積分的概念 教學(xué)目的：1、定積分的實(shí)際背景和問題的提出；2、定積分概念的數(shù)學(xué)抽象及定積分定義；3、可積的必要條件。教學(xué)要求：了解定積分的背景及思想，基本掌握定積分的定義，掌握定積分的必

9、要條件。教學(xué)重點(diǎn)：定積分的定義及可積的必要條件。教學(xué)難點(diǎn)：定積分的定義及思想、定積分定義中的任意性。教學(xué)方法：極限的方法。課時(shí)分配：一、實(shí)例1、曲邊梯形的面積2、物體運(yùn)動(dòng)的路程二、定積分的概念定義 設(shè)函數(shù)在有定義，在中插入個(gè)分點(diǎn)，此分法表為，分法將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，第個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度表為，作和式，稱為在上的積分和或黎曼和，記。定義  設(shè)函數(shù)在有定義，任給的分法和一組，有積分和，若當(dāng)時(shí)，積分和存在極限，設(shè)且與及無關(guān)，則稱在可積，稱為在的定積分，記做。定理4.1 若在可積，則在有界。注：有界是可積的必要條件而非充分條件。例如函數(shù)，則有界而不可積。定理4.2 若函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在a

10、,b上可積.定理4.3若函數(shù)在閉區(qū)間a,b上有界，且只有有限個(gè)或可列多個(gè)間斷點(diǎn)，則在a,b上可積.定理4.4若函數(shù)是閉區(qū)間a,b上單調(diào)函數(shù)，則必可積.例 計(jì)算定積分.練習(xí)P145 1 2 4§3.5 定積分的性質(zhì)教學(xué)目的：1、定積分的性質(zhì)（定積分的線性性、兩種可加性，即關(guān)于區(qū)間的可加性和關(guān)于函數(shù)的可加性，積分不等式）及其證明； 2、積分中值定理（第一積分中值定理及其推廣）及其證明。教學(xué)要求：基本上掌握定積分的性質(zhì)及積分中值定理并能運(yùn)用它們證明一些命題。教學(xué)重點(diǎn)：定積分的性質(zhì)、積分中值定理及其它們的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：定積分的性質(zhì)、積分中值定理的證明及其它們的應(yīng)用。教學(xué)方法：應(yīng)用積分的性質(zhì)

11、和積分中值定理證明一些問題的方法。課時(shí)分配：一、定積分的性質(zhì)規(guī)定：當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有。定理5.1 若，有（常數(shù)），則在可積，且。定理5.2 若在可積，則在也可積，且定理5.3  若在閉區(qū)間可積，則在閉區(qū)間也可積，且推論1 若個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間可積，則在閉區(qū)間也可積，且定理5.4 若在閉區(qū)間可積，則在閉區(qū)間也可積，且。推論2 若在閉區(qū)間可積，則在閉區(qū)間也可積，且。定理5.5 若在閉區(qū)間可積，且，則。推論3 若在閉區(qū)間可積，則。定理5.6 若在閉區(qū)間可積，則在閉區(qū)間可積，且。推論4若在閉區(qū)間可積，且，則。例 證明 證明（略）。二、積分中值定理定理5.7 若在閉區(qū)間連續(xù)，則，有。練習(xí)P149

12、1 2 作業(yè)P149 2 3(1,2)§3.6 微積分基本定理教學(xué)目的：掌握微分與積分基本關(guān)系，能使用牛頓萊布尼茲公式；教學(xué)要求：基本上掌握牛頓-萊布尼茲公式；并能運(yùn)用它們證明一些命題。教學(xué)重點(diǎn)：牛頓-萊布尼茲公式及其它們的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：微分與積分的互逆運(yùn)算。教學(xué)方法：講練課時(shí)分配：一、 微積分基本定理實(shí)例:速度與路程關(guān)系分析 定義：設(shè)，在區(qū)間I上有定義，如果那麼就稱是在區(qū)間I上的原函數(shù)。 定理6.1（微積分基本定理） 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，是在區(qū)間I上的原函數(shù)，那么也稱為牛頓-萊布尼茲公式。記作：例1 求例2求定積分二、 原函數(shù)的存在性定理6.2 如果函數(shù)在閉區(qū)間a,

13、b上的連續(xù)，那么在閉區(qū)間a,b上的原函數(shù)是練習(xí)P154 1 2 3 作業(yè)P155 3 4 三、習(xí)題講解 （一）. 可導(dǎo)條件:例1 設(shè)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有 證明 在點(diǎn) 可導(dǎo).例2 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 可導(dǎo), 則 在點(diǎn)不可導(dǎo). 例3 設(shè)函數(shù) 定義在區(qū)間 內(nèi), 試證明: 在點(diǎn) 可導(dǎo)的充要條件是存在 內(nèi)的函數(shù) （僅依賴于 和 . 使 在點(diǎn) 連續(xù)且適合條件 并有  證 設(shè) 存在, 定義 易驗(yàn)證函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù), 且 設(shè) 又 在點(diǎn) 連續(xù). 則有 即 存在且 （二）. 求導(dǎo)數(shù)或求切線: 例4 求 和 （三）曲線的吻接: 曲線的吻接及其解析表達(dá).   例5 設(shè) 確定 、 和 的值，使函數(shù) 在點(diǎn) 可導(dǎo). )  （四）. 奇、偶函數(shù)和周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：  例6 可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù). ( 給出用定義證和用鏈導(dǎo)公式證兩種證法) 例7 設(shè) 是偶函數(shù)且在點(diǎn) 可導(dǎo), 則 .證 即 由