1、專題測(cè)試數(shù)列與不等式數(shù)列與不等式均是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，所以在高考中占有重要的地位. 高考對(duì)這兩部分的考查比較全面，在近年來的全國各地高考試題中，常常綜合在一起考查這兩部分知識(shí)，尤其是在解答題中較為明顯. 在高考試題中，數(shù)列與不等式這部分知識(shí)所占分值大約是20分. 解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題有較好的區(qū)分度. 有關(guān)數(shù)列的綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)與不等式的知識(shí)綜合起來，其中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，通常要用到放縮法以及函數(shù)思想（求函數(shù)的最值等）. 這就要求考生能夠靈活地運(yùn)用相關(guān)數(shù)列的性質(zhì)與不等式的方法去解決相關(guān)問題. 估計(jì)2008年全國各地的高考試題中

2、仍會(huì)出現(xiàn)數(shù)列與不等式的綜合問題，因此考生在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)注意掌握數(shù)列與不等式中的常見方法，并注意積累一些特殊的方法，從而做到靈活處理相關(guān)的問題.本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分. 滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1在數(shù)列an中，a1=14，3an=3an+1+2，則使anan+2<0成立的n值是（ ） A.21 B.22 C.23 D.242已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n+2008，則滿足5<ak<8的k=（ ） A.9

3、 B.8 C.7 D.63.（理）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是（其中nN*），那么數(shù)列an的最大項(xiàng)是（ ） A.a2006 B. a2007 C. a2006或a2007 D. a2008 （文）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=-n2+n（其中nN*）是一個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列，則常數(shù)的取值范圍（ ） A.(3，+) B.（-，3） C. D.4數(shù)列an的通項(xiàng)公式是關(guān)于x的不等式x2-x<nx（nN*）的解集中的整數(shù)個(gè)數(shù)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=（ ） A.n2 B.n(n+1) C. D.(n+1)(n+2)5若數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式分別是an=(-1)n+2007·a，且an<

4、bn，對(duì)任意nN*恒成立，則常數(shù)a的取值范圍是（ ） A.（-2，1） B. C. D.（-2，）6在等差數(shù)列an中，a10<0，a11>0且a11>|a10|，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則使Sn>0的n的最小值是（ ） A.21 B.20 C.10 D.117（理）已知首項(xiàng)為a、公比為q（0<|q|<1）的無窮等比數(shù)列an的各項(xiàng)和是S，其前n項(xiàng)和是Sn，且(Sn-q2S)=q，則a的取值范圍是（ ） A. B.C. D.（文）無窮數(shù)列1，的前（ ）項(xiàng)和開始大于10（ ）A.99 B.100 C.101 D.1028已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=-n2+12

5、n-32，其前n項(xiàng)和是Sn，則對(duì)任意的n>m（其中n、mN*），Sn- Sm的最大值是（ ） A.5 B.10 C.15 D.209已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn，且a1=2008，且存在自然數(shù)p10，使得Sp=ap，則當(dāng)n>p時(shí)，Sn與an的大小關(guān)系是（ ） A.anSn B.an>Sn C.anSn D.an< Sn10已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和是，則使an<-2006成立的最小正整數(shù)n=（ ） A.2009 B.2010 C.2011 D.201211已知集合M=0，2，無窮數(shù)列an滿足anM，且p=，則p一定不屬于區(qū)間（ ） A. B. C. D.12已

6、知某企業(yè)2006年的生產(chǎn)利潤逐月增加，為了更好地發(fā)展企業(yè)，該企業(yè)也同時(shí)在改造建設(shè). 其中一月份投入的建設(shè)資金恰好一月份的利潤相等，且與每月增加的利潤相同. 隨著投入的建設(shè)資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建設(shè)資金又恰與十二月份的生產(chǎn)利潤相同. 則該企業(yè)在2006年的總利潤M與總投入資金N的大小關(guān)系是 A.M>N B.M<N CM=N D.M、N的大小關(guān)系不確定第卷（非選擇題） 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上.13（理）在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a2a8=，a1+a9的最小值是m，且3a=m，其中a(k，k+1

7、)，則整數(shù)k= . （文）在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a2a8=25，a1+a9的最小值是m= .14（理）一張厚度為0.1 mm的矩形紙片，每次將此紙片沿一組對(duì)邊的中點(diǎn)連線對(duì)折，則經(jīng)過 次這樣的折疊后其厚度開始大于100 m（假設(shè)這樣的折疊是可以實(shí)現(xiàn)的，參考數(shù)據(jù)：lg 2=0.3010）.（文）一種機(jī)械設(shè)備的價(jià)格為200000元，假設(shè)維護(hù)費(fèi)第一年為1000元，以后每年增加1000元，當(dāng)此設(shè)備的平均費(fèi)用為最小時(shí)為最佳更新年限，那么此設(shè)備的最佳更新年限為 .15在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且a2，b2，c2成等差數(shù)列，則sinB的最大值是 .16（理）設(shè)正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)之和是

8、bn，數(shù)列bn前n項(xiàng)之積是cn，且bn+cn=1，則數(shù)列中最接近108的項(xiàng)是第 項(xiàng).（文）在等比數(shù)列an中，a1=，公比q=，其前n項(xiàng)之和是Sn，x=S10(S20+S30)，y=，則x，y的大小關(guān)系是 .三、解答題：本大題共6小題，共70分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（本小題滿分10分）已知數(shù)列an是遞增等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，且a1，a2，a4成等比數(shù)列.（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）令，當(dāng)n為何正整數(shù)時(shí)，Tn>Tn+1？若對(duì)一切正整數(shù)n，總有Tnm，求m的取值范圍.18（本小題滿分12分）（理）已知數(shù)列an是首項(xiàng)為q、公比為q的等比數(shù)列（其中q>

9、;0且q1），設(shè)（其中nN*）.（1）當(dāng)q=2時(shí)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn； （2）在（1）的條件下，求的值； （3）當(dāng)時(shí)，在數(shù)列bn中，是否存在最小的自然數(shù)n，使得對(duì)任意的m>n（mN*），都有bm>bn？證明你的結(jié)論.（文）數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an =（其中nN*），前n項(xiàng)和為Sn.（1）化簡數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；（2）求證：19（本小題滿分12分）醫(yī)學(xué)上為了確定某種傳染病在傳播過程病毒細(xì)胞的生長規(guī)律及其預(yù)防方法，通常將這種病毒細(xì)胞m個(gè)注入一只小白鼠的體內(nèi)進(jìn)行試驗(yàn).在試驗(yàn)過程中，將病毒細(xì)胞的數(shù)量（個(gè)）與時(shí)間（h）的關(guān)系記錄如下表：時(shí)間（h）1234567病毒細(xì)胞總數(shù)（個(gè)）m

10、2m4m8m16m32m64m 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的數(shù)量超過m×106個(gè)時(shí)，小白鼠將死亡，但有一種藥物對(duì)殺死此種病毒有一定的效果，在最初使用此藥物的幾天內(nèi)，每次用藥可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%. （1）為了使小白鼠在試驗(yàn)過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物？ （2）第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（答案精確到小時(shí)，參考數(shù)據(jù)：lg 2=0.301 0）20（本小題滿分12分） 已知函數(shù)f (x)=x+1，點(diǎn)(nN*)在y = f -1(x)上，且a1=a2=1. （1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，若Sn>m恒成立，求常數(shù)m的取值范圍

11、.21（本小題滿分12分） 已知數(shù)列an滿足：a1=2，a2=3，2an+1=3an-an-1(n2).（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；（2）求使不等式成立的所有正整數(shù)m、n的值.22（本小題滿分12分） 已知點(diǎn)P1、P2、P3、Pn、順次為曲線xy=（x>0）上的點(diǎn)（如圖所示），點(diǎn)Q1、Q2、Q3、Qn、順次為x軸上的點(diǎn)，且OP1Q1、OP2Q2、Qn-1PnQn、均為等邊三角形. 記點(diǎn)Qn(cn，0)，Pn(an，bn) (其中nN*). （1）求數(shù)列cn(nN*)的通項(xiàng)公式； （2）（理）求數(shù)列an(nN* )的通項(xiàng)公式及的值； （文）求數(shù)列an(nN* )的通項(xiàng)公式. （3）（理

12、）求證：(其中nN* ).（文）求證：(其中nN* ).參考答案1A 由已知得an+1-an=，an=14+(n-1)()=，anan+2=·<0，(n-20)(n-22)<0，20<n<22，因此n=21，選A.2B 由題意得an=，由5<ak<8得 5<-10+2k<8，<k<9，又kN，所以k=8，選B.3（理）C 由題意得an>0，當(dāng)n<2006時(shí)，>1，an+1> an且a2007=a2006；當(dāng)n2007時(shí)，<1，an+1< an. 綜上所述，數(shù)列an的最大項(xiàng)是a2007=a2

13、006. （文）B an+1- an = -(n+1)2 +(n+1)+n2-n=-2n-1<0得<2n+1，其中nN*，因此<3.4C 由x2-x<nx得0<x<n+1，nN*，因此an=n，Sn=，選C.5C 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，由an<bn得a<2-，a<1；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，由an<bn得-a<2+，-a2，a-2，因此常數(shù)a的取值范圍是.6B 設(shè)數(shù)列an的公差是d，由已知得a11>-a10，a11+a10>0，2a1+19d>0，2a1>-19d.令Sn=na1+d=n·>0即2a1+(n

14、-1)d>0，而2a1+(n-1)d>-19d+(n-1)d=(n-20)d，需(n-20)d0，又d>0，因此n20，選B.7（理）由題意得(1-q2)S=(1-q2)·=a(1+q)=q， a=1-，又0<|q|<1，0<1+q<2且1+q1，a<且a0，選C. （文）C 由題意得該數(shù)列有1+3+(2n-1)=n2項(xiàng)的和是n，因此其前101項(xiàng)和開始大于10，選C.8B 由an=-n2+12n-32=-n(n-4)(n-8)>0得4<n<8，即在數(shù)列an中，前三項(xiàng)以及從第9項(xiàng)起后的各項(xiàng)均為負(fù)且a4=a8=0，因此Sn

15、-Sm=am+1+am+2+an的最大值是a5+a6+a7=3+4+3=10.9B 由Sp=ap得a1+a2+ap-1=，a1+p-1=0. 又a1=2008>0，因此ap-1<0，數(shù)列an的公差小于零. 當(dāng)n>p時(shí)，Sn-1=a1+a2+an-1<Sp-1=0，Sn=Sn-1+an< Sp-1+an=an，即an>Sn.10B 設(shè)數(shù)列an的公差是d，則，且a1，d=-1且a1=2，an=2-(n-1)=3-n<-2006，n>2009，因此使an<-2006成立的最小正整數(shù)n=2010，選B.11C 由題意得當(dāng)a1=0時(shí)，0p=<；

16、當(dāng)a1=2時(shí)，p，即1>p.因此結(jié)合各選項(xiàng)知選C.12A 設(shè)一月份投入的建設(shè)資金與一月份的利潤均為a，每月增加投入的百分率為r，則各月的利潤依次組成一個(gè)數(shù)列an，其中an=na(1n12，nN*)，各月的建設(shè)資金依次組成一個(gè)數(shù)列bn，其中bn=a(1+r)n-1(1n12，nN*)，由于a1=b1，a12=b12，結(jié)合函數(shù)y=ax與y=a(z1+r)x-1的圖象可知a2>b2，a3>b3，a11>b11，因此M>N.13（理）-1 由題意得a1+a9，3-1<3a=<1=30，-1<a<0，k=-1. （文）10 由題意得a1+a9>

17、14（理）20 由題意得，經(jīng)過n次這樣的折疊后其厚度是0.1×2n mm，令0.1×2n>100×103=105得，2n>106，n>，因此經(jīng)過20次這樣的折疊后其厚度開始大于100 m.（文）20 當(dāng)此設(shè)備使用了n年時(shí)，此設(shè)備的平均費(fèi)用是500·=20500，當(dāng)且僅當(dāng)=n，即n=20時(shí)取得等號(hào).15 由已知得2b2=a2+c2，cosB=，因此sinB=.16（理）10 依題意得(n2)，又bn+cn=1，則+cn=1，=1，由b1=c1，b1+c1=1得b1=c1=，則cn=，bn=，所以an=bn-bn-1=n(n+1)，因此數(shù)列

18、中最接近108的項(xiàng)是第10項(xiàng). （文）x=y 由等比數(shù)列的性質(zhì)知(S20-S10)2=S10(S30-S20)，即S10S30-S10S20，也即=S10(S20+S30)，則x=y.17（1）設(shè)公差為d（d>0），則有=a1a4，(2+d)2=2(2+3d)，由此解得d=0（舍去）或d=2，因此an=2+2(n-1)=2n； （2）由（1）得n(n+1)， ，即n>2(nN* )；=1，T2=T3=，又n>2時(shí)，Tn>Tn+1，各項(xiàng)中數(shù)值最大值為，對(duì)一切正整數(shù)n，總有Tnm恒成立，因此m. 命題動(dòng)向 近年來的全國各地的高考試題中，有關(guān)等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及

19、前n項(xiàng)和公式的基本考查常有出現(xiàn)，這就要求考生對(duì)于這方面的知識(shí)比較熟悉，做到靈活地使用，同時(shí)注意與其他知識(shí)間的聯(lián)系.18（理）（1）當(dāng)q=2時(shí)，an=2n，bn=2n·log22n=n·2n，Sn=1·21+2·22+n·2n ， 2Sn=1·22+2·23+(n-1)·2n+n·2n+1 ， 由-得，-Sn=21+22+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1- n·2n+1+2，； （2）由（1）得； （3）當(dāng)q=時(shí)，存在最小的自然數(shù)n=2008，使得對(duì)任意的m>

20、n（mN*），都有bm>bn.證明如下： 當(dāng)q=且n2008時(shí)，an=，bn=n·log2，bn+1-bn=(n+1)log2-n·log2=··log2>0，由于1>>0，log2<0，-<0，因此bn+1-bn>0，即bn+1>bn，數(shù)列bn從第2008項(xiàng)開始各項(xiàng)隨著n的增大而增大，故存在最小的自然數(shù)n=2008，使得對(duì)任意的m>n（mN*），都有bm>bn.（文）（1）由an= ，an=，即an= ，由+得2an=·2n，則an=n·2n-1；（2）由an=n·

21、;2n-1得Sn=1·20+2·21+3·22+n·2n-1 ，2Sn=1·21+2·22+3·23+（n-1）2n-1+n·2n ，由-得-Sn=1+21+22+2n-1-n·2n=·2n，Sn=(n-1)·2n+1，因此. 規(guī)律總結(jié) 有關(guān)數(shù)列前n項(xiàng)和的求解問題，具體問題應(yīng)當(dāng)進(jìn)行具體分析. 當(dāng)一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積所構(gòu)成，則此時(shí)可采用錯(cuò)位相減法. 把其前n項(xiàng)和的表示式兩邊同時(shí)乘以公比，然后兩式相減，從而求解. 當(dāng)一個(gè)數(shù)列an滿足：a1+an=a2+a

22、n-1=時(shí)，可考慮采用倒序相加法來求其前n項(xiàng)和.19.（1）設(shè)第一次最遲在第n（h）時(shí)注射藥物 由病毒細(xì)胞的生長規(guī)律可知，第n（h）時(shí)病毒細(xì)胞的數(shù)量是2n-1·m個(gè).因此為了使小白鼠在試驗(yàn)過程中不死亡，應(yīng)有2n-1·mm×106，即2n-1106，(n-1)lg26，n1+20.9，第一次最遲應(yīng)在第20（h）時(shí)注射該種藥物；（2）第20（h）時(shí)的小白鼠體內(nèi)的病毒細(xì)胞數(shù)是210·m(1-98%)=個(gè).設(shè)第一次注射藥物后的第t小時(shí)必須注射藥物，則·2tm×106，即2t+20108，(t+20)lg28，t-206.57，因此第二次注射藥

23、物的時(shí)間最遲應(yīng)在自開始注射該種藥物后的第6（h），才能維持白鼠的生命. 規(guī)律總結(jié) 解決實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟：（1）讀題：反復(fù)讀題，領(lǐng)悟題目的數(shù)學(xué)本質(zhì)，弄清題中出現(xiàn)的每個(gè)量及其數(shù)學(xué)含義；（2）建模：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出關(guān)鍵量，根據(jù)題意進(jìn)行數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)，建立目標(biāo)函數(shù)（函數(shù)模型）；（3）求解：用相關(guān)的函數(shù)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)上的計(jì)算；（4）反饋：把計(jì)算獲得的結(jié)果返回到實(shí)際問題中，寫出答案.20（1）f (x)=x+1的反函數(shù)是f -1(x)=x-1， 點(diǎn)(n+1，)（nN*）在反函數(shù)圖象上，=n，而a1=1，·=1·2·3(n-1)，an=(n-1)！；（2）Sn= 又Sn隨n的增大而增

24、大，SnS1=，由Sn>m得，m<，即常數(shù)m的取值范圍是(-，).思路點(diǎn)撥 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法. 當(dāng)已知數(shù)列an的遞推公式是= f (n)的形式時(shí)，通常采用累乘的方法求解.21（1）2an+1=3an-an-1(n2)，得2(an+1-an)=an-an-1(n2)， (n2)，因此數(shù)列an-an-1是以a2-a1=1，為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， an-an-1=， 當(dāng)n2時(shí)，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 ，又a1=2=4-， 因此an=4-. （2）由不等式，得<， ， 即，所以2<(4-m)·2n<8，2n為正偶數(shù)，4-m為整數(shù)，(4-m)·2n=4，或(4-m)·2n=6，或，或，或.解得，或或或 經(jīng)檢驗(yàn)使不等式成立的所有正整數(shù)m、n的值為（m，n）=（1，1）或（2，1)或(3，2). 方法探究 求遞推公式形如an+2=pan+qan+1（其中p，q是常數(shù)）的數(shù)列的通項(xiàng)公式. 已知數(shù)列an滿足：a1=a，a2=b，且an+2=pan+qan+1（其中p，q是常數(shù)），求an. 一般地，設(shè)an+2-x1an+1=x2(an+1-x1an)，即an+2=(x1