1、第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（10學時）【主要講授內容及時間分配】2.1 線性系統(tǒng)的微分方程（45分鐘）2.2 非線性系統(tǒng)的線性化（45分鐘）2.3 傳遞函數(shù)（90分鐘）2.4 方框圖及其變換（90分鐘）2.5 信號流圖及其應用（90分鐘）2.6 控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)（45分鐘）2.7 用Matlab處理系統(tǒng)數(shù)學模型（45分鐘）【重點與難點】1、重點：常用元部件傳遞函數(shù)的求取，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取。2、難點：結構圖等效變換，梅森公式的應用。【教學要求】1、能夠用理論推導的方法建立電路系統(tǒng)及力學系統(tǒng)的數(shù)學模型微分方程；2、掌握典型元部件的傳遞函數(shù)的求取；3、掌握結構圖的繪制，由結構圖等效變換求傳遞

2、函數(shù)；4、掌握由梅森公式求傳遞函數(shù)。【實施方法】課堂講授，PPT配合2.1 線性系統(tǒng)的微分方程大多數(shù)控制系統(tǒng)在一定的限制條件下，都可以用線性微分方程來描述，因此線性系統(tǒng)的研究具有重要的實用價值。本節(jié)重點分析線性定常系統(tǒng)微分方程的建立。用分析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟如下：(1) 分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量之間的關系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量和中間變量。(2) 根據(jù)系統(tǒng)（或元件）的基本定律（物理、化學定律），從系統(tǒng)的輸入端開始，依次列寫組成系統(tǒng)各元件的運動方程（微分方程）。(3) 聯(lián)立方程，消去中間變量，得到有關輸入量與輸出量之間關系的微分方程。(4) 標準化。即將與輸出量有關的各項放在

3、方程的左邊，與輸入量有關的各項放在方程的右邊，等式兩邊的導數(shù)項按降冪排列。2.2 非線性系統(tǒng)的線性化實際的物理系統(tǒng)往往有間隙、死區(qū)、飽和等非線性特性，嚴格地講，任何一個元件或系統(tǒng)都不同程度地具有非線性特性。在研究系統(tǒng)時盡量將非線性在合理、可能的條件下簡化為線性問題，即將非線性模型線性化。非線性函數(shù)的線性化是指將非線性函數(shù)在工作點附近展開成泰勒級數(shù)，忽略二次以上高階無窮小量及余項，得到近似的線性化方程。在求取線性化增量方程時應注意：(1) 線性化方程通常是以增量方程描述的；(2) 線性化往往是相對某一工作點（平衡點）進行的。在線性化之前，必須確定元件的工作點；(3) 變量的變化必須是小范圍的；(

4、4) 對于嚴重非線性元件或系統(tǒng)，原則上不能用小偏差法進行線性化，應利用非線性系統(tǒng)理論解決。2.3 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)的定義線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，定義為線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。即設線性定常系統(tǒng)的微分方程為設c(t)和r(t)及其各階導數(shù)初始值均為零，對上式取拉氏變換，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 傳遞函數(shù)的基本性質(1) 傳遞函數(shù)是微分方程經拉氏變換導出的，而拉氏變換是一種線性積分運算，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。(2) 傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身的結構和參數(shù)有關，與系統(tǒng)輸入量的大小和形式無關。(3) 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系

5、統(tǒng)是處于相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的運動規(guī)律。(4) 傳遞函數(shù)是復變量s的有理分式。分母多項式的最高階次n高于或等于分子多項式的最高階次m，即nm。這是因為實際系統(tǒng)或元件總是具有慣性且能源有限。(5) 一個傳遞函數(shù)只能表示單輸入單輸出的關系。對多輸入多輸出系統(tǒng)，要用傳遞函數(shù)陣表示。(6) 傳遞函數(shù)可表示零極點形式和時間常數(shù)形式，分別如下： 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1. 比例環(huán)節(jié)：輸出量與輸入量成正比，不失真也無時間滯后的環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為 2. 積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為 3. 微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為 4. 慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為 5. 一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為 6. 二階振蕩環(huán)節(jié)傳遞

6、函數(shù)為 7. 二階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為 8. 時滯環(huán)節(jié)時滯環(huán)節(jié)是在輸入信號作用后，輸出信號要延遲一段時間才重現(xiàn)輸入信號的環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為 2.4 方框圖及其變換系統(tǒng)方框圖實質上是系統(tǒng)原理圖與數(shù)學方程兩者的結合，既補充了原理圖所缺少的定量描述，又避免了純數(shù)學的抽象運算。 方框圖方框圖由許多對信號進行單向運算的方框和一些信號流向線組成，它包含以下四種基本單元：(1) 信號線。如圖2-23(a)所示。(2) 比較點（或綜合點）。表示對兩個或兩個以上的信號進行加減運算。如圖2-23(b)所示。(3) 方框。方框中為元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。如圖2-23(c)所示。(4) 引出點（或分支點）。如圖2-23(d

7、)所示。繪制控制系統(tǒng)方框圖的一般步驟如下：(1) 寫出組成系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程；(2) 求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，繪制各環(huán)節(jié)的方框圖；(3)從輸入端開始，按信號流向依次將各環(huán)節(jié)方框圖用信號線連接成整體，即得控制系統(tǒng)方框圖 方框圖的等效變換結構圖簡化的一般方法是移動引出點或比較點，合并串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框。同時對方框圖的一部分進行變換時，變換前后輸入輸出總的數(shù)學關系式保持不變。1. 串聯(lián)傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)的兩個方框，若G1(s)的輸出量為G2(s)的輸入量，則G1(s)和G2(s)的方框連接稱為串聯(lián)，如圖2-27(a)所示。式中G(s)=G1(s)G2(s)，表明兩個方框串聯(lián)

8、的等效傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積，這個結論可推廣到n個方框串聯(lián)的情況。2. 并聯(lián)分別為G1(s)和G2(s)的兩個方框，若它們有相同的輸入量，而輸出量等于兩個方框輸出的代數(shù)和，則G1(s)和G2(s)的方框連接稱為并聯(lián)。式中G(s)=G1(s)±G2(s)，表明兩個方框并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。這個結論可推廣到n個方框并聯(lián)的情況3. 反饋連接傳遞函數(shù)分別為G(s)和H(s)的兩個方框，如圖2-29(a)形式連接，則稱為反饋連接。負反饋連接是控制系統(tǒng)的基本結構形式。若反饋環(huán)節(jié)H(s)=1，則稱為單位反饋。4. 比較點和引出點的移動在系統(tǒng)方框圖簡化過程中，除了進

9、行方框的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的等效變換外，還需要移動比較點和引出點的位置。這時應注意在移動前后保持信號的等效性。表2-1列出了方框圖等效變換的基本法則，可供查用。表2-1 方框圖等效變換法則變換方式變換前變換后等式串聯(lián)并聯(lián)反饋引出點前移引出點后移比較點前移比較點后移比較點交換2.5 信號流圖及其應用 信號流圖的定義與術語節(jié)點 表示變量或信號的點，用符號“o”表示。傳輸 兩節(jié)點間的增益或傳遞函數(shù)。支路 連接兩個節(jié)點并標有信號流向的定向線段。支路的增益即是傳輸。源點 只有輸出支路而無輸入支路的節(jié)點，也稱為輸入節(jié)點。它與控制系統(tǒng)的輸入信號相對應。阱點 只有輸入支路而無輸出支路的節(jié)點，也稱為輸出節(jié)點。

10、它與控制系統(tǒng)的輸出信號相對應。混合節(jié)點 既有輸入支路也有輸出支路的節(jié)點。通路 沿支路箭頭所指方向穿過各相連支路的路徑。如果通路與任一節(jié)點相交的次數(shù)不多于一次，則稱為開通路；如果通路的終點就是通路的起點，而與任何其它節(jié)點相交的次數(shù)不多于一次，則稱為閉通路或回路。回路增益 回路中各支路傳輸?shù)某朔e。不接觸回路 如果回路間沒有任何共有節(jié)點，則稱它們?yōu)椴唤佑|回路。前向通路 如果在從源點到阱點的通路上，通過任何節(jié)點不多于一次，則該通路稱為前向通路。 信號流圖的基本性質(1) 信號只能沿著支路上箭頭表示的方向傳遞。(2) 節(jié)點將所有輸入支路的信號疊加，并把疊加結果送給所有相連的輸出支路。(3) 具有輸入和輸

11、出支路的混合節(jié)點，通過增加一個具有單位傳輸?shù)木€路，可將其變?yōu)檩敵龉?jié)點。(4) 對于給定的系統(tǒng)，其信號流圖不唯一。 信號流圖的繪制信號流圖可以根據(jù)系統(tǒng)的運動方程繪制，也可以由系統(tǒng)方框圖按照對應關系得出。在表2-2中，給出了一些控制系統(tǒng)方框圖與信號流圖的對照表。表2-2 控制系統(tǒng)方框圖與信號流圖對照表方框圖信號流圖 信號流圖的Mason公式應用Mason公式，不需要簡化處理而通過對信號流圖的分析和觀察，便可直接得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。在信號流圖中計算輸入節(jié)點與輸出節(jié)點間傳遞函數(shù)的Mason公式為 式中，n前向通路的條數(shù)；P總增益；Pk第k條前向通路的增益；信號流圖的特征式，即所有回路增益之和；每兩個不

12、接觸回路增益乘積之和；每三個不接觸回路增益乘積之和；k在中除去與第k條前向通路相接觸的回路后的特征式，稱為第k條前向通路特征式的余因子。2.6 控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)一個閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結構可用圖2-38表示。 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)將前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積G1(s) G2(s) H(s)稱為該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。它等于B(s)與E(s)的比值，即 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)1. 給定信號R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令N(s)=0，這時圖2-38簡化為圖2-39，則給定信號R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。當系統(tǒng)中只有R(s)信號作用時，系統(tǒng)的輸出C(s)完全取決于cr(s)及R(s)的形

13、式。2. 擾動信號N(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)為研究擾動對系統(tǒng)的影響，需要求出C(s)對N(s)之間的傳遞函數(shù)。這時，令R(s)=0，則圖2-38簡化為圖2-40。則擾動信號N(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。3. 系統(tǒng)的總輸出根據(jù)線性疊加原理，線性系統(tǒng)的總輸出等于各外作用引起的輸出的總和。 系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)誤差為給定信號與反饋信號之差，即 1. 給定信號R(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)令N (s)=0，則給定信號R(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)2. 擾動信號N(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)令R (s)=0，則擾動信號N(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。3. 系統(tǒng)的總誤差根據(jù)線性疊加原理，系統(tǒng)的總誤差為2.

14、7 用Matlab處理系統(tǒng)數(shù)學模型 多項式求根在MATLAB中采用行向量表示多項式，行向量內的各元素是按降冪排列的多項式系數(shù)。多項式的系數(shù)行向量可以表示如下： P=a0, a1,an多項式求根在Matlab中可以用函數(shù)roots(P)實現(xiàn)。 傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以描述為式中，ai與bi均為常數(shù)，且nm。這種系統(tǒng)在Matlab中可以表示如下：num=b0, b1,bmden=a0, a1,anG=tf num, den num為分子多項式，den為分母多項式，G為由num和den構成的傳遞函數(shù)。 零極點模型1. 零極點表示調用格式如下z,p,k=tf2zp(num,den)num,den

15、=zp2tf(z,p,k)式中，z、p和k分別為零點列向量、極點列向量和增益；num和den分別表示有理多項式的分子和分母的系數(shù)行向量。2. 零極點圖傳遞函數(shù)在復平面上的零極點圖，可用pzmap( )函數(shù)來實現(xiàn)。調用格式為p z=pzmap(num,den) 方框圖1. 串聯(lián)如圖2-44所示，G1(s)和G2(s)串聯(lián)，在MATLAB中可用串聯(lián)函數(shù)series( )求該開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。調用格式為num,den=series(num1,den1,num2,den2,num,den)式中，G1(s)= num1/den1，G2(s)=num2/den2，G (s)= num/den2. 并聯(lián)如圖2-45所示，G1(s)和G2(s) 并聯(lián)，在MATLAB中可用并聯(lián)函數(shù)parallel( )求該開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。調用格式為num,den=series(num1,den1,num2,den2,num,den)式中，G1(s)= n