1、第一章 曲線論1 向量函數1. 證明本節命題3、命題5中未加證明的結論。略2. 求證常向量的微商等于零向量。證：設，為常向量，因為所以 。 證畢3. 證明證：證畢4. 利用向量函數的泰勒公式證明：如果向量在某一區間內所有的點其微商為零，則此向量在該區間上是常向量。證：設，為定義在區間上的向量函數，因為在區間上可導當且僅當數量函數 ，和在區間上可導。所以，根據數量函數的Lagrange中值定理，有其中，介于與之間。從而上式為向量函數的0階Taylor公式，其中。如果在區間上處處有，則在區間上處處有，從而，于是。 證畢5. 證明具有固定方向的充要條件是。證：必要性：設具有固定方向，則可表示為，其中

2、為某個數量函數，為單位常向量，于是。充分性：如果，可設，令，其中為某個數量函數，為單位向量，因為，于是因為，故，從而為常向量，于是，即具有固定方向。 證畢6. 證明平行于固定平面的充要條件是。證：必要性：設平行于固定平面，則存在一個常向量，使得，對此式連續求導，依次可得 和 ，從而，和共面，因此 。充分性：設，即，其中，如果，根據第5題的結論知，具有固定方向，則可表示為，其中為某個數量函數，為單位常向量，任取一個與垂直的單位常向量，于是作以為法向量過原點的平面，則平行于。如果，則與不共線，又由 可知，和共面，于是 ，其中，為數量函數，令，那么，這說明與共線，從而，根據第5題的結論知，具有固定方

3、向，則可表示為，其中為某個數量函數，為單位常向量，作以為法向量，過原點的平面，則平行于。 證畢2曲線的概念1. 求圓柱螺線在點的切線與法平面的方程。解：，點對應于參數，于是當時，于是切線的方程為：法平面的方程為2. 求三次曲線在點處的切線和法平面的方程。解：，當時，于是切線的方程為：法平面的方程為3. 證明圓柱螺線的切線和軸成固定角。證：令為切線與軸之間的夾角，因為切線的方向向量為，軸的方向向量為，則證畢4. 求懸鏈線從起計算的弧長。解：5. 求拋物線對應于的一段的弧長。解：6. 求星形線，的全弧長。解：7. 求旋輪線，對應于一段的弧長。解：8. 求圓柱螺線從它與平面的交點到任意點的弧長。解：

4、圓柱螺線與平面的交點為，交點對應的參數為，而， 9. 求曲線，在平面與平面之間的弧長。解：取為曲線參數，曲線的向量參數方程為：平面對應于參數，平面對應于參數，10. 將圓柱螺線化為自然參數表示。解：，因為自然參數11. 求極坐標方程給定的曲線的弧長表達式。解：極坐標方程給定的曲線的方程可化為向量參數形式：3 空間曲線1. 求圓柱螺線在任意點的密切平面的方程。解：密切平面的方程為即 2. 求曲線在原點的密切平面、法平面、從切平面、切線、主法線、副法線的方程。解：原點對應于參數 ,于是在處，密切平面的方程為副法線的方程為法平面的方程為：切線的方程為從切平面的方程為主法線的方程為3. 證明圓柱螺線的

5、主法線和軸垂直相交。證：一方面，主法線的方程為另一方面，過圓柱螺線上任意一點作平面與軸垂直，的方程為，與軸的交點為，過與的直線顯然與軸垂直相交，而其方程為這正是主法線的方程，故主法線和軸垂直相交。 證畢4在曲線的副法線的正向取單位長，求其端點組成的新曲線的密切平面。解：令，則曲線的方程可表示為：設的副法線向量為，則有根據題意，新曲線的方程可表示為將代入上式，整理后，得于是新曲線的密切平面為：即：5. 證明球面曲線的法平面通過球的中心。證：設曲線為球心在原點，半徑為的球面上的曲線,其中為自然參數。曲線(C)上任意一點P（P點的向徑為）處的基本向量為，。則有上式兩邊關于求導，得設為法平面上的點的向

6、徑，則曲線(C)上任意一點P處的法平面的向量方程為根據(2)式 滿足方程(3)，故法平面過原點。 證畢6. 證明過原點平行于圓柱螺線的副法線的直線的軌跡是錐面。證：設過原點且與平行的直線上的點為,則直線的方程為化為參數方程，得則有這說明直線上的點都在錐面上。 證畢7. 求下列曲線的曲率和撓率。 ， 解: 對于曲線(1)對于曲線(2)8. 給定曲線，求（1）基本單位向量，；（2）曲率和撓率；（3）驗證伏雷內公式。解: 對于給定曲線，有其中，根據(5)(6)(8)式可得，根據(6)(9)(10)式，可得，又根據(6)式，得另一方面，根據(4)(7)(8)(10)式，可得從而，。9. 證明：如果曲線

7、的所有切線都經過一個定點，則此曲線是直線。證1：設曲線(C)的向量參數方程為： ，其中為自然參數。(C)上任意一點P（P點的向徑為）處的基本向量為，。因為(C)在P點處的切線都經過一定點Q（Q點的向徑設為），所以與共線，進而有(1) 上式兩端關于求導并利用Frenet公式，得：(2) (2)式中的為(C)在P點處的曲率。又(2)式中，這是因為如果，則同時與和共線，但這是不可能的，因為和是相互正交的單位向量。從而根據(2)式有，即(C)是直線。 證畢證2：設曲線的方程為，因為曲線上任一點的切線經過一定點，則與共線，但，于是與共線，從而=0,由此可知具有固定的方向，即與一個常向量平行，于是=,或，

8、這說明曲線上的點都在以為方向向量，過點的直線上，所以曲線為直線。 證畢10. 證明：如果曲線的所有密切平面都經過一個定點，則此曲線是平面曲線。證：設曲線(C)的向量參數方程為： ，其中為自然參數。曲線(C)上任意一點P（P點的向徑為）處的基本向量為，。因為我們只研究不含逗留點的曲線（參見教科書P.31的腳注），即 ，而即(C)上任何點的曲率。設(C)在P點處的密切平面都經過一個定點Q （Q點的向徑設為），則為(C)在P點處的密切平面上的一個向量，從而有(1) (1) 式兩端關于求導并利用Frenet公式，得：(2) (2)式中的為(C)在P點處的撓率。由(2)式可知， 或者但，因為如果 結合(

9、1)式,可知與共線，于是 (3) (3)式兩端關于求導并利用Frenet公式，得：(4) (4)式中的為(C)在P點處的曲率。因為，所以 ，結合(3)知同時與和共線，但這是不可能的，因為和是相互正交的單位向量。這個矛盾說明，于是由(2)式可知，只能，曲線(C) 是平面曲線。 證畢11. 證明：如果曲線的所有法平面都包含常向量，則此曲線是平面曲線。證1： 設曲線(C)的向量參數方程為： ，其中為自然參數。(C)上任意一點P（P點的向徑為）處的基本向量為，。因為(C)在P點處的法平面都包含常向量，則有(1) 注意到 ，(1)式兩端關于從到求積分，得：(2) （2）式說明曲線(C)在以常向量為法向量

10、且過點的平面上。 證畢證2：設曲線(C)的向量參數方程為： ，其中為自然參數。(C)上任意一點P（P點的向徑為）處的基本向量為，。因為我們只研究不含逗留點的曲線（參見教科書P.31的腳注），即 ，而即(C)上任何點的曲率。因為(C)在P點處的法平面都包含常向量，則(1) 上式兩端關于求導并利用Frenet公式，得：(2) 因為，所以(3) ，結合(1)式可知與共線，從而(4) (4)式兩端關于求導并利用Frenet公式，得：(5) (5)式中，否則，根據(3)式， 和 將同時成立，即既與平行，又與垂直，這是矛盾。于是只能是，所以曲線(C) 是平面曲線。 證畢 12. 證明曲率為常數的空間曲線的

11、曲率中心的軌跡仍是曲率等于常數的曲線。證：設曲率為常數的空間曲線(C)的向量參數方程為： ，其中為自然參數。(C)上任意一點P處的基本向量為，曲率半徑為，又設(C)的曲率中心的軌跡為，的曲率記為，根據題意，的方程為(1)式兩邊關于求導，得(4)式說明的曲率也是常數且。 證畢13. 證明曲線(C)：為平面曲線，并求出它所在平面的方程。解：由上式可知，(C)為平面曲線。令，則有(C)所在平面的方程為。14. 設在兩條曲線和的點之間建立了一一對應關系，使它們在對應點的切線平行， 證明它們在對應點的主法線以及副法線也分別平行。證：設曲線的方程為，其中為的自然參數，曲線的方程為，其中為曲線的自然參數。因

12、為所討論的曲線都是正則曲線，于是曲線上的點和區間內的參數一一對應，曲線上的點和區間內的參數一一對應，如果兩條曲線的點與之間建立了一一對應關系，則對應的參數與之間也建立了一一對應關系，從而設，和為曲線在點處的基本向量，和為曲線在點處的基本向量，曲線在點處的曲率和撓率分別記為和，曲線在點處的曲率和撓率分別記為和。如果兩條曲線總保持在對應點與處的切線平行，則有，其中(2)式兩邊關于求導，得從而，(4)式說明和在對應點與處的主法線平行。又因為，由(2)式和(4)式，得(5) 式說明和在對應點與處的副法線平行。 證畢15. 設在兩條曲線和的點之間建立了一一對應關系，使它們在對應點的主法線總是相互平行，證

13、明它們在對應點的切線成固定角。證：設曲線的方程為，其中為的自然參數，曲線的方程為，其中為曲線的自然參數。因為所討論的曲線都是正則曲線，于是曲線上的點和區間內的參數一一對應，曲線上的點和區間內的參數一一對應，如果兩條曲線的點與之間建立了一一對應關系，則對應的參數與之間也建立了一一對應關系，從而設，和為曲線在點處的基本向量，和為曲線在點處的基本向量，曲線在點處的曲率和撓率分別記為和，曲線在點處的曲率和撓率分別記為和，如果兩條曲線總保持在對應點與處的主法線平行，則有，其中根據(2)式，可得設與之間的夾角為，則根據(3)式，(4)式說明和在對應點與處的切線成固定角。 證畢16. 如果曲線的主法線是曲線

14、的副法線，的曲率和撓率分別為和，求證其中是常數。證：設曲線的方程為，其中為的自然參數，曲線的方程為，其中為曲線的自然參數。因為所討論的曲線都是正則曲線，于是曲線上的點和區間內的參數一一對應，曲線上的點和區間內的參數一一對應，如果兩條曲線的點與之間建立了一一對應關系，則對應的參數與之間也建立了一一對應關系，從而設，和為曲線在點處的基本向量，和為曲線在點處的基本向量，曲線在點處的曲率和撓率分別記為和，曲線在點處的曲率和撓率分別記為和。如果曲線的主法線是曲線的副法線，依題意，有下面兩式成立：，其中。(3)式兩邊關于求導，得整理(4)式，可得利用(2)式，在(5)式兩邊與作內積，得(6)式中由于故，從

15、而為常數，(5)式化為(7)式兩邊關于求導，得因為，上式兩邊同時與作內積，得根據(7)式，(9)式等價于即從而，。 證畢17. 曲線在哪些點的曲率半徑最大？解：解: 對于給定曲線，有其中，根據(7)式，當 ，時，最大。18. 已知曲線(C)：上一點的鄰近一點，求點到點的密切平面、法平面的距離（設(C)在點的曲率和撓率分別為和。）解：設曲線(C)在點的基本向量分別為，和，則點 到點的密切平面和法平面的距離分別為其中，因為 ，將它們代入(1)式和(2)式中，得19. 如果曲線： 為一般螺線，其中為的自然參數。， 為上任意一點P處的基本向量，為在P處曲率半徑，證明：曲線：也是一般螺線。證：曲線的方程

16、兩邊關于求導，得根據(1)式和(3)式，得其中因為曲線： 為一般螺線，故存在一個常向量 使得 從而，(8)式說明曲線也是一般螺線。 證畢20. 證明：一條曲線(C)： 為一般螺線的充要條件是。證：充分性：如果，則曲線()： 的撓率為零，()為平面曲線，于是存在一個常向量，使得，但，故，因為我們只研究不含逗留點的曲線（參見教科書P.31的腳注），從而，于是，即(C) 為一般螺線。必要性： 如果(C)為一般螺線，存在一個常向量 使得，但,從而，繼續關于求導，可得： ， ，于是共面，由此，。 證畢21. 證明：一條曲線的所有切線不可能同時都是另一條曲線的切線。證：因為我們只研究不含逗留點的曲線，故所

17、討論的兩條曲線的曲率均不為0，設曲線的方程為，其中為的自然參數，曲線的方程為，其中為曲線的自然參數。因為所討論的曲線都是正則曲線，于是曲線上的點和區間內的參數一一對應，曲線上的點和區間內的參數一一對應，如果兩條曲線的點與之間建立了一一對應關系，則對應的參數與之間也建立了一一對應關系，從而有設，和為曲線在點處的基本向量，和為曲線在點處的基本向量，曲線在點處的曲率和撓率分別記為和，曲線在點處的曲率和撓率分別記為和。采用反正法來證明結論。如果曲線在點的切線總是曲線的在對應點處的切線，則點與都在這條切線上，從而有上式兩邊關于求導，得因為與共有同一條切線，于是，其中，(2)式兩邊同時與作內積，得，但，所以，根據(1)式有，即和重合，這是矛盾。所以，一條曲線的所有切線不可能同時都是另一條曲線的切線。證畢22. 設在兩條曲線和的點之間建立了一一對應關系，使它們在對應點的切線平行， 證明它們在對應點的主法線以及副法線也分別平行，而且它們的撓率和曲率都成比例，因此如果是一般螺線，則也是一般螺線。證：設曲線的方程為，其中為的自然參數，曲線的方程為，其中為曲線的自然參數。因為所討論的曲線都是正則曲線，于是曲線上的點和區間內的參數一一對應，曲線上的點和區間內的參數一一