1、【實(shí)驗(yàn)八】 微分方程【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?通過實(shí)驗(yàn)，學(xué)習(xí)在Mathematica系統(tǒng)下求微分方程的通解和數(shù)值解；畫出由微分方程通解所決定的積分曲線族；掌握在Mathematica系統(tǒng)下利用微分方程解決有關(guān)實(shí)際問題的方法.【實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】一、微分方程的通解在Mathematica系統(tǒng)下利用命令求微分方程的通解、特解以及解微分方程組，其調(diào)用格式如下：命令意義求微分方程的通解.求微分方程的特解.求微分方程組的通解.求微分方程組的特解.注：(1)在上面命令中，由于是的函數(shù)，因此函數(shù)以完整的形式表示. (2)在使用前要用命令清除變量以前的定義.例1 求微分方程的通解，并畫出由通解決定的積分曲線族.解 (1)求微分方

2、程的通解：In1:= Out1:= (2)畫出積分曲線族：由于Out1所輸出的微分方程的通解含有獨(dú)立的常數(shù)，因此在畫積分曲線時，首先用命令作出在指定的范圍后所得微分方程的一組特解的圖形，然后利用 ()命令將生成這組圖形，并在同一坐標(biāo)系下顯示.In2:= Out2:= In3:= Out3:= 注：在In3中c，-6，6，1表示c從-6到6每增加1取一個值.例2 求方程的通解，并畫出由通解決定的積分曲線族.解 In1:= Out1:= In2:= Out2:= In3:= Out3:= 例3 求方程滿足初始條件，的特解，并畫出由該特解所決定的積分曲線.解 In1:= Out1:= In2:= O

3、ut2:= 例4 求微分方程組 ，當(dāng)，時的特解.解 In1:= Out1:= 二、微分方程的數(shù)值解雖然許多微分方程無法求得其通解，但是，只要微分方程式含有初值問題，且屬于常微分方程式，則可以用命令求得該微分方程的數(shù)值解.由于的輸出微分方程的數(shù)值解是，是數(shù)值解的定義區(qū)間.因此，我們可以根據(jù)函數(shù)查詢某一點(diǎn)的函數(shù)值. 命令的調(diào)用格式如下：命令意義 求微分方程的數(shù)值解.求微分方程組的數(shù)值解.選擇項(xiàng)命令意義表示數(shù)值解的精確度為.最大步數(shù).最大步長.注：用求出數(shù)值解后可用下面命令畫出積分曲線：例5 在區(qū)間0, 10上求微分方程在處的數(shù)值解，精確到，并作出數(shù)值解的積分曲線. In1:= Out1:= In2

4、:= Out2:= In3:= Out3:= 【實(shí)驗(yàn)問題】牛頓加熱與冷卻定律：一塊熱的物體，溫度下降的速度與其自身溫度同外界溫度的差值成正比；一塊冷的物體，溫度上升的速度與其自身溫度同外界溫度的差值成正比.問題：當(dāng)一謀殺案發(fā)生后，尸體的溫度從原來的 開始變涼，假設(shè)兩個小時后尸體溫度變?yōu)椋⑶以O(shè)周圍空氣溫度保持不變. 1.求自謀殺發(fā)生后，尸體溫度是如何作為(小時)的函數(shù)而變化的； 2.畫出溫度時間曲線； 3.尸體最終的溫度將如何；4.若尸體被發(fā)現(xiàn)時的溫度是，時間是下午4時，則謀殺案何時發(fā)生.模型建立：設(shè)尸體在時刻的溫度為，則溫度的變化速度為，由于熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)，從而使得

5、尸體是隨時間的增加而逐漸冷卻的，因此恒為負(fù)值.在初始時刻時，尸體的溫度是，并且周圍空氣溫度保持 不變.由牛頓冷卻定律：其中：是比例常數(shù). 計(jì)算過程：(1)求In1:= Out1:= 將，代入，求出比例常數(shù)的數(shù)值解.In2:= Out2:= 因而得到 (2)作出溫度時間曲線圖In3:= ;In4:= Out4:= (3)考察100小時、1000小時、10000小時、后尸體的溫度In5:= Out5:= In6:= Out6:= In7:= Out7:= 結(jié)論：尸體的最終溫度為.(4)將溫度代入求時刻：In8:= Out8:= 謀殺案大約發(fā)生在發(fā)現(xiàn)尸體8.5小時以前，即在上午7:30左右.【實(shí)驗(yàn)任務(wù)】一、求下列微分方程的通解.1.； 2.； 3. .二、求下列微分方程滿足初始條件的特解1.，；2. ，.三、放射性廢料的處理問題美國原子能委員會以往處理濃縮的放射性廢料的方法是：把這些廢料裝入密封的圓桶里，然后扔到水深為90多米的海底.生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家們擔(dān)心圓桶下沉到海底時與海底碰撞而發(fā)生破裂，從而造成核污染. 原子能委員會認(rèn)為這種說法是不可能的.為此工程師們進(jìn)行了碰撞試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓桶下沉速度超過12.2m/s與海底碰撞時，圓桶就有可能發(fā)生破裂.為了避免圓桶被碰裂，需要計(jì)算圓桶沉到海底時的速度是多少？這時已知圓桶重量是