1、填空題 難題匯總 01題1(蘇錫常鎮四市一模) 設mN，若函數存在整數零點，則m的取值集合為 解 當xZ，且x10時，Z若m=0，則x= -5為函數f(x)的整數零點若m0，則令f(x)=0，得m=N注意到-5x10，且N，得x1，6，9，10，此時m3，14，30故m的取值集合為0，3，14，30注 將“mN”改為“mN*”，即得2011年全國高中數學聯賽江蘇賽區初賽試卷的填空題的壓軸題：已知m是正整數，且方程有整數解，則m所有可能的值是 題2(淮安市一模) 已知數列an，bn滿足a1=1，a2=2，b1=2，且對任意的正整數i，j，k，l，當i+j=k+l時都有ai+bj=ak+bl，則的

2、值是 解 依題設，有bn+1-bn=a2-a1=1，從而數列bn是以2為首項，1為公差的等差數列同理可得，an是以1為首項，1為公差的等差數列所以，數列an+bn是以3為首項，2為公差的等差數列所以，=2013變式1 已知數列an，bn滿足a1=1，a2=2，b1=2，且對任意的正整數i，j，k，l，當i+j=k+l時都有ai-bj=ak-bl，則的值是 略解 依題設，有ai-bj=aj-bi，于是ai+bi=aj+bj，所以an+bn=3，=3變式2 已知數列an，bn滿足a1=1，a2=2，b1=2，且對任意的正整數i，j，k，l，當i+j=k+l時都有aibj=akbl，記cn=，則數列

3、cn的通項公式是 略解 由a2bn=a1bn+1，得，故bn=2n同理，an=，通項公式為題3(常州市一模) 若對任意的xD，均有f1(x)f(x)f2(x)成立，則稱函數f(x)為函數f1(x)到函數f2(x)在區間D上的“折中函數”已知函數f(x)=(k-1)x-1，g(x)=0，h(x)=(x+1)lnx，且f(x)是g(x)到h(x)在區間1，2e上的“折中函數”，則實數k的取值范圍為 解 依題意，有0(k-1)x-1(x+1)lnx在x1，2e上恒成立當x1，2e時，函數f(x)=(k-1)x-1的圖象為一條線段，于是解得k2另一方面，k-1在x1，2e上恒成立令m(x)=，則因1x

4、2e，故0，于是函數為增函數所以>0，0，m(x)為1，2e上的增函數所以k-1m(x)min=m(1)=1，k2綜上，k=2為所求ABCOEFD圖1題4(泰州市一模) 已知O是銳角ABC的外接圓的圓心，且A=，若，則m= (用表示)解法1 如圖1，作OEAC交AB于E，作OFAB交AC于F由正弦定理，得 又AOE=OAF=，所以，所以同理，因，故因，故上式可化為，即，所以m=sin解法2 將等式兩邊同乘以，得，即由正弦定理，得m=cosBsinC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA=sin解法3 將已知等式兩邊平方，得由正弦定理，得m2=sin2A=注意到m>0，故m=

5、sin注 1本題雖難度較大，但得分率卻較高其主要原因是考生利用了特值法，令ABC為正三角形，即得m=，于是猜測m=sin2題中三種解法均是處理向量問題最常用的基本方法，解法1用的是平面向量基本定理，從不同側面表示；解法2與解法3，是或將向量等式兩邊同乘某個向量，或將等式兩邊同時平方，進而達到去除向量的目的題5(南京市一模) 若直角坐標平面內兩點P，Q滿足條件：P，Q都在函數f(x)的圖象上；P，Q關于原點對稱，則稱點對(P，Q)是函數的一個“友好點對”(點對(P，Q)與點對(Q，P)為同一個“友好點對”)已知函數則的“友好點對”有 個xyOx=-1y1y2圖2解設x<0，則問題化歸為關于

6、x的方程，即()有幾個負數解問題記，當時，所以函數的圖象與的圖象有兩個交點(如圖2)，且橫坐標均為負數，故所求“友好點對”共有2個AOCBPlxy圖3題6(鎮江市一模) 直線l與函數()的圖象相切于點A，且lOP，O為坐標原點，P為圖象的極值點，l與x軸交于點B，過切點A作x軸的垂線，垂足為C，則= 解 如圖3，為極值點，設點A(x0，sinx0)，則過點A的切線l的斜率為于是，直線l的方程為令y=0，得，從而BC=BC2=題7(揚州市一模) 若函數f(x)=x3-ax2(a>0)在區間上是單調遞增函數，則使方程f(x)=1000有整數解的實數a的個數是 解 令由，得x=0或于是，f(x

7、)的單調增區間為和所以，即0<a10因f(x)的極大值為f(0)=0，故f(x)=1000的整數解只能在上取得令x3-ax2=1000，則a=令g(x)=，則>0，故g(x)在為增函數因g(10)=0，g(15)=，故方程f(x)=1000的整數解集為11，12，13，14從而對應的實數a亦有4個不同的值題8(蘇州市一模) 在平面直角坐標系xOy中，點P是第一象限內曲線上的一個動點，過P作切線與兩個坐標軸交于A，B兩點，則AOB的面積的最小值是 解 設P(a，-a3+1)，0<a<1，則切線方程為y= -3a2x+2a3+1于是兩交點分別為(0，2a3+1)，(，0)，

8、令=0，得a=，且可判斷此時S取最小值，值為 題9(鹽城市一模) 已知函數，設，且函數F(x)的零點均在區間內，則的最小值為 解 =當x0時，；當-1<x<0時，；當x<-1時，故函數f(x)為R上的增函數，于是函數f(x)在R上最多只有一個零點因f(0)=1>0，f(-1)=<0，故f(0)f(-1)<0，因而f(x)在R上唯一零點在區間(-1，0)上，于是f(x+3)的唯一零點在區間(-4，-3)上同理可得，函數g(x)為R上的減函數，于是函數f(x)在R上最多只有一個零點又g(1)=>0，g(2)=<0，于是g(1)g(2)<0，因而

9、g(x)在R上唯一零點在區間(1，2)上，于是g(x-3)的唯一零點在區間(4，5)上所以，F(x)的兩零點落在區間-4，5上，b-a的最小值為9注 不少考生想對復雜的函數表達式進行求和變形化簡，結果當然是徒勞而返，得分率非常低導數法是解決高次函數或復雜函數的強有力的工具題10(南通市一模) 已知等腰三角形腰上的中線長為，則該三角形的面積的最大值 是 GEABCF圖4解 (本題解法很多，僅給出平幾解法)如圖4，ABC中，E，F分別為底BC與腰AC的中點，BF與AE交于點G，則G為ABC的重心，于是BG=CG=，且AE=3GE所以，當且僅當BGC=，即BGGC時，ABC的面積取最大值2DABCx

10、y圖5變式1 在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在線段AC上，AD=kAC(k為常數，且0<k<1)，BD=l為定長，則ABC的面積的最大值為 略解 如圖5，以B為原點，BD為x軸建立直角坐標系xBy設A(x，y)，y>0因AD=kAC =kAB，故AD2=k2AB2，于是(x-l)2+y2=k2(x2+y2)所以，=，于是，變式2 在正三棱錐P-ABC中，D為線段BC的中點，E在線段PD上，PE=kPD(k為常數，且0<k<1)，AE=l為定長，則該棱錐的體積的最大值為 ABCPDEOF圖6G略解 如圖6，因PE=kPD，故EG=kOD因AO=2OD，故，于是

11、因，故，從而=所以，因，故AF=于是，=(當且僅當FA，FB，FC兩兩垂直時，“”中取“=”)，所以，于是所求的最大值為注 本題的原型題，可能來自于2008年江蘇高考數學題：滿足條件AB=2，AC=的ABC的面積的最大值為 題11(無錫市一模) 已知函數f(x)=|x2-2|，若f(a)f(b)，且0ab，則滿足條件的點(a，b)所圍成區域的面積為 解 易知f(x)在上為減函數，在上為增函數，于是a，b不可能同在上22Oab圖7若0ab，則2-a22-b2恒成立，它圍成圖7中的區域；若0ab，則2-a2b2-2，即a2+b24，它圍成圖7中的區域綜上，點(a，b)所圍成的區域恰好是圓a2+b2

12、=4的故所求區域的面積為AxyOy=kxy=sinx2圖8題12(高三百校大聯考一模) 若函數f(x)=|sinx|(x0)的圖象與過原點的直線有且只有三個交點，交點中橫坐標的最大值為，則= 解 依題意，畫出示意圖如圖8所示于是，且A(，-sin)為直線y=kx與函數y= -sinx()圖象的切點在A點處的切線斜率為，故=tan所以，=2題13(蘇北四市二模) 已知函數，且，則滿足條件的所有整數的和是 解 因f(-x)=f(x)，故f(x)為偶函數記g(x)=，h(x)=當x0時，g(x+1)-g(x)=|x+2012|-|x+1|=2011，h(x+1)-h(x)=|x|-|x-2011|=

13、所以，f(x+1)-f(x)=所以，f(0)=f(1)<f(2)<f(3)<又當0x1時，f(x)=，故或且aN*，解得a=1，2，3，所以結果為6注 本題也可以這樣思考：從最簡單的先開始先研究函數與函數的圖象與性質，它們都是“平底鍋型”，進而猜測函數的圖象與性質，并最終得以解決問題 題14(南京市二模) 已知函數f(x)=(aR)，若對于任意的xN*，f(x)3恒成立，則a的取值范圍是 解 因xN*，故由f(x)3恒成立，得a，故a當x取最接近于的整數，即x=3時，取最大值，于是a變式 已知函數f(x)=(xN*)，且f(x)min=3，則實數a的取值集合是 略解 首先a另

14、一方面，xN*，使f(x)3能成立，即a能成立，于是a=所以，a的取值集合是題15(鹽城市二模) 已知函數f(x)=cosx，g(x)=sinx，記Sn=，Tm=S1+S2+Sm若Tm<11，則m的最大值為 解 =1= -1所以，Sn=，Tm=令Tm<11，則正整數m的最大值為5 本題難點在于復雜的Sn的表達式去掉求和符號，展開表達式，化抽象為具體，進而識得廬山真面目題16(蘇錫常鎮四市二模) 已知m，nR，且m+2n=2，則的最小值為 解法1 設x=m，y=2n，則問題等價于：已知x+y=2，求的最小值令S=，T=，則S-T=0，即ST另一方面，S+T=8，故S4，當且僅當x=y

15、=1時取等號所以的最小值為4解法2 考慮到對稱性，不妨取m1令g(m)=，m1則0所以函數g(m)(m1)為增函數，故注這道題雖然正面求解難度較大，但得分率卻相當的高究其原因大致為：當考生經過變元后，得問題為“已知x+y=2，求的最小值”，它具有某種對稱性，憑直觀猜測：讓x=y=1，一舉得到所求結果1PAO圖101-=1+=1-=1ACBxOyA1B1圖9題17(南通市二模) 在平面直角坐標系xOy中，設A，B，C是圓x2+y2=1上相異三點，若存在正實數，使得，則2+(-3)2的取值范圍是 解法1 如圖9，作，連B1C，A1C，則，因三點A，B，C互異，且，故O，C，B1構成三角形的三個頂點

16、，且，于是由三角形的邊與邊之間的關系有（）如圖10的陰影部分表示不等式組（）所表示的區域，P(，)為陰影部分內的動點，定點A(0，3)，則2+(-3)2=AP2點A(0，3)到直線-=1的距離d=，AP>d=，故2+(-3)2>2，從而2+(-3)2的取值范圍為解法2 依題，B，O，C三點不可能在同條直線上所以=cosBOC(-1，1)又由，得，于是記f()=2+(-3)2=于是，f()>2，且f()<=， 1 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 8 12 16 20 24 20 28 36 44 48 64 80 圖11無最大值故2+(-3)2的取值范

17、圍為題18(蘇北四市三模) 如圖11是一個數表，第1行依次寫著從小到大的正整數，然后把每行相鄰的兩個數的和寫在這兩數正中間的下方，得到下一行，數表從上到下與從左到右均為無限項，則這個數表中的第13行第10個數為 解法1 記第n行第m個數為an，m為了得到a13，10，則第1行必須寫滿22個數觀察可得：a13，1+a13，10=2(a12，1+a12，11)=22(a11，1+a11，12)=212(a1，1+a1，22)=23×212所以，a13，1+a13，10=23×212另一方面，a13，10=a13，1+9×212聯立解得 a13，10=216解法2 記第

18、n行的第1個數為ann12345an1=2×3=3×18=4×220=5×448=6×8于是，猜測因第n行的數從左到右排列成公差為的等差數列，故第13行第10個數為解法3 記第n行的第1個數為an，數列an的前n項和為Sn，則所以，Sn+1-2Sn=2n，又，故，Sn=所以，下同解法2ABCDONM圖12題19(南京市三模) 如圖12，已知正方形ABCD的邊長為1，過正方形中心O 的直線MN分別交正方形的邊AB，CD于點M，N，則當取最小值時，CN= 解法1 設CN=x，則BM=DN=1-x作MPDC交DC于點P，則PN=2x-1所以，MN2=

19、1+(2x-1)2=4x2-4x+2，BN2=x2+1，=(其中t=)，當且僅當，即t=，x=時，取最小值，所以CN=解法2 設CBN=()，則BN=，DN=1-tan，MN=所以，=，其中，當時，取最小值，此時=2解，得=為所求(另一解為負，舍去)題20(南通市三模) 定義在上的函數f(x)滿足：f(2x)=cf(x)(c為正常數)；當2x4時，f(x)=1-|x-3|若函數圖象上所有取極大值的點均落在同一條直線上，則c= 解 可求得，當x(nN*)時， f(x) =記函數f(x) =(x，nN*)圖象上極大值的點為Pn(xn，yn)令，即xn=時，yn=，故Pn(，)分別令n=1，2，3，

20、得 P1(，)，P2(3，1)，P3(6，c)由(k表示直線的斜率)得，c=2或c=1當c=2時，所有極大值的點均在直線上；當c=1時，yn=1對nN*恒成立，此時極大值的點均在直線y=1上變式 定義在上的函數f(x)滿足：f(2x)=cf(x)(c為正常數)；當2x4時，f(x)=1-|x-3|若函數圖象上所有取極大值的點均落在同一條以原點為頂點的拋物線上，則常數c= 略解 以原點為頂點的拋物線方程可設為x2=py(p0)或y2=qx(q0)若Pn(，)在拋物線x2=py(p0)上，則()2=，即對nN*恒成立，從而c=4；若Pn(，)在拋物線y2=qx(q0)上，則()2=，即對nN*恒成

21、立，從而c=綜上，c=4或題22(揚州市三模) 設函數f(x)的定義域為D，如果存在正實數k，使對任意xD，都有x+kD，且f(x+k)>f(x)恒成立，則稱函數f(x)為D上的“k型增函數”已知f(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，f(x)=|x-a|-2a，若f(x)為R上的“2011型增函數”，則實數a的取值范圍是 解 若a0，則f(x)在x>0時為增函數，故對任意正實數k，不等式f(x+k)>f(x)恒成立3a-3aOxyka3a-k圖13若a>0，則函數y=f(x+k)的圖象可由函數y=f(x)的圖象向左平移k個單位而得(如圖13)因k=2011，

22、故僅當2011>6a時，f(x+2011)>f(x)，所以此時0<a<綜上，實數a的取值范圍是a<題23(徐州市三模) 若關于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有實數根，則實數a的取值范圍為 解法1 因x0，故將方程兩邊同除以x3，并變形得=0令g(t)=，t=原方程有實數根，等價于函數g(t)有零點因g(-1)= -1，故函數g(t)有零點，只須g(-2)0或g(2)0解g(-2)0，得a2；解g(2)0，得a所以，實數a的取值范圍為解法2 易知x=0不是方程的根，故x3+x2+x=0所以，a=，其中t=解法3 接解法2，a=，于是因=x2(x+1)2+

23、(x+1)2+2x2>0，故由可解得x=1或-1當x>0時，a<0，且當x=1時，a取極大值，故此時a；當x<0時，a>0，且當x= -1時，a取極小值2，故此時a2綜上，實數a的取值范圍為題24(南通市最后一卷) 函數f(x)=的最大值與最小值的乘積是 解法1 當x0，±1時，f(x)=當>x時，f(x)，且當=2時，取“=”，故f(x)的最大值為又因為f(x)為奇函數，故f(x)的最小值為所以所求的乘積為法2 令=0，得x2=函數f(x)的最大值應在x-x3>0，即0<x<1或x<-1時取得所以f(x)max=maxf(

24、)，f()=，下同解法1解法3 令x=tan，則g()=f(x)=，所求乘積為注 題23與題24有異曲同工之妙，它們都出現了x，x2，x3，x4，經換元后，分別得到了只關于整體變量及的表達式，進而一舉解決了問題題25(淮安市四模) 已知函數f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|100x-1|，則當x= 時，f(x)取得最小值解 f(x)=，f(x)共表示為5050項的和，其最中間兩項均為x=，同時使第1項|x-1|與第5050項的和，第2項與第5049項的和，第3項與第5048項的和，第2525項與第2526項的和，取得最小值故所求的x為注 1一般地，設a1a2a3an(nN*)

25、，f(x)=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+|x-an|若n為奇數，則當x=時，f(x)取最小值；若n為偶數，則x時，f(x)取最小值2本題似于2011年北大自主招生題：“求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|2011x-1|的最小值”相關聯填空題 難題匯總 02題1(蘇錫常鎮四市一模) 設mN，若函數存在整數零點，則m的取值集合為 解 當xZ，且x10時，Z若m=0，則x= -5為函數f(x)的整數零點若m0，則令f(x)=0，得m=N注意到-5x10，且N，得x1，6，9，10，此時m3，14，30故m的取值集合為0，3，14，30注 將“mN”改為“mN*”，即得2011

26、年全國高中數學聯賽江蘇賽區初賽試卷的填空題的壓軸題：已知m是正整數，且方程有整數解，則m所有可能的值是 題2(淮安市一模) 已知數列an，bn滿足a1=1，a2=2，b1=2，且對任意的正整數i，j，k，l，當i+j=k+l時都有ai+bj=ak+bl，則的值是 解 依題設，有bn+1-bn=a2-a1=1，從而數列bn是以2為首項，1為公差的等差數列同理可得，an是以1為首項，1為公差的等差數列所以，數列an+bn是以3為首項，2為公差的等差數列所以，=2013變式1 已知數列an，bn滿足a1=1，a2=2，b1=2，且對任意的正整數i，j，k，l，當i+j=k+l時都有ai-bj=ak-

27、bl，則的值是 略解 依題設，有ai-bj=aj-bi，于是ai+bi=aj+bj，所以an+bn=3，=3變式2 已知數列an，bn滿足a1=1，a2=2，b1=2，且對任意的正整數i，j，k，l，當i+j=k+l時都有aibj=akbl，記cn=，則數列cn的通項公式是 略解 由a2bn=a1bn+1，得，故bn=2n同理，an=，通項公式為題3(常州市一模) 若對任意的xD，均有f1(x)f(x)f2(x)成立，則稱函數f(x)為函數f1(x)到函數f2(x)在區間D上的“折中函數”已知函數f(x)=(k-1)x-1，g(x)=0，h(x)=(x+1)lnx，且f(x)是g(x)到h(x

28、)在區間1，2e上的“折中函數”，則實數k的取值范圍為 解 依題意，有0(k-1)x-1(x+1)lnx在x1，2e上恒成立當x1，2e時，函數f(x)=(k-1)x-1的圖象為一條線段，于是解得k2另一方面，k-1在x1，2e上恒成立令m(x)=，則因1x2e，故0，于是函數為增函數所以>0，0，m(x)為1，2e上的增函數所以k-1m(x)min=m(1)=1，k2綜上，k=2為所求ABCOEFD圖1題4(泰州市一模) 已知O是銳角ABC的外接圓的圓心，且A=，若，則m= (用表示)解法1 如圖1，作OEAC交AB于E，作OFAB交AC于F由正弦定理，得 又AOE=OAF=，所以，所

29、以同理，因，故因，故上式可化為，即，所以m=sin解法2 將等式兩邊同乘以，得，即由正弦定理，得m=cosBsinC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA=sin解法3 將已知等式兩邊平方，得由正弦定理，得m2=sin2A=注意到m>0，故m=sin注 1本題雖難度較大，但得分率卻較高其主要原因是考生利用了特值法，令ABC為正三角形，即得m=，于是猜測m=sin2題中三種解法均是處理向量問題最常用的基本方法，解法1用的是平面向量基本定理，從不同側面表示；解法2與解法3，是或將向量等式兩邊同乘某個向量，或將等式兩邊同時平方，進而達到去除向量的目的題5(南京市一模) 若直角坐標平面內

30、兩點P，Q滿足條件：P，Q都在函數f(x)的圖象上；P，Q關于原點對稱，則稱點對(P，Q)是函數的一個“友好點對”(點對(P，Q)與點對(Q，P)為同一個“友好點對”)已知函數則的“友好點對”有 個xyOx=-1y1y2圖2解設x<0，則問題化歸為關于x的方程，即()有幾個負數解問題記，當時，所以函數的圖象與的圖象有兩個交點(如圖2)，且橫坐標均為負數，故所求“友好點對”共有2個AOCBPlxy圖3題6(鎮江市一模) 直線l與函數()的圖象相切于點A，且lOP，O為坐標原點，P為圖象的極值點，l與x軸交于點B，過切點A作x軸的垂線，垂足為C，則= 解 如圖3，為極值點，設點A(x0，si

31、nx0)，則過點A的切線l的斜率為于是，直線l的方程為令y=0，得，從而BC=BC2=題7(揚州市一模) 若函數f(x)=x3-ax2(a>0)在區間上是單調遞增函數，則使方程f(x)=1000有整數解的實數a的個數是 解 令由，得x=0或于是，f(x)的單調增區間為和所以，即0<a10因f(x)的極大值為f(0)=0，故f(x)=1000的整數解只能在上取得令x3-ax2=1000，則a=令g(x)=，則>0，故g(x)在為增函數因g(10)=0，g(15)=，故方程f(x)=1000的整數解集為11，12，13，14從而對應的實數a亦有4個不同的值題8(蘇州市一模) 在平

32、面直角坐標系xOy中，點P是第一象限內曲線上的一個動點，過P作切線與兩個坐標軸交于A，B兩點，則AOB的面積的最小值是 解 設P(a，-a3+1)，0<a<1，則切線方程為y= -3a2x+2a3+1于是兩交點分別為(0，2a3+1)，(，0)，令=0，得a=，且可判斷此時S取最小值，值為 題9(鹽城市一模) 已知函數，設，且函數F(x)的零點均在區間內，則的最小值為 解 =當x0時，；當-1<x<0時，；當x<-1時，故函數f(x)為R上的增函數，于是函數f(x)在R上最多只有一個零點因f(0)=1>0，f(-1)=<0，故f(0)f(-1)<

33、0，因而f(x)在R上唯一零點在區間(-1，0)上，于是f(x+3)的唯一零點在區間(-4，-3)上同理可得，函數g(x)為R上的減函數，于是函數f(x)在R上最多只有一個零點又g(1)=>0，g(2)=<0，于是g(1)g(2)<0，因而g(x)在R上唯一零點在區間(1，2)上，于是g(x-3)的唯一零點在區間(4，5)上所以，F(x)的兩零點落在區間-4，5上，b-a的最小值為9注 不少考生想對復雜的函數表達式進行求和變形化簡，結果當然是徒勞而返，得分率非常低導數法是解決高次函數或復雜函數的強有力的工具題10(南通市一模) 已知等腰三角形腰上的中線長為，則該三角形的面積的

34、最大值 是 GEABCF圖4解 (本題解法很多，僅給出平幾解法)如圖4，ABC中，E，F分別為底BC與腰AC的中點，BF與AE交于點G，則G為ABC的重心，于是BG=CG=，且AE=3GE所以，當且僅當BGC=，即BGGC時，ABC的面積取最大值2DABCxy圖5變式1 在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在線段AC上，AD=kAC(k為常數，且0<k<1)，BD=l為定長，則ABC的面積的最大值為 略解 如圖5，以B為原點，BD為x軸建立直角坐標系xBy設A(x，y)，y>0因AD=kAC =kAB，故AD2=k2AB2，于是(x-l)2+y2=k2(x2+y2)所以，=，

35、于是，變式2 在正三棱錐P-ABC中，D為線段BC的中點，E在線段PD上，PE=kPD(k為常數，且0<k<1)，AE=l為定長，則該棱錐的體積的最大值為 ABCPDEOF圖6G略解 如圖6，因PE=kPD，故EG=kOD因AO=2OD，故，于是因，故，從而=所以，因，故AF=于是，=(當且僅當FA，FB，FC兩兩垂直時，“”中取“=”)，所以，于是所求的最大值為注 本題的原型題，可能來自于2008年江蘇高考數學題：滿足條件AB=2，AC=的ABC的面積的最大值為 題11(無錫市一模) 已知函數f(x)=|x2-2|，若f(a)f(b)，且0ab，則滿足條件的點(a，b)所圍成區域

36、的面積為 解 易知f(x)在上為減函數，在上為增函數，于是a，b不可能同在上22Oab圖7若0ab，則2-a22-b2恒成立，它圍成圖7中的區域；若0ab，則2-a2b2-2，即a2+b24，它圍成圖7中的區域綜上，點(a，b)所圍成的區域恰好是圓a2+b2=4的故所求區域的面積為AxyOy=kxy=sinx2圖8題12(高三百校大聯考一模) 若函數f(x)=|sinx|(x0)的圖象與過原點的直線有且只有三個交點，交點中橫坐標的最大值為，則= 解 依題意，畫出示意圖如圖8所示于是，且A(，-sin)為直線y=kx與函數y= -sinx()圖象的切點在A點處的切線斜率為，故=tan所以，=2題

37、13(蘇北四市二模) 已知函數，且，則滿足條件的所有整數的和是 解 因f(-x)=f(x)，故f(x)為偶函數記g(x)=，h(x)=當x0時，g(x+1)-g(x)=|x+2012|-|x+1|=2011，h(x+1)-h(x)=|x|-|x-2011|=所以，f(x+1)-f(x)=所以，f(0)=f(1)<f(2)<f(3)<又當0x1時，f(x)=，故或且aN*，解得a=1，2，3，所以結果為6注 本題也可以這樣思考：從最簡單的先開始先研究函數與函數的圖象與性質，它們都是“平底鍋型”，進而猜測函數的圖象與性質，并最終得以解決問題 題14(南京市二模) 已知函數f(x)

38、=(aR)，若對于任意的xN*，f(x)3恒成立，則a的取值范圍是 解 因xN*，故由f(x)3恒成立，得a，故a當x取最接近于的整數，即x=3時，取最大值，于是a變式 已知函數f(x)=(xN*)，且f(x)min=3，則實數a的取值集合是 略解 首先a另一方面，xN*，使f(x)3能成立，即a能成立，于是a=所以，a的取值集合是題15(鹽城市二模) 已知函數f(x)=cosx，g(x)=sinx，記Sn=，Tm=S1+S2+Sm若Tm<11，則m的最大值為 解 =1= -1所以，Sn=，Tm=令Tm<11，則正整數m的最大值為5 本題難點在于復雜的Sn的表達式去掉求和符號，展開

39、表達式，化抽象為具體，進而識得廬山真面目題16(蘇錫常鎮四市二模) 已知m，nR，且m+2n=2，則的最小值為 解法1 設x=m，y=2n，則問題等價于：已知x+y=2，求的最小值令S=，T=，則S-T=0，即ST另一方面，S+T=8，故S4，當且僅當x=y=1時取等號所以的最小值為4解法2 考慮到對稱性，不妨取m1令g(m)=，m1則0所以函數g(m)(m1)為增函數，故注這道題雖然正面求解難度較大，但得分率卻相當的高究其原因大致為：當考生經過變元后，得問題為“已知x+y=2，求的最小值”，它具有某種對稱性，憑直觀猜測：讓x=y=1，一舉得到所求結果1PAO圖101-=1+=1-=1ACBx

40、OyA1B1圖9題17(南通市二模) 在平面直角坐標系xOy中，設A，B，C是圓x2+y2=1上相異三點，若存在正實數，使得，則2+(-3)2的取值范圍是 解法1 如圖9，作，連B1C，A1C，則，因三點A，B，C互異，且，故O，C，B1構成三角形的三個頂點，且，于是由三角形的邊與邊之間的關系有（）如圖10的陰影部分表示不等式組（）所表示的區域，P(，)為陰影部分內的動點，定點A(0，3)，則2+(-3)2=AP2點A(0，3)到直線-=1的距離d=，AP>d=，故2+(-3)2>2，從而2+(-3)2的取值范圍為解法2 依題，B，O，C三點不可能在同條直線上所以=cosBOC(-

41、1，1)又由，得，于是記f()=2+(-3)2=于是，f()>2，且f()<=， 1 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 8 12 16 20 24 20 28 36 44 48 64 80 圖11無最大值故2+(-3)2的取值范圍為題18(蘇北四市三模) 如圖11是一個數表，第1行依次寫著從小到大的正整數，然后把每行相鄰的兩個數的和寫在這兩數正中間的下方，得到下一行，數表從上到下與從左到右均為無限項，則這個數表中的第13行第10個數為 解法1 記第n行第m個數為an，m為了得到a13，10，則第1行必須寫滿22個數觀察可得：a13，1+a13，10=2(a12，1

42、+a12，11)=22(a11，1+a11，12)=212(a1，1+a1，22)=23×212所以，a13，1+a13，10=23×212另一方面，a13，10=a13，1+9×212聯立解得 a13，10=216解法2 記第n行的第1個數為ann12345an1=2×3=3×18=4×220=5×448=6×8于是，猜測因第n行的數從左到右排列成公差為的等差數列，故第13行第10個數為解法3 記第n行的第1個數為an，數列an的前n項和為Sn，則所以，Sn+1-2Sn=2n，又，故，Sn=所以，下同解法2ABC

43、DONM圖12題19(南京市三模) 如圖12，已知正方形ABCD的邊長為1，過正方形中心O 的直線MN分別交正方形的邊AB，CD于點M，N，則當取最小值時，CN= 解法1 設CN=x，則BM=DN=1-x作MPDC交DC于點P，則PN=2x-1所以，MN2=1+(2x-1)2=4x2-4x+2，BN2=x2+1，=(其中t=)，當且僅當，即t=，x=時，取最小值，所以CN=解法2 設CBN=()，則BN=，DN=1-tan，MN=所以，=，其中，當時，取最小值，此時=2解，得=為所求(另一解為負，舍去)題20(南通市三模) 定義在上的函數f(x)滿足：f(2x)=cf(x)(c為正常數)；當2

44、x4時，f(x)=1-|x-3|若函數圖象上所有取極大值的點均落在同一條直線上，則c= 解 可求得，當x(nN*)時， f(x) =記函數f(x) =(x，nN*)圖象上極大值的點為Pn(xn，yn)令，即xn=時，yn=，故Pn(，)分別令n=1，2，3，得 P1(，)，P2(3，1)，P3(6，c)由(k表示直線的斜率)得，c=2或c=1當c=2時，所有極大值的點均在直線上；當c=1時，yn=1對nN*恒成立，此時極大值的點均在直線y=1上變式 定義在上的函數f(x)滿足：f(2x)=cf(x)(c為正常數)；當2x4時，f(x)=1-|x-3|若函數圖象上所有取極大值的點均落在同一條以原

45、點為頂點的拋物線上，則常數c= 略解 以原點為頂點的拋物線方程可設為x2=py(p0)或y2=qx(q0)若Pn(，)在拋物線x2=py(p0)上，則()2=，即對nN*恒成立，從而c=4；若Pn(，)在拋物線y2=qx(q0)上，則()2=，即對nN*恒成立，從而c=綜上，c=4或題22(揚州市三模) 設函數f(x)的定義域為D，如果存在正實數k，使對任意xD，都有x+kD，且f(x+k)>f(x)恒成立，則稱函數f(x)為D上的“k型增函數”已知f(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，f(x)=|x-a|-2a，若f(x)為R上的“2011型增函數”，則實數a的取值范圍是

46、解 若a0，則f(x)在x>0時為增函數，故對任意正實數k，不等式f(x+k)>f(x)恒成立3a-3aOxyka3a-k圖13若a>0，則函數y=f(x+k)的圖象可由函數y=f(x)的圖象向左平移k個單位而得(如圖13)因k=2011，故僅當2011>6a時，f(x+2011)>f(x)，所以此時0<a<綜上，實數a的取值范圍是a<題23(徐州市三模) 若關于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有實數根，則實數a的取值范圍為 解法1 因x0，故將方程兩邊同除以x3，并變形得=0令g(t)=，t=原方程有實數根，等價于函數g(t)有零點因

47、g(-1)= -1，故函數g(t)有零點，只須g(-2)0或g(2)0解g(-2)0，得a2；解g(2)0，得a所以，實數a的取值范圍為解法2 易知x=0不是方程的根，故x3+x2+x=0所以，a=，其中t=解法3 接解法2，a=，于是因=x2(x+1)2+(x+1)2+2x2>0，故由可解得x=1或-1當x>0時，a<0，且當x=1時，a取極大值，故此時a；當x<0時，a>0，且當x= -1時，a取極小值2，故此時a2綜上，實數a的取值范圍為題24(南通市最后一卷) 函數f(x)=的最大值與最小值的乘積是 解法1 當x0，±1時，f(x)=當>x

48、時，f(x)，且當=2時，取“=”，故f(x)的最大值為又因為f(x)為奇函數，故f(x)的最小值為所以所求的乘積為法2 令=0，得x2=函數f(x)的最大值應在x-x3>0，即0<x<1或x<-1時取得所以f(x)max=maxf()，f()=，下同解法1解法3 令x=tan，則g()=f(x)=，所求乘積為注 題23與題24有異曲同工之妙，它們都出現了x，x2，x3，x4，經換元后，分別得到了只關于整體變量及的表達式，進而一舉解決了問題題25(淮安市四模) 已知函數f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|100x-1|，則當x= 時，f(x)取得最小值解

49、 f(x)=，f(x)共表示為5050項的和，其最中間兩項均為x=，同時使第1項|x-1|與第5050項的和，第2項與第5049項的和，第3項與第5048項的和，第2525項與第2526項的和，取得最小值故所求的x為注 1一般地，設a1a2a3an(nN*)，f(x)=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+|x-an|若n為奇數，則當x=時，f(x)取最小值；若n為偶數，則x時，f(x)取最小值2本題似于2011年北大自主招生題：“求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|2011x-1|的最小值”相關聯填空題 難題匯總 03題1(蘇錫常鎮四市一模) 設mN，若函數存在整數零點，則m的取

50、值集合為 解 當xZ，且x10時，Z若m=0，則x= -5為函數f(x)的整數零點若m0，則令f(x)=0，得m=N注意到-5x10，且N，得x1，6，9，10，此時m3，14，30故m的取值集合為0，3，14，30注 將“mN”改為“mN*”，即得2011年全國高中數學聯賽江蘇賽區初賽試卷的填空題的壓軸題：已知m是正整數，且方程有整數解，則m所有可能的值是 題2(淮安市一模) 已知數列an，bn滿足a1=1，a2=2，b1=2，且對任意的正整數i，j，k，l，當i+j=k+l時都有ai+bj=ak+bl，則的值是 解 依題設，有bn+1-bn=a2-a1=1，從而數列bn是以2為首項，1為公差的等差數列同理可得，an是以1為首項，1為公差的等差數列所以，數列an+bn是以3為首項，2為公差的等差數列所以，=2013變式1 已知數列an，bn滿足a1=1，a2=2，b1=2，且對任意的正整數i，j，k，l，當i+j=k+l時都有ai-bj=ak-bl，則的值是 略解 依題設，有ai-bj=aj-bi，于是ai+bi=aj+bj，所以an+bn=3，=3變式2 已知數列an，bn