1、學 士 學 位 論 文系 別： 應用數學系 學科專業： 數學與應用數學 姓 名： 賈 晨 運 城 學 院 二 零 一四 年 五 月 冪級數與歐拉公式的研究系 別： 應用數學系 學科專業： 數學與應用數學 姓 名： 賈 晨 指導教師： 常敏慧 運 城 學 院 二 零 一四 年 五 月 冪級數與歐拉公式的研究摘 要 冪級數是一類形式簡單而應用廣泛的函數項級數，歐拉公式在各領域的不同形式應用廣泛. 復數函數中的歐拉公式將定義與形式完全不同的指數函數與三角函數聯系起來，為我們研究這兩種函數的相關運算及其性質架起了一座橋梁.因此，冪級數與歐拉公式這一課題的研究對實際科研與應用具有重大意義.本文首先對冪級

2、數的基礎知識及應用進行歸納總結，然后對歐拉公式特別是復數函數中的歐拉公式的基本知識及應用進行歸納總結，最后探究冪級數與復數函數中的歐拉公式的聯系.關鍵詞 冪級數 歐拉公式 三角函數 泰勒展開Study of Power Series and Euler's FormulaAbstract Power series is a kind of function series that simple form and a wide range of applications, different forms Euler equations are widely used in various

3、 fields. Euler's formula of complex functions, contact exponential functions and trigonometric functions which have different definitions and forms, to build a bridge for our research about the correlation calculation and its properties in these two functions. Therefore, the study of power serie

4、s with Eulers formula has great significance to the actual research and applications. Firstly, the paper summarized the basic knowledge and application of power series. Then, summarize Euler's formula especially in complex function in the basics and applications. Finally, explore the links betwe

5、en power and Euler's formula of complex function.Keywords power series Euler's formula trigonometric function Taylor power series目 錄引 言1第1章 冪級數21.1 定義21.2 性質21.3 函數的冪級數展開31.4 冪級數的應用5第2章 歐拉公式82.1 歐拉公式的不同形式82.2 復數函數中的歐拉公式9第3章 冪級數與歐拉公式133.1 理論依據133.2 備用公式133.3 歐拉公式的形成14總 結15致 謝16參考文獻16引 言冪級數是函數

6、項級數中最基本的級數，在其收斂區間內絕對收斂，并且具有可逐項積分與可逐項微分等性質.巧妙利用冪級數的展開式及其性質把一些較為復雜的問題轉換較為簡單的形式，在解題時往往思路清晰、條理清楚.冪級數的每一項都是冪函數，把一個函數展開成無窮項等比函數列求和的形式，不論在函數的理論研究還是在應用方面都有很重要的意義.18世紀是分析數學壯大的世紀，而歐拉是這個世紀的數學主將.不僅函數的第一個定義是他給出，他還倡用圓周率、對數底數、虛數單位等數學符號，對我們現當代數學產生巨大影響。其中歐拉公式在各領域的不同形式在理論和實際生活中應用十分廣泛.復數函數中的歐拉公式，在初等數學中具有廣泛應用，特別是在三角函數恒

7、等式證明中有重要的應用；在高等數學中也有極為廣泛的應用，而且建立了三角函數和指數函數的關系，在復變函數論里占有非常重要的地位，它將數學中最重要的五個常數1、0、用一個公式便連接起來，被譽為“數學中的天橋”.從研究冪級數入手，利用求函數冪級數的簡單方法，即讓函數的各階導數和冪級數的各階導數相匹配.由、的冪級數，連貫的引出歐拉公式，并就此通俗的引入復數的概念，從而，對冪級數與歐拉公式的應用展開深入研究.復數函數中的歐拉公式將定義和形式完全不同的指數函數和三角函數聯系起來,為我們研究這兩種函數的相關運算及其性質架起了一座橋梁，因此，冪級數與歐拉公式這一課題的研究對實際科研與應用具有重大意義.第1章

8、冪級數1.1 定義由冪函數序列 所產生的函數項級數稱為冪級數1.它是一類最簡單的函數項級數，從某種意義上說，它也可以看作是多項式函數的延伸.冪級數在理論和實際上都有很多應用，尤其是在表示函數方面.特別地，當，即是一種重要情形.1.2 性質1.2.1 一致收斂性 若冪級數的收斂半徑為，則該冪級數在區間內一致收斂.1 設冪級數的收斂半徑為，且在點（）收斂，則冪級數在區間（）上一致收斂.1特殊地，當時，冪級數僅在處收斂.1.2.2 逐項求導和積分后的級數設（） ，（） ，則（）和（）與有相同的收斂半徑（因而有相同的收斂區間），但未必有相同的收斂域.11.2.3 和函數的性質設在內，則： 在內連續；

9、若級數(或)收斂，則在點(或)是左（或右）連續； 對，在點可微且有 ； 對，在區間上可積，且 .注：當級數收斂時，無論級數在點收斂與否，均有 .21.3 函數的冪級數展開1.3.1 定義如果函數在處存在任意階的導數，且對有（其中為積分型余項或Lagrange余項或Cauchy余項），則函數可以展開為冪級數1，即冪級數展開式為： 特殊地，令 ，稱為麥克勞林級數.1.3.2 初等函數的冪級數展開初等函數的冪級數展開式才是其本質上的解析表達式.以下是部分初等函數的冪級數展開式1： ， （） ， （） ， （） 二項式的展開式：為正整數時，為多項式，展開式為其自身；不為正整數時，可在區間內展開為 .一

10、般地說，只有少數比較簡單的函數，其冪級數展開式能直接從定義出發求解.更多的情況是從已知的展開式出發，通過變量代換、四則運算或逐項求導、逐項求積等方法，間接地求得函數的冪級數展開式.例1 用間接方法求非初等函數的冪級數展開式.3解 以代替展開式中的，得，再逐項求積，可得在上的展開式為1.4 冪級數的應用1.4.1 理論應用 冪級數在函數方面的應用近似計算、積分計算、數項級數求和、求極限、求導、證明不等式、解微分方程、對數表的制造、表示某些非初等函數、推導歐拉公式等.例2 證明不等式，.4證明 因為，而 ，由于，故，例3 解微分方程.4解 設方程的解為，則將，代入得 原方程的通解為 （，為任意常數

11、） 在組合數學方面的應用在組合數學中，用冪級數可產生一個生成函數，即對數列，.5 遞推關系 例4 已知求解 設，則設，則所以， 線性不定方程解的個數 組合恒等式 在概率統計中的應用為的階矩，,滿足，此時用冪級數定義的概率母函數.5 進行解析延拓把冪級數推廣到復數域內，即為復數常數，則有.它是函數解析延拓的重要工具，不論用什么方法得到的解析延拓，都可以用冪級數解析延拓得到.51.4.2 實際應用 彈性半空間地基上中厚圓板的計算、傳染病傳播、生物繁殖等.例5 考慮一個周邊自由圓板，在板中受均布荷載，半徑，板厚，泊松比，彈性模量，泊松比，半空間地基彈性模量，據這些參數，可以求得,、分別取到5，即只取

12、級數的前六項計算.代入彈性半空間地基上中厚圓板冪級數解法的基本方程組 其中，為板與地基系統的相對剛度.易解出各系數，.可得地基反力為：應用冪級數法求解彈性半空間地基上中厚圓板的彎曲問題，先分別假設板、地基的解為冪級數形式，再采用比較系數法導出問題求解的代數方程組，簡化了計算.該方法也可推廣到其他軸對稱荷載作用下彈性半空間上中厚圓板彎曲問題的求解.6第2章 歐拉公式2.1 歐拉公式的不同形式在數學歷史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler公元1707-1783年)發現的，它們都叫做歐拉公式，分散在各個數學分支之中：分式里，它的形式為 ，其中，當時，式子的值為0；當時，式子的值為1；當

13、時，式子的值為 .平面幾何中，設的外心為,內心為,外接圓半徑為,內切圓半徑為,又記外心、內心的距離為,則有.拓撲學里，,在空間中是多面體的頂點個數，是多面體的面數，是多面體的棱的條數，是多面體的歐拉示性數；在平面上是圖形的頂點個數，是圖形內的區域數，是圖形的邊數.在非簡單多面體中，歐拉公式的形式為：,其中指的是平面上不完整的個數，而指的是獨立的多面體的個數，指的是多面體被貫穿的個數.初等數論中，歐拉函數是所有小于的正整數里，和互素的整數的個數.是一個正整數.可得歐拉公式 ，都是素數，且兩兩不等.在物理學中，眾所周知，生活中處處存在著摩擦力，歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數之間的關系：，其

14、中，表示我們施加的力，表示與其對抗的力，為自然對數的底，表示繩與樁之間的摩擦系數，表示纏繞轉角，即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比.2.2 復數函數中的歐拉公式在本文中主要研究復數函數中的歐拉公式及其應用，其具體形式為：，是自然對數的底，是虛數單位7.它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”. 復數函數中的歐拉公式在初等數學具有廣泛應用，特別是在三角函數恒等式證明中有重要的應用.它在高等數學中也有極為廣泛的應用，舉例如下:2.2.1 基礎代換計算例6 計算下列各式的值 ； .8解 因為由歐拉公式有，所以.（說明不是

15、虛數） 在歐拉公式中，取，得所以， ，2.2.2 求高階導數，求積分根據復指數函數的導數、積分的計算和實變復值函數的高階導數、積分公式的特點，將、等類型函數的高階導數、積分問題利用歐拉公式轉換為的高階導數、積分問題.例7 設，其中是常數，求.8解 構造輔助函數，及，則由歐拉公式得 從而分離其實部和虛部，即得所求2.2.3 求函數的級數展開式例8 求函數的麥克勞林展式.8解 構造輔助函數，及，則的麥克勞林展式為，分離其實部與虛部得，所以， .2.2.4 求三角級數的和函數例9 求三角級數在收斂域上的和函數.8解 設所求為，構造在上收斂的三角級數，并設其和函數為，于是有 分離其實部與虛部得，三角級

16、數在收斂域上的和函數為：.2.2.5 求復數形式的傅里葉級數例10 根據實數形式的傅里葉級數求復數形式的傅里葉級數.8解 若函數以為周期，在上連續或至多有第一類間斷點，若在上至多有有限個單調區間，則其實數形式的傅里葉級數為，其中傅里葉系數為 ，因為，所以在傅里葉系數的表達式中，若以代替，有，記，則函數復數形式的傅里葉級數為，其中系數計算公式為.2.2.6 求微分方程的通解例11 求微分方程的通解.9解 原方程的特征方程為，即.可知，該特征方程的特征根為，.于是，由歐拉公式及微分方程解的疊加原理得原方程的通解為.其中，是不全為零的常數.第3章 冪級數與歐拉公式本部分主要研究復變函數中的歐拉公式與

17、冪級數的聯系，即借助冪級數展開式推導歐拉公式.3.1 理論依據定理1 設在區間內存在任意階的導數，冪級數的收斂區間為，則在區間內 成立的充分必要條件是：在這個區間內， .1定理2 如果函數能在某個區間內展開成冪級數，則這個冪級數是唯一的.注意：上述定理中的可以推廣到復數域中.3.2 備用公式 ， （） ， （） ， （） 3.3 歐拉公式的形成式中的推廣到復數域，考察復數項級數 ，可以證明，該級數在復平面上是絕對收斂的，它的和為，即 特別地，當（為實數）時，可得:即 （） 式中以代替得 （） 從而， 上述都叫歐拉公式10,11，它揭示了三角函數與復變量指數函數之間的關系.特別地，式中令即得著名

18、的歐拉公式：.克萊茵（Klein，1849-1925，德國）認為，這是數學中最漂亮的公式之一.有人把該式列為是個最優美的數學定理之首，它把數學中最重要的5個數0、1、用一個等式連接起來，顯示了數學中的統一美，顯示了數學各領域間的強烈聯系，如：0：正負數的分界；1：任意自然數與它的后繼數之差；：的根，屬于代數；：圓周長與直徑之比，屬于幾何；：時的極限，屬于分析.因此，數學家評價它為“上帝創造的公式”.總 結冪級數與歐拉公式在數學的許多定理和計算中,有著廣泛的應用冪級數是函數級數中最基本的級數，其在其收斂區間內絕對收斂，并且具有可逐項積分與可逐項微分等性質.巧妙利用冪級數的展開式及其性質把一些較為復雜的問題轉換較為簡單的形式，不論在函數的理論研究還是在應用方面都有很重要的意義.歐拉公式在理論和實際中都有廣泛應用，為更好的掌握和應用，有必要研究和探討冪級數與歐拉公式的聯系.復數函數中的歐拉公式將定義和形式完全不同的指數函數和三角函數聯系起來,為我們研究這兩種函數的相關運算及其性質架起了一座橋梁.掌握冪級數與歐拉公式的基本知識及聯系，對于掌握有關數學思想、增強數學審美意識、提高高等數學的學習質量具有重要意義.因此，有必要對冪級數與歐拉公式這一課題進行更深入的探討.致 謝感謝我的大學，給了