1、精選優質文檔-傾情為你奉上人教B版數學必修4 第二章平面向量單元教學設計一、教材分析1.本單元教學內容的范圍2.1 向量的線性運算2.1.1 向量的概念2.1.2向量的加法2.2.3向量的減法2.1.4 向量數乘2.1.5 向量共線的條件與軸上向量坐標運算2.2 向量的分解與向量的坐標運算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解與向量的直角坐標表示2.2.3 用平面向量坐標表示向量共線條件2.3 平面向量的數量積2.3.1 向量數量積的物理背景與定義2.3.2 向量數量積的運算律2.3.3 向量數量積的坐標運算與度量公式2.4 向量的應用2.4.1 向量在幾何中的應用2.4.2

2、向量在物理中的應用2.本單元教學內容在模塊內容體系中的地位和作用向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著豐富的實際背景。向量是既有大小又有方向的量，大小反映了向量數的特征，方向反映了形的特征，因此是集數形于一身的數學概念，是數學中數形結合思想的體現。它既具有圖形的直觀性，又有代數推理的嚴密性，從而向量是一個具有幾何代數雙重身份的概念。從“數、量和運算”發展的角度理解向量，向量的加法、減法、數乘、向量和向量的數量積都是新的運算，向量代數是以前所有“數的運算”的一個發展和擴大。在中學引入向量為以后進入大學后選修矩陣及運算做了鋪墊。向量除了在日常生活中和

3、數學各分支中有著廣泛的應用，向量也是研究運動學、力學、電學、宇宙學、經濟學等許多學科不可缺少的數學工具。特別是在物理學中得到廣泛的應用。向量具有豐富的物理背景和實際背景。數學家在物理學家使用向量的基礎上，又對向量進行了深入的研究，使向量成為研究數學和其他學科的有力工具。在中學數學引入向量，通過向量對傳統問題進行分析，可以幫助學生更好的建立代數和幾何之間的聯系，也為中學數學向高等數學過渡奠定了基礎。因而我們可以把向量的引入理解為現代數學與初等數學的銜接的組成部分之一。3.本單元教學內容總體教學目標通過本章的學習，應使學生了解平面向量豐富的實際背景，理解平面向量的概念及其運算。通過實際問題的分析和

4、求解，一方面應使學生體會平面向量是溝通代數與幾何的一種重要工具，另一方面，應逐步提高學生的運算能力和解決實際問題的能力。（1）平面向量的實際背景及其基本概念 通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。（2）向量的線性運算通過實例，掌握向量加、減法運算，并理解其幾何意義。通過實例，掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義。了解向量的線性運算性質及其幾何意義。（3）平面向量的基本定理及坐標表示了解平面向量的基本定理及其意義掌握平面向量的正交分解及其坐標表示會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算理解用坐標表示的平面向量共線的條件

5、（4）平面向量的數量積通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義。掌握平面向量的數量積與向量投影的關系。掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算。能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。（5）向量的應用經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其它一些實際問題的過程。知識與技能目標(1)了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。(2)掌握向量加、減法運算，并理解其幾何意義。(3)掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義。(4)了解向量的線性運算性質及其幾何意義。(5)了解平面向量

6、的基本定理及其意義(6)掌握平面向量的正交分解及其坐標表示(7)會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算(8)理解用坐標表示的平面向量共線的條件(9)理解平面向量數量積的含義及其物理意義。(10)掌握平面向量的數量積與向量投影的關系。(11)掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算。(12)運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。(13)會利用向量法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其它一些實際問題的過程過程與方法目標（1）通過本章的學習，研究用向量處理問題的兩種方法-向量法和坐標法。（2）經歷向量的形成過程，解題的思維過程，體驗數形結合思想的指導作用。

7、（3）經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等常用的工具，體會向量的工具性。情感、態度與價值觀目標（1）通過力和力的分析、物理中“功”等實例，體會向量語言或運算在解決數學問題和實際問題中的工具作用。（2）向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，通過本章的學習，體會他們之間的聯系。（3）本章的學習較多的運用了幾何直觀、類比、特殊到一般等思維方法，認真體會這些思想方法，逐漸提高理性思維能力。（4）同過本章學習，逐步認識向量的科學價值、應用價值和文化價值，提高學習數學的興趣，樹立學好數學的信心。4.本單元教學內容重點和難點分析本章重點:理解并

8、掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量。會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則做兩個向量的和向量。向量減法的概念和向量減法的作圖法。平面向量基本定理。平面向量的坐標運算，平面向量的數量積定義、運算規律及坐標表示。難點：理解向量加法、減法的定義，加法、減法運算時方向的確定。平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯系。平面向量基本定理的理解與應用。向量的坐標表示的理解及運算的準確性。平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用。2.1第一大節向量的線性運算：包括向量的物理背景與概念、向量的加法、減法，數乘向量、向量共線的條件與軸上向量坐標運算。向量的加法、減法

9、，數乘向量的綜合運算，叫做向量的線性運算。2.1.1向量的概念本小節包括位移的概念、向量的概念、用向量表示點的位置。重點：向量的概念，相等向量的概念，向量的表示。難點：對向量概念的理解。2.1.2 向量的加法本小節包括向量加法、向量加法的三角形法則、向量加法的平行四邊形法則、向量求和的多邊形法則、向量加法的交換律和結合律。重點：向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。難點：對向量加法的理解。2.1.3 向量的減法本小節包括向量減法、向量減法的三角形法則重點：向量減法法則的運用難點：對向量減法定義的理解2.1.4 數乘向量本小節包括數乘運算的定義、運算律重點：數乘向量的定義、運算律。難點：正確的運

10、用法則、運算律進行向量的線性運算。2.1.5 向量共線的條件與軸上向量坐標運算本小節包括平行向量基本定理、單位向量、軸上的坐標公式、數軸上兩點間的距離公式。重點：平行向量基本定理難點：平行向量基本定理的應用2.2 向量的分解與向量的坐標表示2.2.1 平面向量基本定理本小節包括平面向量基本定理。重點：平面向量基本定理及應用難點：平面向量基本定理及應用2.2.2 向量的正交分解與向量的直角坐標表示本小節包括向量的直角坐標系、在直角坐標系中，給出了向量的坐標，定義了向量加法、減法和數乘向量的運算法則。重點：向量的直角坐標運算難點：應用向量的直角坐標運算的法則解決具體問題。2.2.3 用平面向量坐標

11、表示向量共線條件本小節包括用坐標表示向量共線的條件及其應用重點：用坐標表示向量共線的條件難點：用坐標表示向量共線的條件的應用2.3平面向量的數量積2.3.1向量數量積的物理背景與定義本小節包括以力做功為背景引入向量的數量積的運算，兩向量夾角的定義，兩向量垂直的充要條件，向量在軸上的正投影，兩個向量內積的性質。重點：向量的數量積的定義及性質。難點：對向量數量積定義及性質的理解與應用。2.3.2 向量的數量積的運算律本小節包括向量數量積的三條運算律重點：對向量數量積運算律的理解與應用難點：對向量數量積運算律的理解與應用2.3.3 向量數量積的坐標運算與度量公式本小節包括向量數量積的坐標運算公式，兩

12、向量垂直的坐標公式，向量的長度、距離、夾角的坐標公式。重點：向量數量積的坐標運算與度量公式。難點：靈活運用公式解決有關問題2.4向量的應用2.4.1向量在幾何中的應用本小節包括向量在平面幾何和解析幾何中的應用重點：利用向量解決平面幾何問題和解析幾何問題。難點：利用向量解決平面幾何問題和解析幾何問題。2.4.1向量在物理中的應用本小節包括力向量、速度向量兩種應用重點：應用向量方法解決實際問題難點：選擇適當的方法解決實際問題。5。其他相關問題（1）本單元“大綱”與“課標”的比較項目課標（12課時）大綱（12課時）順序必修4 第二章第一冊（下）第五章（一）內容向量的概念向量的加法向量的減法向量數乘向

13、量共線的條件與軸上向量坐標運算平面向量基本定理向量的正交分解與向量的直角坐標表示用平面向量坐標表示向量共線條件向量數量積的物理背景與定義向量數量積的運算律向量數量積的坐標運算與度量公式向量在幾何中的應用向量在物理中的應用向量向量的加法與減法實數與向量的積平面向量的坐標表示線段的定比分點平面向量的數量積平面兩點間的距離平移要求了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示掌握向量加、減法運算，并理解其幾何意義掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義了解向量的線性運算性質及其幾何意義了解平面向量的基本定理及其意義掌握平面向量的正交分解及其坐標表示會用坐標表

14、示平面向量的加、減與數乘運算理解用坐標表示的平面向量共線的條件理解平面向量數量積的含義及其物理意義掌握平面向量的數量積與向量投影的關系掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系會利用向量法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其它一些實際問題的過程理解向量的概念 掌握向量的幾何表示了解共線向量的概念掌握向量的加法與減法掌握實數與向量的積 理解兩個向量共線的充要條件了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐標的概念 掌握平面向量的坐標運算掌握平面向量數量積及其幾何意義 了解平面向量數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題 掌握

15、向量垂直的條件 掌握平面兩點間的距離公式掌握線段的定比分點和中點坐標公式并能熟練運用 掌握平移公式（2）變化之處刪繁就簡，降低了知識的難度。新教材在以前教材基礎上增加了平面向量在物理和幾何中的應用，強調了向量的工具作用。用向量的內積溝通和角公式與各度量公式之間的聯系 。（3）人教B版教材特點向量的學習與平面圖形的幾何性質緊密結合,加強向量在幾何和三角中的應用.用位移向量與合成引入向量及向量的加法運算.把平行與全等的性質轉化向量及其運算律表示; 把圖形的放大和縮小(相似)轉化為數乘向量運算; 把正投影的性質轉化為向量的數量積運算.研究向量在平面幾何、解析幾何和三角中的應用.強化向量知識的理論體系

16、: 二條基本定理.建立起一維和二維坐標系的向量理論基礎.強化代數推理的訓練, 強化算律的應用。在引進向量的線性運算與實數的運算及算律進行比較.讓學生注意實數運算與向量坐標運算的關系.平面向量的學習對以后空間向量的學習具有重要意義，這部分知識可以類比到選修21空間向量中去 ，也為向量法解決幾何問題奠定基礎；向量的數量積有極其廣泛的應用，它可以處理無理函數的最值問題，證明部分不等式，可以很簡單的證明選修45中的柯西不等式，很多時候也可以替代柯西不等式進行求最值及新不等式的證明。提供了“練習A、練習B”，“習題A、習題B”，“計算機上的練習”，“鞏固與提高”，“自測與評估”，等多種形式的練習方式，為

17、教學提供了豐富的可選擇的空間.二、與本單元教學內容相適應的教學方式和教學方法概述教學方式：講授啟發式、自主探究式教學方法概述：向量概念的教學應從物理背景和幾何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，幾何背景是有向線段。了解這些物理背景和幾何背景，對于學生理解向量概念和運用向量解決實際問題都是十分重要的。教師還可以引導學生運用向量解決一些物理和幾何問題。例如，利用向量計算力使物體沿某方向運動所做的功，利用向量解決平面內兩條直線平行與垂直的位置關系等問題。對本章教學的幾個建議1引導學生關注向量的實際背景 在向量概念的教學中，要利用學生的生活經驗、其他學科的相關知識，創設豐富的情景，例如物理中的

18、力、速度、加速度，力的合成與分解，物體受力做功等，通過這些實例使學生了解向量的物理背景、幾何背景，引導學生認識向量作為描述現實問題的數學模型的作用。同時還要通過解決一些實際問題或幾何問題，使學生學會用向量這一數學模型處理問題的基本方法。2加強向量與相關知識的聯系性，使學生明確研究向量的基本思路 向量既是代數的對象，又是幾何的對象。作為代數對象，向量可以運算，而且正是因為有了運算，向量的威力才得到充分的發揮；作為幾何對象，向量可以刻畫幾何元素（點、線、面），利用向量的方向可以與三角函數發生聯系，通過向量運算還可以描述幾何元素之間的關系（例如直線的垂直、平行等），另外，利用向量的長度可以刻畫長度、

19、面積、體積等幾何度量問題。教學中，教師應當充分關注到向量的這些特點，引導學生在代數、幾何和三角函數的聯系中學習本章知識。 值得特別注意的是，在本章的教學之初，應引導學生通過與數及其運算的類比，體會研究向量的基本思路，在學完本章內容后，還要引導學生反思，重新概括研究思路，這樣可以使學生體會數學中研究問題的思想方法，提升學生的數學思維水平。3引導學生認真體會向量法的思想實質 向量集數與形于一身，既有代數的抽象性又有幾何的直觀性，用它研究問題時可以實現形象思維與抽象思維的有機結合，因而向量方法是幾何研究的一個有效的強有力工具。教學中應當通過實例，引導學生認真體會通過建立向量及其運算（運算律）與幾何圖

20、形之間的關系，利用向量的代數運算研究幾何問題的基本思想，掌握向量法的“三步曲”：（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系。其中，由于向量的數量積集距離和角這兩個刻畫幾何元素（點、線、面）之間度量關系的基本量于一身，因而它在解決幾何問題中的作用更大，應當通過適當的問題引起學生的注意。4注意與數及其運算、解析幾何的思想方法的類比 前已指出，向量及其運算與數及其運算可以類比，這種類比使學生體會向量研究中的問題與方法，使向量的學習有一個好的思維固著點。

21、這樣的類比是教學中提高思想性的有效手段，因此教學中應當予以充分的關注。另外，從思想實質來說，向量法與解析法是完全一致的，教學中可以引導學生回顧數學2中歸納的解析法的“三步曲”，然后讓學生自己概括出向量法的“三步曲”三、本單元所需教學資源概述1.課件：使用幾何畫板、Excel、scilab等輔助教學軟件幫助學生學習理解有關的數學問題.2練習、習題.3搜集能用向量方法解決的物理背景、幾何背景、實際背景的問題。四、本單元學時建議2.1 向量的線性運算2.1.1 向量的概念 1課時2.1.2向量的加法 1課時2.2.3向量的減法 0.5課時2.1.4 向量數乘 0.5課時2.1.5 向量共線的條件與軸

22、上向量坐標運算 1課時2.2 向量的分解與向量的坐標運算2.2.1 平面向量基本定理 0.5課時2.2.2 向量的正交分解與向量的直角坐標表示 1課時2.2.3 用平面向量坐標表示向量共線條件 0.5課時2.3 平面向量的數量積2.3.1 向量數量積的物理背景與定義 0.5課時2.3.2 向量數量積的運算律 0.5課時2.3.3 向量數量積的坐標運算與度量公式 1課時2.4 向量的應用2.4.1 向量在幾何中的應用 1課時2.4.2 向量在物理中的應用 1課時本章小結 2課時 共計12課時第一學時第四學時 向量的線性運算一、學習目標通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量

23、相等的含義，理解向量的幾何表示通過實例，掌握向量加、減法的運算,并理解其幾何意義.通過實例，掌握數乘向量的運算,并理解其幾何意義,以及兩個向量共線的條件.了解向量的線性運算性質及其幾何意義.二、重點、難點關于向量的概念重點是向量的概念、相等向量的概念、向量的表示;難點是對向量概念的理解.關于向量的線性運算重點是向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則及運算法則的運用, 數乘向量的定義、運算律, 平行向量基本定理; 難點是對向量加法、減法定義的理解, 正確地運用法則、運算律,進行向量的線性運算,理解平面向量的共線條件.三、教學內容安排本節內容主要包括:向量的概念、向量的加法、向量的減法、數乘向

24、量、向量共線的條件與軸上向量坐標運算等五小節內容.四、教學資源建議用幾何畫板等輔助軟件、教育資源網站為學生提供多媒體教學素材及試題等.方案1：練習、習題的選擇以A組題為主，B組題為輔. 方案2：練習、習題的選擇以B組題為主，A組題為輔.引導學生通過網絡等途徑進一步了解向量在幾何、物理以及其他方面的應用，加深對向量工具性功能的認識，擴大知識視野.五、教學方法與學習指導策略建議1在本節教學過程中要利用學生的生活經驗，其他學科的相關知識，創設豐富的問題情景，通過實例使學生了解有關概念的實際背景，使學生了解向量來源于生活并應用于生活。2在定義、法則的教學中，要借助于幾何直觀，通過幾何背景，幫助學生理解

25、向量線性運算的幾何意義。3教學中要注重與數的運算進行類比?？刹扇∫龑Оl現法，通過探究引導學生自己類比數的加法交換律和結合律，通過畫圖驗證的實驗方法理解向量加法的交換律和結合律。第五學時第六學時 向量的分解與向量的坐標運算一、學習目標了解平面向量的基本定理及其意義。掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算。理解用坐標表示的平面向量共線的條件。二、重點、難點本節教學的重點是平面向量的基本定理及應用，同時也是本節的教學難點。三、教學內容安排本節內容主要包括平面向量的基本定理，向量的正交分解與向量的直角坐標運算四、教學資源建議利用幾何畫板理解向量的基本定理及其正交分解

26、方案1：建議“練習”“習題”的選擇以A組題為主，B組題為輔方案2：建議“練習”“習題”的選擇以B組題為主，A組題為輔五、教學方法與學習指導策略建議1作為向量數量化依據的平面向量基本定理，教材是通過具體的例子來說明同一平面內任一向量都可表示為兩個不共線向量的線性組合，這種表示是學生所不熟悉的。教學中應當充分用好具體例子，使學生形成對基本定理的直觀理解，但不要加以證明。在進入平面向量的坐標表示以及平面向量的坐標運算后，可以引導學生通過例題，在解決線段的定比分點、平移、平面上兩點之間的距離等問題的過程中，使學生看到結果與在數學2中得到的一樣，從而進一步體會平面向量基本定理的內涵。平面向量基本定理不作

27、嚴格的證明。2正交分解和向量的應用是新課標中新增內容，相對原來的向量的學習有新的突破，課標中對這部分內容強調重視基礎，不要過多挖掘難度，因此在教學中要注意基礎知識的教學，控制例題、習題的難度。建議教學中采用合作學習法、探究教學法，教師放手讓學生活動，然后作適當的點評。第七學時第八學時 平面向量的數量積一、學習目標通過物理中“功”的實例，理解平面向量的數量積的含義及其物理意義；體會平面向量數量積與向量投影的關系；掌握平面向量數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.二、重點難點重點：平面向量數量積的定義及性質；向量數量積

28、運算律的理解和應用；平面向量數量積的坐標運算與度量公式.難點：對平面向量數量積定義及性質的理解和應用；向量數量積運算律的理解和應用；靈活運用公式解決有關問題.三、教學內容安排 本節內容主要包括向量數量積的物理背景與定義，向量數量積的運算率，向量數量積的坐標運算與度量公式四、教學資源建議教材、教參、課標、多媒體、實物投影、尺規方案1：課后習題以A組題為主，必要時補充B組題（酌情選用）.方案2：課后習題以B組題為主五、 教學方法與學習指導策略建議1.本節利用力做功這一物理問題，過渡到數學的向量問題，引導學生對向量的數量積的定義理解。本節主要學習向量積的概念及相關定義，在教學方法上可以嘗試先由學生自

29、學，而后教師設置一些問題供學生思考，在此基礎上，可以通過講授再現概念，通過練習理解概念，完成教學. 對于向量內積的性質，可以引導學生自己去探索發現。2.本節建議采用“自主、合作、探究”的教學方法，自主探究和講解相結合，利用多媒體輔助教學在教學中，注重學生學習的思維方式，即學生是如何接受知識的要重視知識的形成過程，關注解題方法產生的思維過程，強化學生的應用意識，引導學生探究的解題規律3.關于向量數量積的運算律，建議在上一節課后，讓學生思考這樣一個問題，向量數量積的交換律和分配律是否成立，學生通過課下閱讀課本了解了分配律的證明方法，課上教師答疑，培養了學生閱讀自學的能力通過這個證明過程，使學生體會向量加法在正投影變換下的不變性質，體會如何把二維問題轉化為一維問題來處理對于本小節的兩個例題，例1得出的結論可直接運用，例2是利用向量知識證明幾何問題，這為今后用向量解題的方法作鋪墊4.在教學中，通過向量數量積的數與形兩種表示的相互轉化使學生進一步體會數形結合思想，增強向量法與坐標法處理向量問題的意識，使學生轉化、化歸的思想得到提升，提高學生的運算能力和解決實際問題的能力在例題的教學中，要重視引導學生分析解題思路，總結解題規律第九學時第十學時 向量的應用一、 學習目標經歷用向量方法解決某些簡單的幾何問題、物理問題的過程，