1、第四節 平板應力分析3.4 平板應力分析 概述 圓平板對稱彎曲微分方程 圓平板中的應力 承受對稱載荷時環板中的應力 概述1、應用：平封頭：常壓容器、高壓容器；貯槽底板：可以是各種形狀；換熱器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盤：圓平板、帶加強筋的圓平板；反應器觸媒床支承板等。2、平板的幾何特征及平板分類幾何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。分 類：厚板與薄板、大撓度板和小撓度板。圖2-28 薄板t/b1/5時 (薄板)w/t1/5時（小撓度）按小撓度薄板計算3、載荷與內力 載荷：平面載荷：作用于板中面內的載荷橫向載荷垂直于板中面的載荷復合載荷內力：薄膜力中面內的拉、壓力和面內剪力，并產生面

2、內變形彎曲內力彎矩、扭矩和橫向剪力，且產生彎扭變形當變形很大時，面內載荷也會產生彎曲內力，而彎曲載荷也會產生面內力，所以，大撓度分析要比小撓度分析復雜的多。本書僅討論彈性薄板的小撓度理論。4、彈性薄板的小撓度理論基本假設-克?；舴騅irchhoff 板彎曲時其中面保持中性，即板中面內各點無伸縮和剪切變形，只有沿中面法線的撓度。只有橫向力載荷變形前位于中面法線上的各點，變形后仍位于彈性曲面的同一法線上，且法線上各點間的距離不變。類同于梁的平面假設:變形前原為平面的梁的橫截面變形后仍保持為平面，且仍然垂直于變形后的梁軸線。平行于中面的各層材料互不擠壓，即板內垂直于板面的正應力較小，可忽略不計。研究

3、: 彈性,薄板 / 受橫向載荷 / 小撓度理論 / 近似雙向彎曲問題 圓平板對稱彎曲微分方程分析模型分析模型：半徑R，厚度t的圓平板受軸對稱載荷Pz，在r、z圓柱坐標系中，內力Mr、M、Qr 三個內力分量軸對稱性：幾何對稱，載荷對稱，約束對稱，在r、z圓柱坐標系中，撓度只是 r 的函數，而與無關。求解思路：經一系列推導（基于平衡、幾何、物理方程）彎曲撓度微分方程（）求求內力求應力微元體：用半徑為r和r+dr的圓柱面和夾角為d的兩個徑向截面截取板上一微元體。微元體內力 ：徑向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr周向：M、 M橫向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr微元體外力 ：上表面1、平衡方程

4、微體內力與外力對圓柱面切線T的力矩代數和為零，即MT=0 （2-54）（圓平板在軸對稱載荷下的平衡方程）2、幾何協調方程(W)取，徑向截面上與中面相距為z，半徑為r與兩點A與B構成的微段板變形后：微段的徑向應變為 （第2假設）過A點的周向應變為（第1假設）作為小撓度，帶入以上兩式，得應變與撓度關系的幾何方程： （2-55）3、物理方程根據第3個假設，圓平板彎曲后，其上任意一點均處于兩向應力狀態。由廣義虎克定律可得圓板物理方程為： （2-56）4、圓平板軸對稱彎曲的小撓度微分方程(2-55)代入(2-56)式： （2-57）通過圓板截面上彎矩與應力的關系，將彎矩和表示成的形式。由式（2-57）可

5、見，和沿著厚度(即z方向)均為線性分布，圖2-31中所示為徑向應力的分布圖。圖2-31 圓平板內的應力與內力之間的關系、的線性分布力系便組成彎矩、。單位長度上的徑向彎矩為： （2-58a）同理 （2-58b）參照38頁殼體的抗彎剛度，“抗彎剛度”與圓板的幾何尺寸及材料性能有關(2-58)代入(2-57)，得彎矩和應力的關系式為： （2-59）(2-58)代入平衡方程(2-54)，得：即：受軸對稱橫向載荷圓形薄板小撓度彎曲微分方程： （2-60）Qr值可依不同載荷情況用靜力法求得 圓平板中的應力（圓平板軸對稱彎曲的小撓度微分方程的應用）承受均布載荷時圓平板中的應力：簡支固支承受集中載荷時圓平板中

6、的應力圖2-32均布載荷作用時圓板內Qr的確定一、承受均布載荷時圓平板中的應力據圖2-32，可確定作用在半徑為r的圓柱截面上的剪力，即：代入2-60式中，得均布載荷作用下圓平板彎曲微分方程為：對r連續兩次積分得到撓曲面在半徑方向的斜率： （2-61）對r連續三次積分，得到中面在彎曲后的撓度。 （2-62）C1、C2、C3均為積分常數。對于圓平板在板中心處（r=0）撓曲面之斜率與撓度均為有限值，因而要求積分常數C2 0 ，于是上述方程改寫為： （2-63）式中C1、C3由邊界條件確定。下面討論兩種典型支承情況(兩種邊界條件)周邊固支圓平板周邊簡支圓平板周邊固支圓平板 周邊簡支圓平板圖2-33 承

7、受均布橫向載荷的圓板1、周邊固支圓平板：（在支承處不允許有撓度和轉角）周邊固支圓平板將上述邊界條件代入式（2-63），解得積分常數：代入式（2-63）得周邊固支平板的斜率和撓度方程： （2-64）將撓度w對r的一階導數和二階導數代入式（2-58），便得固支條件下的周邊固支圓平板彎矩表達式： （2-65）由此（代入2-59）彎曲應力計算試，可得r處上、下板面的應力表達式： （2-66）周邊固支圓平板下表面的應力分布，如圖2-34(a)所示。 圖2-34 圓板的彎曲應力分布（板下表面）最大應力在板邊緣上下表面，即2、周邊簡支圓平板將上述邊界條件代入式（2-63），解得積分常數C1、C3：代入式（2

8、-63）得周邊簡支平板的撓度方程： （2-67）周邊簡支圓平板彎矩表達式： （2-68）應力表達式： （2-69）可以看出，最大彎矩和相應的最大應力均在板中心處，周邊簡支板下表面的應力分布曲線見圖2-34(b)。圖2-34 圓板的彎曲應力分布（板下表面）3、比較兩種支承a. 邊界條件周邊固支時:周邊簡支時:b. 撓度周邊固支時，最大撓度在板中心 （2-70）周邊簡支時，最大撓度在板中心 （2-71）表明: 周邊簡支板的最大撓度遠大于周邊固支板的撓度。c. 應力周邊固支圓平板中的最大正應力為支承處的徑向應力，其值為 （2-72）周邊簡支圓平板中的最大正應力為板中心處的徑向應力，其值為 （2-73

9、）表明: 周邊簡支板的最大正應力大于周邊固支板的應力。內力引起的切應力：在均布載荷p作用下，圓板柱面上的最大剪力（處），近似采用矩形截面梁中最大切應力公式，得到最大正應力與同一量級；最大切應力則與同一量級。因而對于薄板R>>t，板內的正應力遠比切應力大。從以上可以看出：與圓平板的材料（E、）、半徑、厚度有關。若構成板的材料和載荷已確定，則減小半徑或增加厚度都可減小撓度和降低最大正應力。工程中較多的是采用改變其周邊支承結構，使它更趨近于固支條件增加圓平板厚度或用正交柵格、圓環肋加固平板等方法來提高平板的強度與剛度4、結論a. 板內為二向應力狀態：且為彎曲應力，平行于中面各層相互之間的

10、正應力及剪力引起的切應力均可予以忽略。b. 應力分布: 沿厚度呈線性分布 , 且最大值在板的上下表面。沿半徑呈拋物線分布,且與周邊支承方式有關。工程實際中的圓板周邊支承是介于兩者之間的形式。c. 強度: 簡支 固支 d. 剛度: 周邊固支的圓平板在剛度和強度兩方面均優于周邊簡支圓平板e. 薄板結構的最大彎曲應力與成正比，而薄殼的最大拉( 壓)應力 與成正比。故在相同條件下，薄板所需厚度比薄殼大。二、承受集中載荷時圓平板中的應力撓度微分方程式（2-60）中，剪力可由圖2-35中的平衡條件確定：采用與求解均布載荷圓平板應力相同的方法，可求得周邊固支與周邊簡支圓板的撓度和彎矩方程及計算其應力值圖2-35 圓板中心承受集中載荷時板中的剪力Qr 承受軸對稱載荷時環板中的應力通常的環板仍主要受彎曲，仍可利用上述圓板的基本方程求解環板的應力、應變，只是在內孔邊緣上增加了一個邊界條件。當環板內半徑和外半徑比較接近時，環板可簡化為圓環。圓環在沿其中心線（通過形心）均布力矩M作用下，矩形截面只產生微小的轉角 而無其它變形，從而在圓環上產生周向應力。這類問題雖然