1、 數學建模與數學實驗課程設計學 院數理學院專業數學與應用數學班級 學號學生姓名指導教師2015年6月湖水的自我凈化問題摘要問題：本題是一容積為V的大湖受到某種物質污染，從某時刻起污染源被切斷，湖水開始更新，更新速率為r，建立求污染物濃度下降至原來的5%需要多長時間的數學模型問題。模型：解決本問題需要用到微元法建模。方法：假設在很小的時間內流出的湖水污染物濃度不變，然后利用湖水中污染物的變化量等于流出湖水的污染量建立等式關系，對該等式求導后得出一個微分方程，利用Matlab中dsolve函數解該微分方程。結果：求得污染物濃度下降至原來的5%所需時間為398.3天。一.問題重述1）背景資料與條件設

2、一個容積為V（m3）的大湖受到某種物質的污染，污染物均勻的分布在湖中。若從某時刻起污染源被切斷，設湖水更新的速率是r（m3/天）。試建立求污染物濃度下降至原來的5%需要多長時間的數學模型。2）需要解決的問題 美國密西根湖的容積為4871´109（m3），湖水的流量為3.663 959 132´1010（m3/天），求污染中止后，污染物濃度下降到原來的5%所需要的時間。二模型假設1）假設一：湖水體積V保持不變。2）假設二：污染物始終均勻分布在湖中。3）假設三：在很小的時間內污染物濃度不變。三分析與建立模型1）符號說明w(t):t時刻湖水中污染物的濃度。w(0):表示初始時刻湖

3、水中的污染物濃度。t :表示污染源切斷后湖水更新的時間（單位：天）。2）分析2.1假設的合理性分析 如果湖水體積變化，那么題目就沒法做了，因此這個假設是必要的且是合理的。污染物始終均勻的分布在湖中，題目條件中已給出，所以此假設合理可靠。在很小的時間內污染物濃度不變，這是利用微元法的思想，故假設的合理性毋庸置疑。2.2模型的誤差分析 本模型的誤差主要在數字的處理上，即保留幾位的問題上，也就是說存在舍入誤差，本題在最后結果中保留了一位小數。3）建立模型 從開始到t天內湖水污染物含量的變化為:Vw(0)-Vw(t)t天內湖水更新流出的污染物量為：利用湖水污染物含量變化=湖水更新流出的污染物量得：等式

4、兩邊求導得：變換可得：然后利用Matlab中dsolve函數求解微分方程，由w(t)=5%w(0)求得時間t。四模型求解由對求導后得,再利用Matlab中dsolve函數求解此微分方程，Matlab運行后得，在Matlab中編寫程序求解，代入條件求得結果，對湖水的自我凈化過程作圖（如圖）（程序見附錄）。五模型檢驗由于實際數據不好求得，所以用模型計算求得的數據不好與實際數據進行比對，故也就計算不了誤差大小。但本模型對所取得數據精度不同，產生的結果也就不同。根據模型的分析得本模型誤差產生的原因主要是數據精度，其它因素影響很小，在本題中我所取的精度所得出的結果產生的誤差在模型估計和實際許可的范圍之內

5、。六模型推廣由于我的模型利用的是微分方程，又微分方程常用于動態分析，可以用于解決動態分析問題，所以我的模型可以應用的場合非常多。除了適用于本題湖水的自我凈化問題這樣的問題外，我還可以用到其它的模型中（如容器漏水模型等）?？偠灾?，只要是涉及到動態分析的問題都可以引用本模型解決，所以本模型的應用很廣泛也很有用。進一步說數學并不是枯燥無味的也不是簡簡單單的數字而已，數學可以通過數學建模解決很多實際生活和生產問題。七參考文獻1）趙靜,但琦.數學建模與數學實驗（第四版）.北京：高等教育出版社，2014.2）徐金明，張孟喜.Matlab實用教程.北京：清華大學出版社，2008.3）井淼兒，湖水的自我凈化問題-數學建模（百度文庫），2015-6-19。附錄Untitled1.mw=dsolve('Dw= -r*w/V' ,'t')Untitled2.mr=3.663959132*1010;V=4.871*1012;t=-V*log(0.05)/rUntitled3.mr=3.663959132*1010;V=4.871*1012;w=1;t=0: