1、http:/mooker.80.hk.1第二節第二節 二重積分的計算法二重積分的計算法計算二重積分的方法計算二重積分的方法:二重積分二重積分累次累次積分積分(即即兩次兩次定積分定積分).http:/mooker.80.hk.2 在直角坐標系下用平在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃行于坐標軸的直線網來劃分區域分區域D，( , )d( , )d dDDf x yf x yx y dd dx y 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo則面積元素為則面積元素為一、利用直角坐標系計算二重積分一、利用直角坐標系計算二重積分http:/mooker.80.hk.3(2)如果積分區域為：如果積分區域為：

2、其中函數其中函數 、 在區間在區間 上連續上連續.)(1x )(2x ,baX型型b)(2xy )(1xy aDxOyxOy)(1xy )(2xy Dba, bxa ).()(21xyx http:/mooker.80.hk.4回憶回憶：平行截面面積為已知的立體的體積：平行截面面積為已知的立體的體積xoxdxx ab)(xA表表示示過過點點x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的的已已知知連連續續函函數數d( )dVA xx ( )dbaVA x x 立體體積立體體積)( xA此方法關鍵是求此方法關鍵是求http:/mooker.80.hk.5的的值值等等于于)0),(d

3、),( yxfyxfD 計算截面面積計算截面面積),(yxfz ( 紅色部分即紅色部分即A(x0) )以以D為底為底,以曲面以曲面為頂的曲頂柱體的體積為頂的曲頂柱體的體積.應用計算應用計算“平平行截面面積為行截面面積為已知的立體求已知的立體求體積體積”的方法的方法.用二重積分的幾何意義說明其計算法用二重積分的幾何意義說明其計算法:是區間是區間)(),(0201xx 為曲邊的曲邊梯形為曲邊的曲邊梯形.),(0yxfz 為底為底,曲線曲線 xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xAab0 x)(1xy http:/mooker.80.hk.6xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 x

4、Aab0 x)(1xy yzO)(01x )(02x ),(0yxfz A(x0)(01x )(02x yyxfxAd),()(00 yyxfxAxxd),()()()(21 DyxfV d),( baxxAd)(xbad )d),()()(21 xxyyxf baxxyyxfx)()(21d),(d 先對先對y后對后對x的二次積分的二次積分(累次累次積分積分) )http:/mooker.80.hk.7(2) 積分區域積分區域為：為：,dyc )()(21yxy Dyxf d),(先對先對x后對后對y的二次積分的二次積分也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d Dyxf d),(其

5、中函數其中函數 、)(1y )(2y ,dc在區間在區間 上連續上連續.D)(2yx cd)(1yx xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),( xyxf)(1y )(2y Y型型http:/mooker.80.hk.81.當當D既不是既不是X-型區域也不是型區域也不是Y-型區域時型區域時,將將D分成幾部分，使每部分是分成幾部分，使每部分是X-型區域或型區域或是是Y-型區域型區域.2.當當D既是既是X-型區域也是型區域也是Y-型區域時型區域時,可以可以用兩個公式進行計算用兩個公式進行計算.yx0yx0cdabDhttp:/mooker.80.hk.9特殊地特殊地 Dbadcy

6、yxfxyxfd),(dd),( )()(),(21yfxfyxf 若若 yxyfxfDdd)()(21即等于兩個定積分的乘積即等于兩個定積分的乘積.D為矩形域為矩形域:則則則則axb,cyd baxxfd)(1yyfdcd)(2 yyfxfdcd)()(21 xd) ba( dcbaxyxfyd),(dhttp:/mooker.80.hk.10二重積分是二重積分是化為化為兩次定積分兩次定積分來計算的，來計算的，關鍵關鍵是確定積分限是確定積分限.定限要注意的問題：定限要注意的問題：1.上限上限下限下限.2.內層積分的上，下限應為外層積分變量的函數內層積分的上，下限應為外層積分變量的函數.3.外

7、層積分上，下限應為常數外層積分上，下限應為常數(后積先定限后積先定限).4.4.二重積分的結果應為常數二重積分的結果應為常數. .http:/mooker.80.hk.11例例 計算計算dDxy 其中其中D是由直線是由直線y=1,x=2及及y=x所圍成的閉區域所圍成的閉區域.解法解法1 1： 先先y后后x 211dd dxDxyxy yx 2211d2xyxx 2342211d2284xxxxx xyx012y=xy=1x=221 xxy 189 http:/mooker.80.hk.12解法解法2 2： 先先x后后y221dd dyDxyxy xy 2221d2yxyy 23422112d2

8、8yyyyy yx012y=xx=2 y21 y2 xy89 http:/mooker.80.hk.13解解23d d ,.xDex y Dyxyx 是是第第一一象象限限中中由由直直線線和和圍圍成成區區域域例例 計算計算),1 , 1( ,)0 , 0(3 xyxy3xy xy (1,1) xyxxDX310:2d dxDex y 22130()dxxxex ex 2310dxxxyex . 121 e2310ddxxxxeyhttp:/mooker.80.hk.14選取積分次序選取積分次序, , 不僅要看區域的特點不僅要看區域的特點, ,而且要看被積函數而且要看被積函數的特點的特點. .凡遇

9、如下形式積分凡遇如下形式積分: :等等等等, ,一定要放在一定要放在后面積分后面積分. .,dsinxxx ,dsin2xx ,dcos2xx ,d2xex ,d2xex ,lnd xx,dxexy http:/mooker.80.hk.15xy 1解解積分區域如圖積分區域如圖 yxyDY1010:例例 改變積分改變積分 1100d( , )dxxf x yy 的次序的次序.http:/mooker.80.hk.16例例交換積分次序：交換積分次序： axxaxayyxfx22202d),(d)0( a解解axy2 22xaxy 22yaax xyOaa2aa2ayx22 原式原式= xyxfd

10、),( yday22xyxfd),( 22yaa 0aa222yaa yd0a xyxfd),( yda2ay22a2ahttp:/mooker.80.hk.17例例 交換積分次序：交換積分次序：解解 積分區域積分區域: xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式= 10dyy 2 xyxfd),(211y 22xxy xy 2xyO12yx 2211yx http:/mooker.80.hk.18例例 求證求證 axaxxfxayyfx000d)()(d)(d 左邊的累次積分中左邊的累次積分中,提示提示 xayyfx00d)(d ayaxyfyd)(d0 ayy

11、fya0d)()( axxfxa0d)()(不能直接計算，不能直接計算，)(yf是是y的抽象函數的抽象函數,)0( a,0ay axy aayyxyf0d)(證畢證畢.要先交換積分次序要先交換積分次序. .axyOa),(aa 證明證明http:/mooker.80.hk.19例例 求兩個底圓半徑為求兩個底圓半徑為R,且這兩個圓柱面的方程分且這兩個圓柱面的方程分別為別為 及及222Ryx .222Rzx 解解 d D332R 313168RVV d),(1 DyxfV22xRy 求所圍成的求所圍成的立體的體積立體的體積.xoyzoxyDR22xR yxRd22 22xR 0 xd0R22xRz

12、 曲曲頂頂http:/mooker.80.hk.20解解曲面圍成的立體如圖曲面圍成的立體如圖., yxz ,xyz , 1 yx, 0 x. 0 y例例 求由下列曲面所圍成的立體體積，求由下列曲面所圍成的立體體積，http:/mooker.80.hk.21, 10 yx,xyyx 1100d()dxxxyxyy 1301 (1)(1) d2xxxx .247 所所圍圍立立體體在在xoy面面上上的的投投影影是是1 yxxoy22http:/mooker.80.hk.22例例. 10 , 10:)(,|2 yxdxyI為為其其中中計計算算積積分分 解解oxy112xy )(1 )(2 I12()d

13、yx 22()dxy 101154 .3011 http:/mooker.80.hk.23補充補充輪換輪換對稱性結論對稱性結論: :若若D關于關于x,y滿足輪換對稱性滿足輪換對稱性(將將D的邊界的邊界曲線方程中的曲線方程中的x與與y交換位置交換位置,方程不變方程不變),則則( , )d d( , )d d .DDf x yx yf y xx y http:/mooker.80.hk.2411證證yxyxybxaIDdd)()()()( 設設的的對對稱稱性性得得由由區區域域關關于于直直線線xy yxxyxbyaIDdd)()()()( 所以所以, DyxbaIdd)(2)(21baI ,1 ,

14、0)(上上的的正正值值連連續續函函數數為為設設x )(21dd)()()()(bayxyxybxaD 證證明明：為常數，為常數，其中其中ba, 例例xy ba xyO 1,0),( yxyxDhttp:/mooker.80.hk.25二重積分在直角坐標下的計算公式二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）小結小結21()()( , )dd( , )d .bxaxDf x yxf x yy 21()()( , )dd( , )d .dycyDf x yyf x yx Y型型X型型（1）化二重積分為二次積分；）化二重積分為二次積分；（2）交換積分次序；）交換積分次序；題型題型http:/mooker.80.hk.26作業作業習題習題8-2(1)8-2(1) (77(77頁頁) )3.(1) (3)(4) 4. 5.6.(1) (2) 7.(2)(3)http:/mooker.80.hk.271130(1)d1dyyxx 計算計算( (學生練習學生練習）sin(2)d