1、精選優質文檔-傾情為你奉上三垂線定理的證明及應用教案教學目的使學生掌握三垂線定理及其應用，同時培養學生觀察、猜想和論證能力教學過程一、復習和新課引入師：我們已經學習過直線與平面的垂直關系，請大家回答幾個問題：(1)直線與平面垂直的定義(2)直線與平面垂直的判定定理(3)何謂平面的斜線、斜線在平面上的射影生：略師：(板書)設斜線l=O，作出l在平面上的射影(師生共同完成圖1學生敘述畫法，教師畫圖，再次深化概念)平面的垂線、斜線及斜線在平面上的射影是三垂線定理的基礎，引導學生溫故而知新是十分必要的二、猜想與發現師：根據直線和平面垂直的定義，我們知道，平面內的任意一條直線都和平面的垂線垂直現在我們想

2、一想，平面內的任意一條直線是否也都和平面的一條斜線垂直呢？(演示教具：用兩根鐵絲在桌面上演示，學生容易看出平面內的任意一條直線，并不一定和平面的一條斜線垂直)師：那么，是否平面內的所有直線都不和平面的一條斜線垂直呢？演示教具：如圖2，設直線l(鐵絲)和平面(桌面)斜交，使直線m(鐵絲)和l垂直，把直線m沿直線l平行移動到平面內的n的位置，此時學生發現平面內有直線與平面的斜線垂直師：如果我們把鐵絲m在平面內平行移動，使其到不同的位置(直線)，那么，這些直線與鐵絲l垂直嗎？學生根據“兩條異面直線所成的角”的原理也很快判定這些直線與l(鐵絲)垂直師：平面內一條直線具備什么條件，才能和平面的一條斜線垂

3、直呢？即怎樣判定平面內的直線與平面的一條斜線垂直呢？指導學生用三角板和鉛筆在桌面上搭成模型(如圖3)，使鉛筆與三角板的斜邊垂直，引導學生觀察猜想發現規律經過實驗，發現鉛筆和三角板在平面內的直角邊垂直時便與斜邊垂直師：(啟發)如何歸結為數學問題呢？(學生們恍然大悟，終于發現了，平面內的一條直線如果和平面的斜線的射影垂直就和平面的斜線垂直)師：實驗得出的結果是否正確還得進行證明引入新課是課堂教學的重要環節新課引入得好，這節課就成功了一半，教師根據教與學的實際，提出問題，創設情境，引導學生觀察、猜想，發現新知識，從而調動了學生的積極性，培養了學生的探索能力，體現了教師為主導、學生為主體的教學思想三、

4、證明師：現在我們把由實驗發現的結論表達成命題的形式(學生敘述，教師板書)已知：如圖4，PA、PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面上求證：aPO師：這是證明兩條直線互相垂直的問題在立體幾何中怎樣證明兩條直線互相垂直呢？(學生思考、議論，教師歸納)師：常用的方法是證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面現在要證明a平面PAO呢？只要證明a平面PAO內的兩條相交直線即可證明 (師生共同完成)師：這個命題的證明，體現了“由線面垂直證線線垂直”的方法這個方法很重要，大家要給以足夠的重視上述命題反映了平面內的一條直線、平面的斜線和斜線在這個平面內的射影這三者之間的垂直關系這就是有名的三垂線定理下面請

5、大家根據已知條件和結論，把三垂線定理完整地表達出來(學生敘述，教師板書)三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直這樣由具體到抽象地研究問題，能夠培養學生的概括能力從“猜想”到“證明”是質的升華！是學習數學必須具備的重要素質，引導學生證明猜想結果，總結定理，比直接給出定理記得牢，理解得深刻，又能培養學生的能力四、剖析定理師：(逐字逐句地閱讀定理，同時圈點重要字眼，并提出下面幾個問題讓學生討論)(1)本定理的證明過程是對水平位置的平面而進行的那么定理對其他位置的平面是否成立？并說明理由(2)直線a是平面內垂直于AO的任意一條直線，a和斜線PO的位置

6、關系有幾種？反映三垂線定理的圖形有幾種可能的情況？并畫出圖形(學生分組討論，教師巡回指導，適時點撥，解答疑難，啟發誘導，掌握討論情況，然后教師總結)師：(1)三垂線定理對任意位置的平面都成立因為定理中并沒有水平平面的限制定理的實質是研究平面內的一條直線與這個平面的斜線及斜線在這個平面內的射影三者的垂直關系，與平面的位置無關(2)因為a是平面內的任意一條直線，所以a與斜線PO的位置關系有兩種情況：一是不過斜足O的異面垂直；一是過斜足O的相交垂直反映三垂線定理的圖形有四種情況(如圖5)以上四種情況的圖形在證題時都是經常遇到的，應該靈活運用三垂線定理a不過斜足O時的情況容易被忽略，這是證題時確定三垂

7、直關系的一個難點，應當給以足夠的重視剖析定理是幾何教學中的一個重要環節通過剖析，可以加深對定理的理解，為應用定理奠定基礎，這是提高教學質量的重要措施五、定理的應用定理的應用是學習定理的重要環節它既能鞏固所學知識又能培養能力師：請同學們證明下題：已知：如圖6，O是ABC的垂心，PO平面 ABC，連結PA求證：BCPA(學生思考后，教師分析)ABC，所以，要證明BCPA，只要證明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可那么，怎樣確定PA的射影呢？請大家把證明過程寫在練習本上(同時指定一學生上黑板板演)生：(板演)因為PO、PA是平面的垂線和斜線，連結AO且延長交BC于D(圖7)，則AO是PA在平面AB

8、C上的射影又O是ABC的垂心，所以ADBC，由三垂線定理可得 BCPA師：請談談證明的思路生：先找出平面的垂線、斜線以及這條斜線在平面上的射影，師：他回答完整嗎，生：應先確定一個平面及平面內的一條直線師：這點補充得好！三垂線定理是證明空間兩條直線互相垂直的重要方法應用三垂線定理的思維過程是：“一定”定平面及平面內的一條直線；“二找”找這個平面的垂線、斜線及斜線在這個平面上的射影；“三證”證明平面內的一條直線與射影垂直在復雜圖形中應用三垂線定理時，需要先確定反映三垂線定理的基本圖形，然后才能著手證明，因而掌握三垂線的證題步驟是十分必要的師：我們來研究第二道題(板書)已知：正方體ABCDA1B1C

9、1D1求證：(1)A1CBC1；(2)A1C平面C1DB先考慮A1CBC1如何證明？(在此指導下，學生們通過認真觀察，獨立思考，確定平面BCC1B1及平面內的一條直線BC1，A1B1是平面BCC1B1的垂線，A1C是斜線，從而找到了反映三垂線定理的基本圖形連結B1C，用三垂線定理證明A1CBC1)證明略師：把第(1)小題作為條件證明第(2)小題，只需再證A1CBD就可以了學生連結AC，順利地證明了A1CBD，第(2)小題的證明就水到渠成了證明過程是：師：在數學證明中，相同的證明方法可用“同理可證”代替推理過程但必須注意推理的嚴密性例如，上面的證明過程中，要防止漏掉 BC1DB=B(證明時，有些

10、同學漏掉了這一點，經教師指導才改正，“同理”的運用也是如此)講定理的應用時，關鍵是選好例題這兩道題的安排是由易到難，第一道題是直接應用定理，第二道題難度增大，要求學生在復雜的圖形中通過觀察和分析確定反映三垂線定理的基本圖形，再應用定理，以培養學生靈活應用定理的能力六、小結(師生共同進行)(1)本節課的教學可概括為四個字：猜、證、剖、用，即猜想平面內的直線與平面的斜線垂直的特征；證明三垂線定理；剖析定理的內容；應用定理證題(2)敘述三垂線定理的內容，定理的證明方法是證明空間兩條直線互相垂直的基本方法，稱為線面垂直法(3)此定理是空間兩條直線垂直的判定定理，與平面的位置無關運用定理的步驟是：“一定、二找、三證明”七、課外作業課本習題：略補充題：寫出三垂線定理的逆定理，并加以證明課后扎記學生們反映這樣講定理好，記得牢，理解得深刻不僅學習了