1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 空間向量專題練習一、填空題(本大題共4小題，共20.0分)1.平面的法向量為（1，0，-1），平面的法向量為（0，-1，1），則平面與平面所成二面角的大小為 _ 【答案】 3或23 【解析】 解：設平面的法向量為m=（1，0，-1），平面的法向量為n=（0，-1，1）， 則cosm，n=10+0(1)+(1)122=-12， m，n=23 平面與平面所成的角與m，n相等或互補， 與所成的角為3或23 故答案為：3或23 利用法向量的夾角與二面角的關系即可得出 本題考查了利用用法向量的夾角求二面角的方法，考查了計算能力，屬于基礎題 2.平面經(jīng)過三點

2、A（-1，0，1），B（1，1，2），C（2，-1，0），則平面的法向量u可以是 _ （寫出一個即可）【答案】 （0，1，-1） 【解析】 解：AB=（2，1，1），AC=（3，-1，-1）， 設平面的法向量u=（x，y，z）， 則uAB=2x+y+z=0uAC=3xyz=0，令z=-1，y=1，x=0 u=（0，1，-1） 故答案為：（0，1，-1） 設平面的法向量u=（x，y，z），則uAB=2x+y+z=0uAC=3xyz=0，解出即可 本題考查了線面垂直與數(shù)量積的關系、平面的法向量，屬于基礎題 3.已知AB=（1，0，2），AC=（2，1，1），則平面ABC的一個法向量為 _ 【答案】

3、 （-2，3，1） 【解析】 解：AB=（1，0，2），AC=（2，1，1）， 設平面ABC的法向量為n=（x，y，z）， 則nAB=0nAC=0，即x+2z=02x+y+z=0，取x=-2，則z=1，y=3 n=（-2，3，1） 故答案為：（-2，3，1） 設平面ABC的法向量為n=（x，y，z），則nAB=0nAC=0，解出即可 本題考查了平面的法向量、線面垂直與數(shù)量積的關系，屬于基礎題 4.在三角形ABC中，A（1，-2，-1），B（0，-3，1），C（2，-2，1），若向量n與平面ABC垂直，且|n|=21，則n的坐標為 _ 【答案】 （2，-4，-1）或（-2，4，1） 【解析】 解

4、：設平面ABC的法向量為m=（x，y，z）， 則mAB=0，且mAC=0， AB=（-1，-1，2），AC=（1，0，2）， xy+2z=0x+2z=0， 即x=2zy=4z， 令z=1，則x=-2，y=4， 即m=（-2，4，1）， 若向量n與平面ABC垂直， 向量nm， 設n=m=（-2，4，）， |n|=21， 21|=21， 即|=1， 解得=1， n的坐標為（2，-4，-1）或（-2，4，1）， 故答案為：（2，-4，-1）或（-2，4，1） 根據(jù)條件求出平面的法向量，結合向量的長度公式即可得到結論 本題主要考查空間向量坐標的計算，根據(jù)直線和平面垂直求出平面的法向量是解決本題的關鍵

5、二、解答題(本大題共3小題，共36.0分)5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，BAD=60，Q為AD的中點 （1）若PA=PD，求證：平面PQB平面PAD； （2）點M在線段PC上，PM=13PC，若平面PAD平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小 【答案】 解：（1）證明：由題意知：PQAD，BQAD，PQBQ=Q， AD平面PQB， 又AD平面PAD， 平面PQB平面PAD （2）PA=PD=AD，Q為AD的中點， PQAD， 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD， 以Q這坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，

6、y，z軸， 建立如圖所求的空間直角坐標系， 由題意知：Q（0，0，0），A（1，0，0）， P（0，0，3），B（0，3，0），C（-2，3，0） QM=23QP+13QC=（-23，33，233）， 設n1是平面MBQ的一個法向量，則n1QM=0，n1QB=0， 3y=023x+33y+233z=0，n1=(3，0，1)， 又n2=(0，0，1)平面BQC的一個法向量， cosn1，n2=12， 二面角M-BQ-C的大小是60 【解析】 （1）由題設條件推導出PQAD，BQAD，從而得到AD平面PQB，由此能夠證明平面PQB平面PAD （2）以Q這坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z

7、軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小 本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用 6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PD=DC=2，點E是PC的中點，F(xiàn)在直線PA上 （1）若EFPA，求PFPA的值； （2）求二面角P-BD-E的大小 【答案】 解：（1）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD， 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系， PD=DC=2，點E是PC的中點，F(xiàn)在直線PA上， P（0，0，2），A（2，0，

8、0），C（0，2，0），E（0，1，1）， 設F（a，0，c），PF=PA，則（a，0，c-2）=（2，0，-2）=（2，0，-2）， a=2，c=2-2，F(xiàn)（2，0，2-2）， EF=（2，-1，1-2），PA=（2，0，-2）， EFPA，EFPA=4-2+4=0，解得=14， PFPA=14 （2）P（0，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1）， DP=（0，0，2），DB=（2，2，0），DE=（0，1，1）， 設平面BDP的法向量n=（x，y，z）， 則nDB=2x+2y=0nDP=2z=0，取x=1，得n=（1，-1，0）， 設平面BDE的法向量m=（x，y

9、，z）， 則mDB=2x+2y=0mDE=y+z=0，取x=1，得m=（1，-1，1）， 設二面角P-BD-E的大小為， 則cos=|mn|m|n|=223=63 二面角P-BD-E的大小為arccos63 【解析】 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PFPA的值 （2）求出平面BDP的法向量和設平面BDE的法向量，由此能求出二面角P-BD-E的大小 本題考查線段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用 7.如圖所示的幾何體是由棱臺ABC-A1B1C1和棱錐D-AA1C1C拼接而成的組合體，其底

10、面四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且BAD=60，BB1平面ABCD，BB1=2A1B1=2 （）求證：平面AB1C平面BB1D； （）求二面角A1-BD-C1的余弦值 【答案】 （）證明：BB1平面ABCD，BB1AC， ABCD是菱形，BDAC， 又BDBB1=B，AC平面BB1D， AC平面AB1C，平面AB1C平面BB1D； （）設BD、AC交于點O，以O為坐標原點，以OA為x軸，以OD為y軸，建立如圖所示空間直角坐標系 則B(0，1，0)，D(0，1，0)，B1(0，1，2)，A(3，0，0)，A1(32，12，2)，C1(32，12，2)， BA1=(32，12，2)，BD=(0，2，0)，BC1=(32，12，2) 設平面A1BD的法向量n=(x，y，z)， 由nBA1=32x+12y+2z=0nBD=2y=0，取z=3，得n=(4，0，3)， 設平面DCF的法向量m=(x，y，z)， 由mBD=2y=0mBC1=32x+12y+2=0，取z=3，得m=(4，0，3) 設二面角A1-BD-C1為， 則cos=|mn|m|n|=1319 【解析】 （）由BB1平面ABCD，得BB1AC，再由ABCD是菱形，得BDAC，由線面垂直的判定可得AC平面BB1D，進一步得到平面AB1C