1、WORD格式數與式的運算一、乘法公式我們在初中已經學習過了以下一些乘法公式： 平方差公式(ab)(ab)a2b2； 完全平方公式(ab)2a22abb2我們還可以通過證明得到以下一些乘法公式： 立方和公式(ab)(a2abb2 )a3b3； 立方差公式(ab)( a2abb2 )a3b3； 三數和平方公式(abc)2a2b2c22(abbcac) ； 兩數和完全立方公式(ab)3a33a2b 3ab2b3； 兩數差完全立方公式(ab)3a33a2b3ab2b3【例 1】計算：(7x)(497x x2 ) (1a)(1a)(a 2a1)( a2a1)(3)(abc )(abc)(4)( x2)2

2、y2 ( x2)2y2 答案： 1x334321a6 3acb2ac(4)x42x2 y2y48x28y216例題的設計意圖(1)(2)兩個例子讓學生熟悉立方和與立方差公式3 4利用整體代換思想簡化運算。二、根式式子a (a0) 叫做二次根式，其性質如下：a (a0)(1) (a )2a(a0)(2) a2| a |0 (a0)a (a0)(3)abab( a 0,b0)bb0,b0)(4)( aaa三、分式當分式 A 的分子、分母中至少有一個是分式時，A 就叫做繁分式，繁分式的化簡常用B(1) 利用除法法那么；(2)B以下兩種方法：利用分式的根本性質【例 2】化簡12323 2x1xx1xx

3、專業資料整理WORD格式例題的設計意圖（ 1考察根式的性質（ 2繁分式的化簡，我個人比較傾向解法二，運算速度快（ 1解法一：因為2222323232232323222232323426又23230 ，所以23236解法二：22342332312232131316222222234233231223213131622222故23236解法一：利用到aa2和 a(a )2，先計算原式的平方，然后再開方 2解法一 ：原式xxxxx( x1)x1=(1 x) xxx2x xx2x1 xxxx1x 1x2( x 1)(x 1)x 1xxxxx( x1)x1解法二 ：原式 =(1x)xx(1x)xx2xx

4、xxx1xx211( xxx)x說明 ：解法一的運算方法是從最內部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式，解法二那么是利用分式的根本性質AAm 進展化簡一般根據題目特點綜合使用兩BBm種方法因式分解專業資料整理WORD格式因式分解是代數式的一種重要的恒等變形， 它與整式乘法是相反方向的變形 在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用是一種重要的根本技能。專業資料整理WORD格式因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法( 平方差公式和完全平方公式 )外，還有公式法 (立方和、 立方差公式 )、十字相乘法、 求根法和分組分解法等等。一、公式法 ( 立方和、立方差公式 )

5、【公式1】 a 2b 2c 22ab2bc2ca( ab c) 2【公式2】 a33a2b 3ab2b3(ab)3【公式3】 a33a2b 3ab2b3(ab)3【公式4】 a3b3(ab)(a2abb2 )【公式5】 a3b3(ab)( a2abb2 )【例 1】把以下各式分解因式： 8x3 27 y3； 4( x y)31 ( x y)3；2 8x336x2 y54xy227 y3=； x7xy6；【答案】 1(2 x 3 y)(4 x26xy9 y2 )21( x 3y)(7 x26xy3 y2 )23 3(2x3y)34x( x y)( x2xyy2 )( xy)( x2xyy2 )二

6、、十字相乘法一 般 二 次 三 項 式 ax 2bx c 型 的 因 式 分 解。大 家 知 道 ，(a1 xc1 )(a2 xc2 )a1a2 x2( a1c2a2c1 ) xc1 c2反過來，就得到：a1a2 x2(a1 c2a2 c1) xc1c2(a1 xc1 )(a2 xc2 )我們發現，二次項系數a分解成a1a2 ，常數項 c 分解成c1c2a1c1，把a1, a2 ,c1 , c2 寫成a2c2，這里按斜線穿插相乘，再相加，就得到a1c2a2 c1 ，如果它正好等于ax 2bxc 的一次項系數 b ，那么 ax2bx c 就可以分解成(a1 xc1 )(a2 xc2)，其中a1,

7、 c1位于上一行，a2, c2位于下一行 這種借助畫十字穿插線分解系數，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法專業資料整理WORD格式注意：1、十字相乘法思路：分解二次三項式，嘗試十字相乘法。分解二次常數項，穿插相乘做加法；叉乘和是一次項，十字相乘分解它。2、并非所有的二次三項式都能用十字相乘法分解分解因數及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過屢次嘗試，【例 2】把以下各式分解因式： x22 x8_； x27 x 6_； 5x27x6_；4 x2xy6 y2=_5 ( x2x) 28(x2x)12 =_【答案】 x22x8( x 4)( x2) ； x27x6( x1)(x6) ；

8、 5x27x 6 ( x 2)(5 x 3) ；4( x 3y)( x2y) 5 ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1)【變式】用十字相乘法求以下方程的根 x22 x 8 0 x27x 6 0 5x27x60 4( x2x)28(x2x)120【答案】 14,2 2 1,6 32, 343,2,1,25【拓展】 雙十字相乘法對于某些二元二次六項式 ( Ax2Bxy Cy2Dx Ey F )，我們也可以用十字相乘法分解因式。例如，分解因式2x27xy22 y25x35y3 我們將上式按 x 降冪排列，并把 y 當作常數，于是上式可變形為2x2(7 y 5)x(22 y235y3) 可以

9、看作是關于x 的二次三項式對于常數項而言，它是關于y 的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為2 2y 23 5y3(y23) ( y1 1。再利1)用十字相乘法對關于x 的二次三項式分解 .所以 原式 = x(2 y3)2 x(11y 1) ( x2 y3)(2 x11 y1) 上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法( 雙十字相乘法 ) 。具體步驟 : 分解形如ax2bxycy2dxeyf 的二次六項式,在草稿紙上，將a 分解成 mn 乘積作為一列， c 分解成 pq 乘積作為第二列，f分解成 jk乘積作為第三列， 如以下列圖所示 ,mpjnqk專業資料整理WORD格式如果 mqnpb,

10、pkqje, mknjd ，即第1,2列、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規那么。那么ax2bxycy2dxey fmx py j nx qy k【例】把以下各式分解因式： x22xy3y 23x y2_ ； 2x2xy3y2x4 y1_ ； 4x214xy6 y27xy2_ ；【答案】 x22xy3y23xy2( x3y2)( xy 1) 2x2xy3y2x4 y1(2x3 y1)(x y1) 4x214xy6 y27 xy2(4 x2 y1)(x3 y2)三、求根法如 果 關 于 x 的 一 元 二 次 方 程ax2bxc 0 有 兩 個 實 數 根x1, x2， 那 么 多 項 式a

11、x 2bxc 可以分解為ax2bxc a(xx1 )( xx2 )。由 ax2bx ca(xx1)( xx2 )ax2a( x1x2 ) xax1x2， 比 較 系 數 得a(x1x2 )bx1 x2ba就得到 韋達定理。ax1x2c故cx1x2ax1bx2韋達定理： 設 x1, x2是關于 x 的一元二次方程ax2bxc 0的兩根，那么acx1 x2a【例 3】把以下各式分解因式： x24x 4_ ； (2) 2x23x1【答案】 x24x4 ( x2 22)( x222) ；2x23x 1 2(x317 )( x3 17)(2)44專業資料整理WORD格式【例 4】假設 x1和 x2分別是

12、一元二次方程2x2 5x 30 的兩根 1求 | x1 x2|的值； 2求113 x2322 的值；3 x1x1x2解：x1和 x2分別是一元二次方程2x2 5x 3 0 的兩根， x1x2532， x1 x22 12222524 (3| x1 x2| x1 + x2 2 x1x2(x1 x2) 4 x1x2()22 25649，4 4 | x1 x2 |7221222( 5)22(3)25 337 1x1x2( x1 x2 )2x1x22324x12x22x12 x22(x1x2 )2(299)42（ 3 x13 x23 (x1x2 )( x12 x1x2x22) (x1 x2) ( x1

13、x2) 2 3x1x2 (5) ×(5)2 3×(3) 215 2228【點評】利用韋達定理求值，要熟練掌握以下等式變形：x12x22( x1x2 ) 22 x1 x2，11x1x2， ( x1x2 )2(x1 x2 )24x1 x2，x1x2x1 x2| x1x2 |(x1x2 )24x1x2，x1x22x12 x2x1 x2 (x1x2 ) ，x 3x3( xx) 33x x( xx) 等等12121212【重要結論】：一元二次方程的 兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規律：設 x和 x 分別是一元二次

14、方程ax2 bx c0 a0，那么12x1bb24ac， x2bb24ac，2a2a | x1 x2|bb24acbb24ac2b24ac2a2a2ab24ac| a | a |于是有下面的結論：假設 x1和 x2分別是一元二次方程ax2 bx c 0 a0，那么 | x1 x2|其中b2| a | 4ac今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結論【變式】關于 x 的方程 x2 2(m2)x m2 40 有兩個實數根，并且這兩個實數根的平方和比兩個根的積大 21，求 m 的值專業資料整理WORD格式分析： 此題可以利用韋達定理， 由實數根的平方和比兩個根的積大 21 得

15、到關于 m 的方程，從而解得 m 的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數根，因此，其根的判別式應大于零解： 設 x1，x2是方程的兩根，由韋達定理，得x1 x2 2(m 2)，x1·x2 m24 x12 x22 x1·x2 21， (x1 x2)2 3 x1·x221，即 2(m2) 2 3(m24) 21，2化簡，得m 16m 17 0，當 m 1 時，方程為 x2 6x 5 0， 0，滿足題意；當 m 17 時，方程為 x230x 293 0， 302 4×1×2930，不合題意，舍去綜上， m 17專業資料整理WORD格

16、式說明： 1在此題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數根所對應的X圍，然后再由“兩個實數根的平方和比兩個根的積大21求出 m 的值，取滿足條件的m 的m 的專業資料整理WORD格式值即可。專業資料整理WORD格式（ 2在今后的解題過程中， 如果僅僅由韋達定理解題時， 還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數根。四、分組分解能分組分解的有四項或六項或大于四項，一般的四項分組分解有兩種形式：二二分法按字母分組按系數分組符合公式的兩項分組 ，三一分法先完全平方公式后平方差公式?！纠?5】把以下各式分解因式： 5x22xy15x6y； 4a2b26a3b

17、； y29 x26x； 8x336x2 y54xy227 y3； x3px2pxp 1.【答案 】5x22xy15x6y( x3)(5x 2y) 4a2b26a3b(2ab)(2ab3) y29 x26x( yx3)( yx3) (2x 3y)3 (x2x1)(xp1)課后練習1、把以下各式分解因式164x6y1228x312x26 x 132x3n12x2n y218xn y44x4y(20x2 ) y55 7(a 1)6(a1)2 6y49y287x25x 24 8x213 x 3693x2x 1 x2xyy21011(x22x)29(x2)2 12 (a28a7)( a2 8a 15)

18、15專業資料整理WORD格式2、x , x是方程2兩個實數根，求：x1 x1 ； xx ；x 5x 2 0212112 x1x2； x13x23；x2x13、,是方程 x2mx4m0 的兩根， 且2234 ，求 m 的值.【作業參考答案】1、 1(2 xy2 )(4x22 xy2y4 )(2xy2 )(4 x22xy2y4 ) 2 (2x 1)332xn( xn3 y2 ) 2 4 y(x2)( x2)(x25) 5 (2 a 3)(3a 2)6 ( y 1)( y1)( y22)( y2 2)7( x 3)( x8) 8 ( x 4)( x 9)93(x1131136)( x6)10( x125y)( x1 5y) 11(x2)2 ( x3)(x3)2（ 12 a 46