1、WORD格式2021年考研數(shù)學(xué)二真題一、選擇題1 8 小題每題4 分，共 32 分1cosx , x0在 x0 處連續(xù)，那么1假設(shè)函數(shù)f (x)axb,x01 Bab1 Dab 2 Aab Cab 022專業(yè)資料整理WORD格式【詳解 】 lim f (x)x0必須滿足1b2a2設(shè)二階可導(dǎo)函數(shù)1 A f ( x) dx10 Cf ( x)dx1【詳解 】注意到條件lim 1cos x1 x1lim2， limf (x)bf (0) ，要使函數(shù)在 x0 處連續(xù)，x0axx 0ax2ax0ab1所以應(yīng)該選 A 2f (x) 滿足 f (1)f ( 1)1， f (0)1 ，且 f( x)0 ，那么

2、01f ( x)dx 0B 11f ( x)dx01f (x) dx0D 1f ( x)dx0f(x)0 ，那么知道曲線f ( x) 在1,0, 0,1 上都是凹的，根據(jù)凹凸性的定義，顯然專業(yè)資料整理WORD格式當(dāng) x1,0 時，f (x)2x1，當(dāng)x0,1 時，f (x)2x1，而且兩個式子的等號不是處處成立，1f ( x) dx01)dx11)dx0 所以選擇B否那么不滿足二階可導(dǎo)所以( 2x(2x110當(dāng) 然 ， 如 果 在 考 場 上 ， 不 用 這 么 詳 細(xì) 考 慮 ， 可 以 考 慮 代 一 個 特 殊 函 數(shù) f ( x)2x2 1 ， 此 時01 ,11 ，可判斷出選項A ，

3、 C，D 都是錯誤的，當(dāng)然選擇B希望同f ( x)dxf (x)dx1303學(xué)們在復(fù)習(xí)根底知識的同時，掌握這種做選擇題的技巧3設(shè)數(shù)列xn收斂，那么 A當(dāng)lim sin xn0 時， lim xn0 B當(dāng)lim( xnxn )0 時， lim xn0nnnn(C當(dāng)lim( xnxn2)0 時， lim xn0 D當(dāng)lim( xnsin xn )0 時，lim xn0nnnn【詳解 】此題考核的是復(fù)合函數(shù)的極限運算法那么，只有D是正確的其實此題注意，設(shè)lim xnA，那么nlimsinxnsin A,lim( xnxn ) AA ,lim(xnxn2 )AA2 ,lim( xnsin xn )As

4、in Annnn分別解方程 sin A0, AA0,A A20, Asin A0 時，發(fā)現(xiàn)只有第四個方程Asin A 0 有唯專業(yè)資料整理WORD格式1專業(yè)資料整理WORD格式一解 A0 ，也就是得到 lim xn0 n微分方程 y4 y89e2 x (1cos2x) 的特解可設(shè)為y* A Ae2 xe2 x ( B cos2x C sin 2x)B Axe2 xxe2x (B cos2 xC sin 2x) CAe2 xxe2x (B cos2xC sin 2x) DAxe2 xxe2x (B cos2 xC sin2x)【詳解 】微分方程的特征方程為r 24r80，有一對共軛的復(fù)數(shù)根r 2

5、2i 所以12 不是特征方程的根，所以對應(yīng)方程y4 y89e2 x的特解應(yīng)該設(shè)為 y1*Ae2 x；而222i是 方 程 的 單 根 ， 所 以 對 應(yīng) 方 程 y4y89e2x cos2x的特解應(yīng)該設(shè)為y2*2 x( B cos2xC sin 2x)； 從 而 微 分 方 程 y4 y8 92xc o xs的2特)解 可 設(shè) 為xee ( 1y*y1 *y2 *Ae2xxe2 x ( B cos2xC sin 2x) ，應(yīng)該選C5設(shè)f (x, y)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且對任意的( x, y) 都有f (x, y)0,f ( x, y)0 ，那么xy Af (0,0)f (1,0)B f (0,0

6、)f (1,1) Cf (0,1)f (1,0) Df (0,1)f (1,0)【詳解 】由條件對任意的( x, y) 都有f ( x, y)0,f ( x, y)0 可知 f (x, y) 對于x是單調(diào)增加的，xy對 y 就單調(diào)減少的 所以 f (1,1)f (1,0)f (0,0),f (1,1)f (0,1)f (0,0),f (0,1)f (0,0)f (1,0) ，只有第三個不等式可得正確結(jié)論D，應(yīng)該選 D6甲、乙兩人賽跑，計時開場時， 甲在乙前方10單位： 米處，如圖中， 實線表示甲的速度曲線v v1 (t )單位：米 /秒，虛線表示乙的速度曲線vv2 (t) 單位：米/秒，三塊陰

7、影局部的面積分別為10,20,3 ，計時開場后乙追上甲的時刻為t0，那么 A t010 B15 t020 Ct025 D t025S(t)T2【詳解 】由定積分的物理意義： 當(dāng)曲線表示變速直線運動的速度函數(shù)時，v(t )dt 表示時刻 T1,T2T1內(nèi)所走的路程此題中的陰影面積S1,S2 , S3分別表示在時間段0,10, 10,25 , 25,30 內(nèi)甲、乙兩人所走路程之差，顯然應(yīng)該在 t25 時乙追上甲，應(yīng)該選C專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式0007設(shè)A為三階矩陣，P1, 2, 3為可逆矩陣， 使得P1AP 010，那么002A12B223C2 3D1A(2123)3專

8、業(yè)資料整理WORD格式【詳解】顯然這是矩陣相似對角化的題目可知000000A(1,2,3) AP P0101,2,30100, 2,2 3002002所以A(1 23 )A 1A 2A 322 3，所以可知選擇B2002101008矩陣A021， B020， C 020，那么001001002 AA,C相似，B,C相似 BA, C相似，B,C不相似 CA, C不相似，B,C相似 DA,C不相似，B, C不相似【詳解 】矩陣 A, B 的特征值都是122,312 的情況是否可對解化，只需要關(guān)心000對于矩陣 A，2E A001，秩等于 1，也就是矩陣 A 屬于特征值2 存在兩個線性無關(guān)的特001

9、征向量，也就是可以對角化，也就是AC010對于矩陣 B ，2E B000，秩等于 2，也就是矩陣 A 屬于特征值2 只有一個線性無關(guān)的特001征向量，也就是不可以對角化，當(dāng)然B,C 不相似應(yīng)選擇B二、填空題此題共6 小題，每題4 分，總分值24 分 . 把答案填在題中橫線上9曲線yx(1 arcsin 2) 的斜漸近線為x解： lim yx(1arcsin 2)x) lim x arcsin 2limx1，lim(y2 ，所以斜漸近線為 y x 2 xxxxxxx10設(shè)函數(shù)y y( x)由參數(shù)方程xt et確定，那么 d 22y |t 0ysin tdx專業(yè)資料整理WORD格式3專業(yè)資料整理W

10、ORD格式dcost【詳解 】 dycostd 2 y1 et(1 et )sin tet cost，所以 d 2 y1,dt|t 0dx 1 etdx2dx(1 et ) 3dx 28 dt11ln(1x)2 dx.0(1x)【詳解】ln(1x)2dxln(1x)d1ln(1x) |012dx10(1x)01 x1x0 (1x)12設(shè)函數(shù)f (x, y) 具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且df (x, y) yey dxx(1y)eydy ，f (0,0) 0，那么f ( x, y)【詳解 】df ( x, y)yeydx x(1y)ey dyd ( xyey ) ，所以 f (x, y)xyeyC

11、，由f (0,0) 0，得 C0 ，所以( ,)yfx yxye1311 tan xdxdyyx0【詳解 】交換二重積分的積分次序得：tan x dytan xdxln cos xln cos1.dy1tan x dxdx111x10yx00x00專業(yè)資料整理WORD格式41214設(shè)矩陣A12a 的一個特征向量為311【詳解 】根據(jù)特征向量的定義，有11 ，那么a2專業(yè)資料整理WORD格式412111A12a113 2a，解得 a1311222三、解答題15此題總分值 10 分xxtet dt求極限 lim03x 0x【詳解 】令 xtu ，那么 txu , dtdu ，xxtet dtxue

12、xu du00xtxxuxuxueduuedute dtexex2lim0lim0lim 0limx 0x3x 0x3x 0x3x 03 x3216此題總分值10 分專業(yè)資料整理WORD格式4專業(yè)資料整理WORD格式設(shè)函數(shù) f (u, v) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y f(ex ,cosx) ，求dy|x 0， d 2 y|x 0dxdx2【詳解 】 dyxxx,cos x)(dy|xf1(1,1)；dxf1 (e,cos x)ef 2 (esin x) ，dx0d 2 yxx,cos x)xxxxcos xf 2x,cos x)dx2ef1 (ee( f11( e ,cos x)esin xf1

13、2 ( e ,cos x)(esin xex f21 ( ex,cos x)sin2xf22 (ex ,cos x)d 2 y|x 0f1 (1,1) f11(1,1)f2 (1,1)dx217此題總分值10 分求 limnk2 ln 1knk 1nn【詳解 】由定積分的定義nkklim 1nk ln 1k1limln 1x ln(1 x)dxn1 n2nnn k 1nn0k11x)dx212ln(14018此題總分值 10 分函數(shù) y( x) 是由方程x3y33x3y20 【詳解 】在方程兩邊同時對x 求導(dǎo)，得3x23 y2 y 3 3y 0 1在 1兩邊同時對x 求導(dǎo)，得2x 2 y( y

14、 ) 2y2 yy 02(xy( y ) 2 )專業(yè)資料整理WORD格式也就是 y1y2專業(yè)資料整理WORD格式令 y0 ，得 x1 當(dāng)x1時， y 1 ；當(dāng) x1 時， y20112當(dāng) x11時，y0 ， y10 ，函數(shù) yy( x) 取極大值y11 ；當(dāng) x21 時，y0 ， y10 函數(shù) yy( x) 取極小值y20 19此題總分值 10 分設(shè)函數(shù) f ( x) 在區(qū)間0,1 上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f (1)0 ， limf (x)0 ，證明：x 0x專業(yè)資料整理WORD格式5專業(yè)資料整理WORD格式 1方程f (x)0 在區(qū)間0,1 至少存在一個實根； 2方程f (x) f(x)( f(

15、x)20 在區(qū)間0,1 內(nèi)至少存在兩個不同實根證明： 1根據(jù)的局部保號性的結(jié)論，由條件limf ( x)0 可知，存在 01，及x(0, ) ，使得x 0x1f (x1)0 ，由于f ( x)在 x1,1上連續(xù)，且 f ( x1 )f (1) 0 ，由零點定理，存在( x1,1)(0,1) ，使得f ()0 ，也就是方程 f (x)0 在區(qū)間0,1 至少存在一個實根； 2由條件limf (x)可知 f(0) 0，由1可知 f ( )0 ，由洛爾定理，存在(0, ) ，使得x0x 0f ()0；設(shè) F ( x)f ( x) f( x) ，由條件可知 F ( x) 在區(qū)間0,1上可導(dǎo)， 且 F (

16、0)0,F()0,F()0 ，分別在區(qū)間0,上 對 函 數(shù) F (x)使用爾定理，那么存在 1(0,)(0,1),2( ,)(0,1), 使 得12, F( 1)F( 2 )，0也就是方程f (x) f( x) ( f( x) 20 在區(qū)間 0,1內(nèi)至少存在兩個不同實根20此題總分值 11 分平面區(qū)域 D(x, y) | x2y22 y，計算二重積分(x1)2dD20【詳解 】由于積分區(qū)域關(guān)于y 軸左右對稱，所以由二重積分對稱性可知所以xdD( x1)2 d( x21)dd2sin( r 2 cos21)rdr0DD0024sin4cos22sin 2d4(4sin 44sin 62sin 2

17、)d054其中利用瓦列斯公式，知0sin 2d1,sin 4d313 ,sin 6d531522042806421621此題總分值 11 分設(shè) y( x) 是區(qū)間0,3上的可導(dǎo)函數(shù)， 且 y(1)0 點 P 是曲線 L : yy( x) 上的任意一點， L 在點 P 處的2切線與 y 軸相交于點0,YP，法線與 X 軸相交于點XP,0假設(shè) XPYp，求L上的點的坐標(biāo)( x, y)滿足的方程專業(yè)資料整理WORD格式6專業(yè)資料整理WORD格式【詳解 】曲線過點P( x, y) 的切線方程為Yy(x)y (x)( Xx) ，令 X 0，得Yp( )xy( )；y xx曲線過點 P( x, y) 的法

18、線方程為 Yy( x)10，得Xpx yy ( x) ( X x) ，令 Yy ( x)由條件 XPY ，可得微分方程yxyxyypdyxyy1標(biāo)準(zhǔn)形為 yx，是個一階齊次型微分方程dxxyy1x設(shè) yu ，方程化為 ux duu1，整理，得 x du1u 2xdxu1dx1u別離變量，兩邊積分，得arctan u1 ln uln xln C2由初始條件 y(1)0 ，得 x1, y0, u0 ，確定常數(shù) C1所以曲線的方程為arctan y1 ln yln x x2x22此題總分值 11 分設(shè)三階矩陣 A1, 2,3有三個不同的特征值，且3122 . 1證明：r ( A)2 ； 2假設(shè)12 , 3，求方程組Ax的通解【詳解 】 1證明：因為矩陣有三個不同的特征值，所以A 是非零矩陣，也就是r ( A)1假 假設(shè) r ( A )1時 ，