1、數學建模競賽承諾書我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B中選擇一項填寫）：B我們的隊號為：11參賽隊員：1.電子0903徐路源2 .數學0901王璐璐3 .數學0901張樂孝指導教師或指導教師組負責人

2、：數模組日期：2010年8月10日評閱編號（由評閱老師拜閱前進行編號）：歡迎共閱數學建模競賽編號專用頁評閱編號:評閱記錄:評閱人評分備注預測機票價格和預定數量限額最優(yōu)問題摘要本文所要討論的問題可以歸結為一個趨勢擬合和基于二項分布求最優(yōu)決策的問題。建立了兩個模型：分別用來預測機票的未來價格和求機票的預定限額。首先我們根據所給的2005年10月2010年3月期間，每月經濟艙機票平均價格(單位：元)數據，通過Matlab軟件用函數去擬合，所得函數即為機票預訂價格的數學模型。可表示為：f(x)=a1*exp(-(x-b1)/c1)A2)+a2*exp(-(x-b2)/c2)A2)+a3*exp(-(x

3、-b3)/c3)A2)+a4*exp(-(x-b4)/c4)A2)+a5*exp(-(x-b5)/c5)A2)+a6*exp(-(x-b6)/c6)A2)但在預測中發(fā)現，由模型所得參考價格不合實際。單方面擬合出的模型并不具有實際價值。之后我們采用趨勢外推法中最小二乘法的周期波動模型來解題。通過與實際價格的比較，發(fā)現其誤差較小且置信度較高。所以我們得到的機票預定價格的數學模型即為2斤xV=638.38777.2690x49.9355*cos()yt122兀x2兀x2兀x-58.0239sin()0.9938*cos(-)-0.4632x*sin()121212價格隨時間呈周期性變化，每過一個周期

4、價格略有上升。這與人民經濟生活水平提高分不開的。最后，我們搜集了一些數據來佐證我們模型的價值。根據實際情況，制定合理的預定策略需從經濟利益最大化和社會聲譽最好兩方面來考慮。社會聲譽可以用定了票來登機因飛機滿員而不能起飛的乘客不超過某一給定值來衡量。則這個問題可化為經濟利益最大化為單目標來求解。我們假設每位乘客不按時前來登機的概率為p,是否前來登機是相互獨立的，則不按時前來登機的乘客數服從二項分布。又因為訂票需付一定量的定金，且在飛機起飛前48小時內取消預訂會沒收全部訂金。對此，我們分情況討論。由概率分布知識可得利潤S關于預定量限額M的函數為胸-1，(修)=心+瓦)£(兩一片一修也編飛

5、71飛-1+的啊&-(g)+d)Z(叼一芻-%)跺+(上百1+盲處)尸/一廠G)由利潤最大化，利用Matlab軟件求出M的最優(yōu)解，通過檢驗和靈敏度分析，由模型得出的機票預訂限額置信度較高。查閱資料得，此限額較符合實際情況。最后，我們根據我們建立的模型對其進行優(yōu)化。由實際可能出現的情況增設某類旅客(學生、旅游者)的減價票，規(guī)定遲到則機票作廢。在此基礎上再建立一個模型。分別求此時飛機的參考價格和預定限額。關鍵字：曲線擬合、趨勢外推、周期波動、概率分布、利潤最大一、問題重述航空公司對機票一般采取預定策略。客戶可以通過電話或互聯網預定，這種預定具有很大的不確定性，客戶很可能由于各種原因取消預定

6、。航空公司為了爭取最大利潤，一方面要爭取客戶，另一方面要降低因客戶取消預定遭受的損失。為此，航空公司采用一些措施。首先，要求客戶提供信用卡號，預付一定數量的定金。如果客戶在飛機起飛前48小時內取消預定，定金將如數退還，否則定金將被沒收。其次，航空公司采用變動價格，根據市場需求情況調整機票價格，一般來說旺季機票價格比較高，淡季價格略低。（1）建立機票預定價格的數學模型，并對以下實例作分析。表1給出了某某航空公司某條航線2005年10月2010年3月期間，每月經濟艙機票平均價格（單位：元），用模型說明價格變動的規(guī)律，并據此估計未來一年內的經濟艙機票的參考價格。收集更多的數據來佐證模型的價值（要求注

7、明出處）。（2）在旺季，航空公司往往可以預定出超過實際座位數的機票數，以減低客戶取消預定時航空公司的損失。但這樣做可能會帶來新的風險，萬一屆時有超出座位數的客戶出現，航空公司要通過升級機票檔次或賠款來解決糾紛，為此航空公司還會承擔信譽風險.某條航線就一中機型，有頭等艙20座，經濟艙300座，每天一班航班。為該航線制定合理的預定策略，并論證理由。表1某航空公司某條航線2005年10月2010年3月經濟艙月平均價格（單位:元）時間價格時間價格時間價格2005.106562007.041802P2008.1010682005.115262007.05878一2008.119962005.125022

8、007.067942008.128042006.014822007.07926P2009.017942006.024982007.0810182009.028322006.036322007.099482009.039022006.04P6882007.101016P2009.049722006.057202007.119162009.0510142006.066402007.128242009.069162006.071688：2008.01738P2009.079862006.087682008.028062009.0811242006.097362008.038722009.099482

9、006.10r8022008.0418942009.1010562006.117262008.059662009.118722006.126722008.068782009.127962007.01:7322008.07110282010.018842007.026622008.0811002010.028082007.037802008.099782010.03856二、背景航空公司訂座的特點是：旅客可以在飛機起飛前一百多天里向購票處或航空公司訂票，由于離飛機起飛時間較長，以及旅客行為的不確定性，往往航空公司會售出超過實際座位數的票數，即超售。在訂座決策中，航空公司面臨2種風險：空座風險和超

10、售風險，以航班客座容量為臨界點，如果超售的結果（即實際到達機場的已預定座位的旅客人數）少于航班容量，會造成座位剩余，這就是空座風險；如果決策結果多于航班容量，造成有些旅客被拒絕登機，從而帶來超售風險，合理的超售可以減少空位損失，但要確定合理的超售數額，卻是十分困難的。超售是航空公司收益管理的一項重要內容，這是解決所謂的NoShoW'可題，提高航空公司效益的重要技術手段，同時也有許多理論問題甚至法律問題需要研究。在實際航運中，航空公司發(fā)現經常發(fā)生已購票的乘客沒有乘機（叫做NoShoW,使得一些座位空著虛飛，而一些想旅行的和一些有急事臨時到達機場（叫做CoShoW的旅客卻因購不到票而不能成

11、行，這不僅浪費了航空公司的生產資源，同時也浪費了社會資源。根據對歷史銷售和離港數據進行分析，可以預測旅客的NoSho呼和CoShoW,然后確定超售率進行機票銷售。這樣做不但可以充分利用熱線航班的座位，提高航空公司的收益，同時也使得其他想乘機旅行人員能夠成行，可以說是各方都受益的好事。德國漢莎航空公司在超售方面所做的工作非常出色，每年能為公司多創(chuàng)造5%勺收益。因此對超售的研究一直為航空公司所重視。但超售預測不可能十分準確，因此可能發(fā)生所謂的DB（DeniedBoarding）問題，即實NoSho醉低于CoSho醉時，便發(fā)生了已購票并來乘機的旅客上不了飛機的問題。這常常引起旅客的不滿甚至航空公司與

12、旅客的沖突，航空公司采取補償DB旅客以化解矛盾的做法，但這樣的補償常常是機票價格的兩倍以上。發(fā)生DB航空公司的成本迅速上升，這也是航空公司不愿意看到的。因此超售是一把雙刃劍，如何解決好NoSho呼和DB這一對矛盾，一直是航空公司和學術界都十分關心的問題。目前研究的較多的是機票超售模型是靜態(tài)的。對于一個航班從開始銷售之日到飛機起飛時，超售的數量保持不變。這樣將完全忽略機票實際銷售情況。超售實際上完全溶于機票銷售過程中。在機票銷售過程中，航空公司的訂座系統一面接受旅客的訂票，一面接受旅客的取消訂票或是改簽其他航班。顯然機票的預定速度應大大超過取消速率，在飛機起飛前某時刻將達到或接近飛機的容量，此時

13、航空公司就將面臨超售問題。一般來說，航空公司可以控制訂票的流量，當已定機票超過理想的數量時，就不再接受訂票的請求。但是由于訂票需求的不確定性，目前被拒絕的需求未來不再出現，而未來的取消還繼續(xù)發(fā)生，則到飛機起飛時將產生空座，造成航班收益下降。因此機票的超售是一個動態(tài)的決策過程。這一過程依賴于當前的銷售狀態(tài)，未來的需求分布，機票取消分布和起飛時的NO-SHOW三、符號說明r飛行費用（為常數）飛機頭等艙容量（為常數）飛機經濟艙容量（為常數）頭等艙機票價格（為常數）經濟艙機票價格（為常數）頭等艙預定票數量的限額（為常數）經濟艙預定票數量的限額(為常數)每位乘客沒來登機且未在48小時之前取消訂票的概率頭

14、等艙中定了票沒有登機的乘客經濟艙中定了票沒有登機的乘客每位頭等艙被擠掉者獲得的賠償金(為常數)每位經濟艙被擠掉者獲得的賠償金(為常數)S平均利潤_機票訂金占機票價格的比重X月份，初始值為x=1,四、模型假設1、各位乘客是否按時前來登機是相互獨立的(這適用于單獨行動的商人、游客)。2、每趟飛機預定票數量都大于飛機的實際座位數。3、飛行費用與乘客人數無關，為一個固定的常數。4、頭等艙與經濟艙顧客未按時取消訂票的概率相等五、問題分析與建立模型(1)方法一：分析：由所給數據，用Matlab軟件來擬合函數，再根據函數來預測經濟艙機票的參考價格。記2005年10月份為x=1,則05年11月份為x=2,以此

15、類推。即:2005年10月為第一個月份，如：x=10,則表示06年7月擬合結果如下：i一一由求解報告得知：廠數學模型為：f(x)=a1*exp(-(x-b1)/c1)A2)+a2*exp(-(x-b2)/c2)A2)+a3*exp(-(x-b3)/c3)A2)+a4*exp(-(x-b4)/c4)A2)+a5*exp(-(x-b5)/c5)A2)+a6*exp(-(x-b6)/c6)A2)a1=258.1(-4931,5447)b1=11.84(-21.32,45)c1=5.754(-30.07,41.58)a2=-763.3(-4.991e+006,4.989e+006)b2=9.738(-

16、2804,2823)c2=35.18(-6.951e+004,6.958e+004)a3=1400(-7.956e+004,8.236e+004)b3=27.96(-3.621,59.55)c3=6.392(-96.3,109.1)a4=1255(-3.937e+005,3.962e+005)b4=61.28(-1.531e+010,1.531e+010)c4=1.48e+004(-2.162e+012,2.162e+012)a5=-3.035e+008(-2.53e+013,2.53e+013)b5=162(-7.08e+005,7.083e+005)c5=29.06(-1.042e+005

17、,1.043e+005)a6=-1285(-9.511e+004,9.254e+004)b6=28.36(20.3,36.43)c6=4.848(-32.56,42.25)Goodnessoffit:SSE:2.234e+005R-square:0.8267AdjustedR-square:0.7448RMSE:78.78置信度為：95%根據模型，由Matlab軟件求得未來一年經濟艙機票參考價格如下表所示:時間價格2010.047162010.056142010.064802010.073072010.08852010.09-1982010.1012010.111%!j2010.122011.

18、012011.022011.03預測的機票價格從2010年9月起變成了負數，顯然與實際不符合，所以該模型并不能幫助我們解決實際問題。方法二：分析：我們產用最小二乘法中趨勢外推法的周期波動模型來解題。季節(jié)型時間數列以日歷時間為波動周期；循環(huán)型時間數列波動周期往往大于一年，且不穩(wěn)定。盡管兩者有所區(qū)別，但都呈周期性波動，因此宜以正弦曲線為基礎，經修正波幅與周期擬合波動規(guī)律。正弦曲線預測模型的一般形式為：只要對已知數據按上述各項要求加工填入以后，求解六元一次方程組，得x0x5,代入預測方程即可開始預測。用Matlab軟件求出此問題中模型的系數。具體程序見附錄一x0=638.3877x1=7.2690解

19、得系數X2=49.9355x3=-58.0239X4=0.9938X5=-0.4632則未來一年內的經濟艙機票的參考價格可按如下模型計算用此模型我們得出的模型曲線如下（紅色折線為實際票價走勢，藍色為通過計算得到的模型曲線）用Matlab軟件根據模型給出未來一年內的經濟艙機票的參考價格（具體程序見附錄二）時間價格2010.049892010.0510652010.0611372010.0711872010.0812042010.0911842010.1011342010.1110692010.12100912011.01j9702011.029682011.031002比較方法二與方法一，顯然用

20、方法一所求的模型十分繁雜，具體計算時又非常得不方便。而方法二所求的的模型簡潔明了，便于計算，且置信度較高。所以舍棄方法一所求模型。綜上所述：機票預定價格的數學模型為：（2）分析：開展預定票業(yè)務時，對于一次航班，若公司限制預定票的數量恰好等于飛機的容量，那么由于總會有一些定了機票的乘客很可能由于各種原因取消預定不按時前來登機，致使飛機因不滿員飛行而利潤降低，甚至虧本。所以，航空公司往往會預定出超過實際座位數的機票數，以減低客戶取消預定時航空公司的損失。然而，這樣做也存在著潛在的風險：當持票前來的乘客超過飛機容量時，必然會引起那些不能飛走的乘客（本文簡稱被擠掉者）的抱怨，公司不管如何補救，也會導致

21、聲譽受損和一定的經濟損失（如客源減少，付給一定的賠償金等）。所以，航空公司必須綜合考慮經濟利益和社會聲譽，確定預定票數量的最佳限額。建立模型：1、公司的經濟利益可以用平均利潤S來衡量，每次航班的利潤S為機票收入扣除飛行費用和可能發(fā)生的賠償金再加上一部分乘客因為沒有在48小時之前取消訂票而交上的訂金。設：頭等艙中預定出了m張票，飛機起飛時，有k1位沒有按時前來登機。經濟艙中預定出了m2張票，飛機起飛時，有k2位沒有按時前來登機，且每位客戶在48小時之前便取消預訂的概率為P，于是在48小時之內沒有取消預訂的概率P,二1-P,已知預交的訂金占機票價格的l。頭等艙：2、公司從社會聲譽考慮，應該要求被擠

22、掉的乘客盡量少。而由于被擠掉者的數量是隨機的，可以用被擠掉的乘客數超過若干人的概率作為度量指標。記被擠掉的乘客數超過j人的概率為pjm），因為被擠掉的乘客數超過j,等價于m位預定票的乘客中不按時前來登機的不超過m-n-j-1人，所以：對于給定的n,j,顯然當m=n+j時不會有被擠掉的乘客，即pjm）=0。而當m變大時p.（m）單調增加。綜上，S（m）和pjm）雖然是這個優(yōu)化問題的兩個目標，但是可以將pjm）不超過某給定值作為約束條件，以S（m）為單目標函數來求解。七、模型求解與結果的分析檢驗和誤差分析模型無法解析地求解，我們設定幾組數據，用matlab軟件作數值計算，結果如下，我們查閱資料，得

23、知下列數據比較符合實際情況。設：求得最大利潤為20.12萬元。成=30,m2=350時.:,求得最大利潤為21.52萬元。由于實際中有諸多因素不確定，可對超售票數造成影響（如天氣狀況對起飛成本的影響，旺季時票價產生不正常波動）所以通過分析和檢驗，用matlab軟件計算得知，當八、模型的優(yōu)化對機票預定限額模型的優(yōu)化：考慮到不同客源的實際需求，如商業(yè)界、文藝界人士喜歡這種無約束條件的預訂票業(yè)務，他們寧愿接受更高的票價，而不按時前來登機的可能性較大；游客與按時上下班的雇員，會愿意以不按時前來登機則機票失效為代價，換取較低額的票價。所以，航空公司為了降低風險，可以把上述第2類乘客作為基本客源，對他們降

24、低票價，但購票時即付款，不能按時前來登機即機票作廢。設預訂票數量m中有t張是專門預售給第二類乘客的，其折扣票價為Pgi（目1）,（因為第二類乘客身份的特殊性，所以只考慮他們購買經濟艙的情況）當m-t位第1類乘客中有k位不按時前來登機時每次航班的利潤s為（只對于經濟艙）g1（二1）九、模型的評價與推廣對機票預測價格模型的評價與推廣優(yōu)點：通過圖形就可以看出其價格的走勢與實際相似度很高。運用最小二乘法構造方程組解相關系數，并全面考慮截距、波動周期、波動幅度是使其精確度較高的主要原因。運用該模型可以在實際中較為準確地估計未來機票的價格。缺點：不難發(fā)現每個周期過后，價格都略有增長，但實際中價格不可能永遠

25、增長下去。而且該模型無法估計非正常的數據，比如在旺季機票的價格可能比平常會高出好幾倍，在這種情況下就很難做出準確的預測。在隨時間的增長中，誤差也會越來越大。所以在預測時可以不去考慮比較早時期的信息，只考慮要預測時間就近的30組數據這樣會提高預測的準確度。對機票預定量限額模型的評價與推廣評價：模型中把頭等艙與經濟艙的情況都做了考慮，而且是在不同的情況下做的，在基本合理的假設下對一個兩目標的問題做了簡化處理，即使這樣，得到的模型也無法解析地求解，幸而，數值計算的結果以滿足我們對問題進行分析的要求。推廣：與航空公司的預定票策略相似的事件在日常商務活動中并不少見，旅館、汽車出租公司等為爭奪顧客也可以如

26、此處理。十、參考文獻11趙靜，但琦，數學建模與數學實驗(第2版)，高等教育出版社，2004【2】姜啟源，謝金星，葉俊，數學模型(第三版)，高等教育出版社，200531陳懷琛，吳大正，高西全，MATLA吸在電子信息課程中的應用(第2版)，電子工:-.I;業(yè)出版社，20034鞠彥兵馮允成王愛華，航空客運超售風險研究，北京航空航天大學學報，第25卷第5期：第1頁2002年10月十一、附錄附錄一x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,3

27、8,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54y=656,526,502,482,498,632,688,720,640,688,768,736,802,726,672,732,662,780,802,878,794,926,1018,948,1016,916,824,738,806,872,894,966,878,1028,1100,978,1068,996,804,794,832,902,972,1014,916,986,1124,948,1056,872,796,884,808,856x1=xx2=cos(pi*x/6)x3=sin(p

28、i.*x/6)x4=x.*cos(pi.*x/6)x5=x.*sin(pi.*x/6)A=54,sum(x1),sum(x2),sum(x3),sum(x4),sum(x5);sum(x1),sum(x1.*x1),sum(x1.*x2),sum(x1.*x3),sum(x1.*x4),sum(x1.*x5);sum(x2),sum(x1.*x2),sum(x2.*x2),sum(x2.*x3),sum(x2.*x4),sum(x2.*x5);sum(x3),sum(x1.*x3),sum(x2.*x3),sum(x3.*x3),sum(x3.*x4),sum(x3.*x5);sum(x4),

29、sum(x1.*x4),sum(x2.*x4),sum(x3.*x4),sum(x4.*x4),sum(x4.*x5);sum(x5),sum(x1.*x5),sum(x2.*x5),sum(x3.*x5),sum(x4.*x5),sum(x5.*x5)b=sum(y);sum(x1*y);sum(x2.*y);sum(x3.*y);sum(x4.*y);sum(x5.*y)x=AbA=1.0e+004*0.00540.1485-0.00010.0004-0.00340.01010.14855.3955-0.00340.0101-0.18610.5413-0.0001-0.00340.0027-0.00000.0756-0.00230.00040.0101-0.00000.0027-0.00230.0729-0.0034-0.18610.0756-0.00232