1、第二講小題考法一一基本初等函數、函數與方程考點(一)基本初等函數的圖象與性質主要考查指數函數、對數函數、哥函數的圖象辨析以及指數式、對數式的比較大小問典例感悟2x,x<1,典例(1)(2018武漢華中師大附中診斷)已知函數f(x)=j1>1則f(1x)的大致圖象是()ABCD(2)(2018全國卷m)設a=log0.20.3,b=log20.3,則()A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b2x,x<1,解析(1)畫出函數f(x)=j1的圖象(圖略)，可知f(1x)的圖象與函數f(x)的圖

2、象關于直線x=2對稱，利用對稱性即可求得選項D正確.(2)a=log0.20.3>log0.21=0,b=log20.3<log21=0,-ab<0.a+b11ab=£+b=log0.30.2+log0.32=log0.30.4,1=lOg0.30.3>lOg0.30.4>lOg0.31=0,0<<1,ab<a+b<0.ab'答案(1)D(2)B方法技巧3招破解指數、對數、哥函數值的大小比較問題(1)底數相同，指數不同的備函數值用指數函數的單調性進行比較.(2)底數相同，真數不同的對數值用對數函數的單調性比較.(3)底數不

3、同、指數也不同，或底數不同、真數也不同的兩個數，常引入中間量或結合圖象比較大小.演練沖關1. (2017北京高考)已知函數f(x)=3xg：則f(x)()A.是奇函數，且在R上是增函數B.是偶函數，且在R上是增函數C.是奇函數，且在R上是減函數D.是偶函數，且在R上是減函數解析：選A 因為f(x) = 3x 3x且定義域為R,所以f(x)=3-xgrx=(j3x=3xgjL-f(x),即函數f(x)是奇函數.又y=3x在R上是增函數，y=gj在R上是減函數，所以f(x)=3x在R上是增函數.2. (2018洛陽模擬)設a=log36,b=log5l0,c=log7l4,則()A.c>b&

4、gt;aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c解析：選D因為a=logs6=log33+log32=1+log32,b=log5l0=log55+logs2=1+log52,c=log714=log77+log72=1+log72,因為loga2>log52>log72,所以a>b>c,故選D.3.已知函數 f(x)= 口' 2x ! x3, m,n為實數，則下列結論中正確的是A.若一3Wm<n,則f(m)<f(n)B.若m<n<0,則f(m)<f(n)C.若f(m)<f(n),則m2&

5、lt;n2f(-x)=D.若f(m)<f(n),則m3<n3解析：選C(制的定義域為R,其定義域關于原點對稱,!2x2x；g=f(x),.函數f(x)是偶函數，又x>0時，2x去與x3是增函數，且函數值為正,f(x)在(一8, 0)函數f(x)=7x$jx3在(0,+8)上是增函數，由偶函數的性質知，函數上是減函數，此類函數的規律是：自變量離原點越近，函數值越小，即自變量的絕對值越小,函數值就越小，反之也成立.對于選項A,無法判斷m,n離原點的遠近，故A錯誤；對于選項B,|m|>|n|,f(m)>f(n),故B錯誤；對于選項C,由f(m)<f(n),一定可得

6、出m2<n2,故C正確；對于選項D,由f(m)<f(n),可得出|m|<|n|,但不能得出m3<n3,故D錯誤.綜上可知，選C.4.(2018西安八校聯考)如圖所示，已知函數y=log24x圖象上的兩點A,B和函數y=log2x圖象上的點C,線段AC平行于y軸，當ABC為正三角形時，點B的橫坐標為解析：依題意，當AC曲軸，MBC為正三角形時，|AC|=log24x-log2x=2,點B到直線AC的距離為g設點B(X0,2+log2X0),則點A(x0+g3+log2X0).由點A在函數y=log24x的圖象上，得log24(x0+陋)=3+log2x0=log28x0,

7、則4(x0+V3)=8x0,X0=也即點B的橫坐標是V3.考點(二)主要考查利用函數零點存在性定理或數形函數的零點結合法確定函數零點的個數或其存在范圍，以及應用零點求參數的值(或范圍)典例感悟典例(1)(2018惠州模擬)函數f(x)是定義在 R上的奇函數，當 x>0時，f(x) =夕111, 0<x<2, fex-2 ) x>2，則函數g(x) = xf(x)1在6, + 8)上的所有零點之和為()A. 8B. 32C.2D. 0(2)(2018全國卷出0, nt的零點個數為(2018沈陽教學質量監測)已知函數f(x) =卜x(x> 2若方程f(x)= ax+

8、1恰有 l2(1< x<2 )答案：3一個解，則實數a的取值范圍是解析(1)令g(x)=xf(x)1=0,則XW0,所以函數g(x)的零點之和等價于函數y=f(x)的圖象和y=1的圖象的交點的橫坐標之和，分別作出x>0時，y=f(x)和y=1的大致圖象,xx如圖所示,，一一1,由于丫=")和y=-的圖象都關于原點對稱，因此函數g(x)在6,6上的所有零點之和x,一，一1為0,而當x=8時，f(x)=",即兩函數的圖象剛好有1個交點，8一，一1,且當XC(8,+8)時y=的圖象都在y=f(x)的圖象的上萬,x因此g(x)在6,+8)上的所有零點之和為8.選A

9、.兀兀,(2)當3x+6=kTt+2(kCZ)時,f(x)=0.xe0,當3x+6W值為$3,52%,f(x)=0,即函數f(x)=cos3x+6為0,nt的零點個數為3.一.一一.1(3)如圖，當直線y=ax+1過點B(2,2)時，a=2,萬程有兩個解；當直線y=ax+1與f(x)=2、/x1(x>2)的圖象相切時，a=1+552,方程有兩個解；當直線y=ax+1過點A(1,2)時，a=1,方程恰有一個解.故實數a的取值范圍為0答案(1)A(2)3(3)10,2自11；一,11方法技巧1.判斷函數零點個數的3種方法直接法直接求零點，令f(x)=0,則方程解的個數即為函數零點的個數定理法

10、利用零點存在性定理，利用該定理只能確定函數的某些零點是否存在，必須結合函數的圖象和性質(如單調性)才能確定函數有多少個零點數形結合法對于給定的函數不能直接求解或畫出圖象的，常分解轉化為兩個能畫出圖象的函數的交點問題2.利用函數零點的情況求參數的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解.(2)分離參數后轉化為求函數的值域(最值)問題求解.(3)轉化為兩個熟悉的函數圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解.演練沖關1,函數y=|log2x|I：的零點個數是()A.0B.1C. 2D.4解析：選c令y=|iog2x|(，=0,即|iogzx|=(在同一平面直角坐標系中作出y1 x,=|log2x

11、|和y=5X的圖象(圖略卜由圖象可知這兩個函數的圖象有兩個交點，即所求零點個數為2.飛,x<0,g(x) = f(x) + x+ a.若 g(x)存在 2 個零點,2 .(2018全國卷I)已知函數f(x)=inx,x>0,B. 0, +8 )D. 1, +oo )則a的取值范圍是()A.-1,0)C.1,+°0)解析：選C令h(x)=-x-a,則g(x)=f(x)h(x).在同一坐標系中畫出y=f(x),y=h(x)的示意圖，如圖所示.若g(x)存在2個零點，則y=f(x)的圖象與y=h(x)的圖象有2個交點，平移y=h(x)的圖象，可知當直線y=xa過點(0,1)時，

12、有2個交點，此時1=0a,a=1.當y=xa在y=x+1上方，即a<1時，僅有1個交點，不符合題意.當y=-x-a在y=x+1下方，即a>1時，有2個交點，符合題意.綜上，a的取值范圍為1,+8).故選C.3 .(2018石家莊模擬)已知M是函數f(x)=|2x3|-8sinx軌CR)的所有零點之和，則M的值為()A. 3B. 6C. 9D. 12解析：選D將函數f(x)=|2x3|8sind的零點轉化為函數h(x)=|2x3|與g(x)=8sinx圖象交點的橫坐標.在同一直角坐標系中，畫出函數h(x)與g(x)的圖象，如圖，因為函數h(x)與3g(x)的圖象都關于直線x=3對稱，

13、兩個函數的圖象共有8個交點，所以函數f(x)的所有3零點之和M=8*2=12,故選D.4.已知關于x的方程|2x10|=a有兩個不同的實根xi,x2,且x2=2xi,則實數a=2x-10,x>log2l0,解析：構造函數f(x)=|2x10|=SxE. -2x,x<log210,由已知得102x1=2x210.又x2=2x1,代入整理得22x1+2x1-20=0,解得x1=2,所以a=|22-10|=6.答案：6必備知能自主補缺依據學情課下看，針對自身補缺漏；臨近高考再瀏覽，考前溫故熟主干主干知識要記牢值域R單調性0Vav1時，在R上是減函數；a>1時，在R上是增函數0<

14、;a<1時，在(0,+8)上是減函數；a>1時，在(0,+8)上是增函數兩圖象的對稱性關直線yx對稱2.方程的根與函數的零點(1)方程的根與函數零點的關系由函數零點的定義，可知函數y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數根，也就是函數y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標.所以方程f(x)=0有實數根？函數y=f(x)的圖象與x軸有交點？函數y=f(x)有零點.(2)函數零點的存在性定理如果函數y=f(x)在區間a,b上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且f(a)f(b)<0,那么函數f(x)在區間(a,b)內至少有一個零點，即存在cC(a,b),使得f(c)=0,這個c也就

15、是方程f(x)=0的實數根.針對練1在下列區間中，函數f(x)=ex+4x3的零點所在的區間為()A.B.0 4)C 1 1C. 4 , 2D.解析：選C 因為f111 i= e4 +4x4-3=e4 -2<0, f1i > e1+4x 2-3=e12 -1>0,f!4!fgj<0,所以f(x)=ex+4x3的零點所在的區間為g2；易錯易混要明了1 .不能準確理解基本初等函數的定義和性質.如討論函數y=ax(a>0,a1)的單調性時忽視字母a的取值范圍，忽視ax>0；研究對數函數y=logax(a>0,aw1)時忽視真數與底數的限制條件.2 .易混淆函

16、數的零點和函數圖象與x軸的交點，不能把函數零點、方程的解、不等式解集的端點值進行準確互化.3,函數f(x)=ax2+bx+c有且只有一個零點，要注意討論a是否為零.針對練2函數f(x)=mx2-2x+1有且僅有一個正實數零點，則實數m的取值范圍為1 , 一一 一.解析：當m= 0時，f(x)=2x+1,則x = 2為函數的零點.當 mw0時，右 A= 4 4m=0,即當 m= 1時，x= 1是函數唯一的零點.若 A= 44mw0,即 mw 1時，顯然 x= 0不是函數的零點.這樣函數有且僅有一個正實數零點等價于方程f(x)= mx22x+1有一個1 正根一個負根.因此 m<0.則m<

17、;0.綜上知實數 m的取值范圍是(一8, 0瓜1.答案：( 8, 0U1課時跟檢測A級一一12 + 4提速練、選擇題1. (2018 河北監測)設 a=log32, b=ln 2,1c= 52,則(A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a解析：選C1因為c= 5 2 =古<2'ln 2a=log32=|n3<ln 2 = b,1 -a= log32>log3V3=-2，所以c<a<b,故選C.2. (2018鄭州質量預測)已知函數f(x)=g：Xcosx,則f(x)在0,2n4：的零點

18、個數為()A.1B.2C.3D.4解析：選C作出g(x)=gj與h(x)=cosx的圖象(圖略)，可以看到其在0,2nrB的交點個數為3,所以函數f(x)在0,2周的零點個數為3,故選C.22x+m-3,若函數f(x)=(x+1)2x_1是奇函數，則m的值是()A.-1B.1C.-2D.222x+m2解析：選B設g(x)=x+1,h(x)=-x,易知g(x)=x+1是偶函數，則依題意可得2-12x+m2x+m2x+mh(x)=是奇函數，故h(-x)=-h(x)=-，化簡得2x+m=m2x+1,2x-12-12x-1解得m=1.選B.4 .若函數f(x)=m+log2x(x>1)存在零點，

19、則實數m的取值范圍是()A.(8,0B.0,+OO)C.(8,0)D.(0,)解析：選A:函數f(x)=m+log2x(x>1)存在零點，方程m+log2X=0在x>1時有解,m=log2x<log2l=0.5 .已知實數a=log23,b=j,c=log130，則它們的大小關系為()3A. a>c>bC. a>b>c解析：選B 由對數函數的性質知B. c>a>bD. b>c>a1<a= log23<2,11c= log1 30>log 1 27 =3>2,又 b=21=%<1,從而c>a&g

20、t;b.故選B.96 .若函數y=loga(x2ax+1)有最小值，則a的取值范圍是()A.(0,1)B.(0,1)U(1,2)C.(1,2)D,2,+oo)解析：選C當a>1時，若y有最小值，則說明x2-ax+1有最小值，故x2-ax+1=0中A<0,即a24<0,2>a>1.當1>a>0時，若y有最小值，則說明x2ax+1有最大值，與二次函數性質相互矛盾，舍去.綜上可知，選C.7,若a=2x,b=10glx,則a>b”是爻>1"的()2A.充分不必要條件B.必要不充分條件B 4,6D. (4,6)C.充要條件D.既不充分也不必

21、要條件解析：選B如圖，x=x°時，a=b,.若a>b,則得到x>x°,且x0<1,a>b不一定得到x>1,充分性不成立；若x>1,則由圖象得到a>b,必要性成立.a>b”是x>1”的必要不充分條件.故選b.8. (2018廣東汕頭模擬)設函數f(x)是定義在R上的周期為2的函數，且對任意的實數X,恒有f(x)-f(-x)=0,當xC1,0時，f(x)=x2,若g(x)=f(x)-logax在x(0,+00)上有三個零點，則a的取值范圍為()A.3,5C.(3,5)解析：選Cf(x)f(x)=0,f(x)=f(x),.(x

22、)是偶函數，根據函數的周期性和奇偶性作出函數f(x)的圖象如圖所示:ENG1 2 3 4 5 6 sg(x)=f(x)-logax在(0,+8)上有三個零點,.,y=f(x)和y=logax的圖象在(0,+OO)上有三個交點，作出函數y=logax的圖象，如圖,rloga3<1,loga5>1,解得3<a<5.故選C.La>1,9. (2018鄭州模擬股mCN,若函數f(x)=2xm/10x+10存在整數零點，則符合條件的m的個數為()B. 3D. 5A.2C.4解析：選C 由f(x)= 0得2x+ 1010-x>0,m= /.又mC N,因此有*10-x解

23、得一 2x+10>0,5<x<10,xCZ,.x=-5,4,3,，1,2,3,，8,9,將它們分別代入m=,110-x驗證得，符合條件的m的取值為0,4,11,28,共4個，故選C.10. (2018唐山市擬)奇函數f(x),偶函數g(x)的圖象分別如圖(1),(2)所示，函數f(g(x),A. 3C. 10g(f(x)的零點個數分別為)B.7-1圖D.14解析：選C 由題中函數圖象知f(土) = 0,f(0)=0, g=0, g(0)=0, g(±)=1, g(=-1,所以f(g(±)=f(1)=0,f(g(±)=f(1)=0,f。f(0)=0

24、,f(g(0)=f(0)=0,所以f(g(x)有7個零點,即m=7.又g(f(0)=g(0)=0,g(f()=g(0)=0,所以g(f(x)有3個零點，即n=3.所以m+n=10,選C.11. (2018成都模擬)定義在R上的偶函數f(x)滿足f(1-x)=f(1+x),且當xC1,2時,f(x)=lnx.則直線x-5y+3=0與曲線y=f(x)的交點個數為(參考數據：ln2=0.69,ln3H0)()A.3B.4C.5D.6解析：選B由f(1x)=f(1+x)知，函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱，又當x1,2時，f(x)=lnx,則當xC0,1時，f(x)=ln(2-x),由f(x)是定

25、義在R上的偶函數，得f(-x)=f(x),所以f(x+2)=f(x+1)+1=f1-(x+1)=f(-x)=f(x),于是f(x)是周期為2的周期函數，值域為0,ln2,從而可以畫出函數f(x)的大致圖象(如圖所示)，-3 -L P jr=f(x)-2 -131,一然后回出直線y=g(x)=gx+5.當x=3時，f(-3)=f(3)=f(1)=0,g(-3)=5X(-3)+3=0,此時有個交點；當x=0時，f(0)=f(2)=ln2=0.69,g(0)=0.6,g(0)<f(0);當55x=2時，f(2)=ln2=0.69,g(2)=1,g(2)>f(2),于是根據圖象，直線x5y

26、+3=0與曲線y=f(x)的交點個數為4,故選B.12. (2019屆高三福州四校聯考)已知函數m有兩個零點Xi, x2,則Xi x2的取值范圍是(A. 42ln 2, i )B.C ( 8, 42ln 2D.ln x, x> 1,解析：選D 因為函數f(x)= i x1 2, x<1,ln x, x> 1,f(x)=j x若 F(x) = ff(x)+1 +|J-2, x<1,)(e, +°° )(巴 Ve)ln(ln x+ 1)+ m, x> 1,所以F(x)=S / x由ln,2 ;+ m, x<1 ,F(x)=0 得，x1 = e

27、e m 1, X2=4 2e m,由彳x1> 1,X2<123得m<ln2.設t= e m,則t>3,所以32x1x2=2et/(2t),設g(t)=2et1(2-t),則g(t)=2et1(1-t),因為t>2,所以g(t)=2et1(1-t)<0,即函數 g(t)=2et-1(2 t)在區間3十 °°)是減函數，所以 g(t)<gg = ee,故選D.二、填空題則心/+ 60中6產W),x"13. (2018南寧、柳州模擬)已知函數f(x)=log1x,x>02解析：由題可知Ci=log14=2,因為晦6<

28、0,所以f(log2()=g°g26=2log26=6,2故fC)+018.答案：814. (2018福建模擬)已知函數f(x)=("xa5x>1,有兩個零點，則實數a的取值范Un(1x)x<1圍是.解析：當x<1時，令ln(1-x)=0,解得x=0,故f(x)在(8,1)上有1個零點，.f(x)在1,+8)上有1個零點.當x>1時，令<Xa=0,得a=/x>1.實數a的取值范圍是1,+8).答案：1,+00)15. .已知函數f(x)為偶函數且f(x)=f(x4),又在區間0,2上f(x)=2x2x+5,0、x、1,函數g(x)=g+a

29、,若f(x)="x)g(x)恰有2個零點，則a必2x,1<xW2,2=.解析：由題意可知f(x)是周期為4的偶函數，畫出函數f(x)與g(x)人y=f(x)的大致圖象，如圖，由圖可知若F(x)=f(x)g(x)恰有2個零點，則有g(1)=f(1),解得a=2.答案：216.(2018貴州模擬)20世紀30年代，為了防范地震帶來的災害，里克特(C.F.Richter)制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M,其計算公式為M=lgA-lgAo,其中A是被測地震的最大振幅，Ao是“標

30、準地震”的振幅.已知5級地震給人的震感已經比較明顯，則7級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的倍.解析：根據題意有lgA=lgAo+lg10M=lg(Ao10M),所以A=Ao10M，則£05=100.答案：100B級難度小題強化練1. (2018武漢模擬)已知x,yCR,且x>y>0,若a>b>1,則一定有()abA.->_B.sinax>sinbyxyC.logax>logbyD.ax>by解析：選D對于A選項，不妨令x=8,y=3,a=5,b=4,顯然，:：；：,A選項錯誤；,，一，、人兀3,3%對于B選項，不妨令x=兀，y=2,

31、a=2,b=2,此時sinax=sin2方0,sinby=sin-2=2,顯然sinax<sinby,B選項錯反；對于C選項，不妨令x=5,y=4,a=3,b=2,此時logax=log35,logby=log24=2,顯然logax<logby,C選項錯誤；對于D選項，a>b>1,當x>0時，ax>bx,又x>y>0,當b>1時，bx>by,ax>by,D選項正確.綜上，選D.2. (2018南昌調研)已知函數f(x)=ex1+4x-4,g(x)=lnx-,若f(x“=g(x=0,則x()A.0<g(X1)<f(X

32、2)B.f(X2)<g(X1)<0C.f(X2)<0<g(X1)D.g(X1)<0<f(X2)解析：選D易知f(x)=ex1+4x4g(x)=Inx1在各自的定義域內是增函數，而f(0)x=e1+0-4=1-4<0,f(1)=e0+4X14=1>0,g(1)=ln1-=-1<0,g(2)=In2-=e122In亍>ln1=0.又f(X1)=g(X2)=0,所以0<X1<1,1<X2<2,所以f(X2)>f(1)>0,g(x1)<g(1)<0,故eg(X1)<0<f(X2).pog1(x+1),xC0,1卜3.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足當x>0時，f(x)=i1lj-|x-3|,xC1,+oo),則關于x的函數f(x)=f(x)a(0<a<1)的所有零點之和為()A.2a-1B.2a-1C.1-2aD.12a解析：選D因為f(x)為R上的奇函數，所以當x<0時，f(x)=-f(-x)=-log1(x+1)xC(1,0)2畫出函數y=f(x)的圖象和直線y=a(0<a<1),如圖.i1+|x3|,xC(一00,1,由圖可知，函數y=f(x)與直線y=a(0<