1、 曲線積分曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分計算計算聯系聯系(一曲線積分與曲面積分曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義=ni ii i Ls f s y x f 1,(lim d ,(+L yy x Q x y x P d ,(d ,(,(,(lim 1i i i n i i i i y Q x P +=聯系sQ P y Q x P L L d cos cos (d d +=+計算三代一定(<二代一定(與方向有關Lsy x f d ,(t f d (,(22+=+L yQ x P d d tQ P d ,(,(+=與路徑無關的四個等價命題條件

2、等價命題在單連通開區域D上P(x, y, Q(x, y具有連續的一階偏導數,則以下四個命題成立.+LyQxPD與路徑無關內在dd1(=+CDCyQxP閉曲線,0dd2(yQxPuyxuD ddd,(3(+=使內存在在.,4(xQyPD=內在曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分定義S z y x f d ,(S z y x n z y x F d ,(,(0r r 聯系+y x R x z Q z y P d d d d d d 計算一投,二代,三換(與側無關一投, 二代, 三定號(與側有關+=S R Q P d cos cos cos (S z y x f d ,(+=xyD yxyx z

3、 z y x z y x f d d 1,(,22y x z y x R d d ,(±=xyD yx y x z y x R d d ,(,ii i i n i i i i S n F =,(,(lim 1r r =n i ii i i S f 1,(lim 定積分 ,時為區間當b a ,時為區域當D 積分概念的聯系定積分二重積分=d (M f =d (M f ,(lim 1i ni M f = f (M 為點函數=d (M f .d ,(Dy x f .d (bax x f,時為空間區域當,時為空間曲線當.d ,(d (=SS z y x f M f 曲面積分曲線積分三重積分.d

4、 ,(d (=Ls y x f M f 曲線積分,時為平面曲線當L .d ,(d (=V z y x f M f .d ,(d (=s z y x f M f ,時為曲面當S 計算上的聯系d (,d d ,(d ,(21面元素=bax y x y Dx y y x f y x f d (,d ,(d d d ,(,(,(2121體元素V z z y x f y x V z y x f b ax y x y y x z y x z =+=b aL s x y x y x f s y x f (d (,d 1(,d ,(2曲線元素=ba L x x x y x f x y x f (d (,d (,d ,(投影線元素+=xyD y x yx z z y x z y x f S z y x f d d 1,(,d ,(22=xyDyx y x z y x f y x z y x R d d ,(,d d ,(其中SR Q P y x R x z Q z y P d cos cos cos (d d d d d d +=+sQ P y Q x P LLd cos cos (d d +=+(d (曲面元素S (d d (投影面元素y x理論上的聯系1.定積分與不定積分的聯系牛頓-萊布尼茨公式2.曲線積分與二重積分的聯