1、北 京 交 通 大 學20132014學年第二學期概率論與數理統計期末考試試卷（A卷）一（本題滿分8分） 某中學學生期末考試中數學不及格的為，語文不及格的為，兩門課程都不及格的為 已知一學生數學考試不及格，求他語文考試也不及格的概率（4分）； 已知一學生語文考試不及格，求他數學考試及格的概率（4分） 解： 設“某學生數學考試不及格”，“某學生語文考試不及格” 由題設， 所求概率為 所求概率為二（本題滿分8分） 兩臺車床加工同樣的零件，第一臺車床加工出現不合格品的概率為0.03，第二臺車床加工出現不合格品的概率為0.05；把兩臺車床加工的零件放在一起，已知第一臺車床加工的零件數比第二臺車床加工的

2、零件多一倍現從這兩臺車床加工的零件中隨機地取出一件，發現是不合格品，求這個零件是第二臺車床加工的概率 解： 設“任取一個零件是不合格品”，“任取一個零件是第一臺車床加工的” 所求概率為由Bayes公式得 三（本題滿分8分） 設隨機變量的密度函數為 求常數（3分）； 現對獨立重復地觀察4次，用表示觀察值大于的次數，求（5分） 解： 由密度函數的性質，得 ，因此， 由于所以，隨機變量的分布列為， 所以 四（本題滿分8分） 在正方形中任取一點，求使得方程有兩個實根的概率 解： 設“方程有兩個實根”，所求概率為 設所取的兩個數分別為與，則有， 因此該試驗的樣本空間與二維平面點集中的點一一對應 隨機事件

3、與二維平面點集，即與點集中的點一一對應 所以， 五（本題滿分8分） 一個工廠生產某種產品的壽命（單位：年）的密度函數為 該工廠規定：該產品在售出的一年內可予以調換若工廠售出一個該產品，贏利100元，而調換一個該產品，需花費300元試求工廠售出一個該產品凈贏利的數學期望 解： 設為工廠售出一個產品的凈贏利，則所以， 六（本題滿分9分） 設是由軸、軸及直線所圍成的三角形區域，二維隨機變量在內服從均勻分布求與的相關系數 解： 由于區域的面積為1，因此的聯合密度函數為 當時，所以， 當時，所以， ， ， ， ，所以， ， ， ，所以， 七（本題滿分9分） 某餐廳每天接待位顧客，假設每位顧客的消費額（單

4、位：元）服從區間上的均勻分布，并且每位顧客的消費額是相互獨立的試求： 該餐廳每天的平均營業額（3分）； 用中心極限定理計算，該餐廳每天的營業額在其平均營業額的元之間的概率（6分）（附：標準正態分布的分布函數的某些取值： 解： 設表示第位顧客的消費額，則有 相互獨立，所以，再設表示餐廳每天的營業額，則所以， （元） 由獨立同分布場合下的中心極限定理，有 八（本題滿分8分） 設總體服從參數為的幾何分布，其分布律為 其中是未知參數，是取自該總體中的一個樣本試求參數的極大似然估計量 解： 似然函數為 所以，所以，解方程，得因此的極大似然估計量為九（本題滿分8分） 設總體存在二階矩，記，是從該總體中抽取

5、的一個樣本，是其樣本均值求（4分）及（4分） 解： ， 十（本題滿分9分） 兩臺相同型號的自動記錄儀，每臺無故障工作的時間分別為和，假設與相互獨立，都服從參數為的指數分布，其密度函數為現首先開動其中一臺，當其損壞停用時另一臺自動開動，直至第二臺記錄儀損壞為止令：從開始到第二臺記錄儀損壞時記錄儀的總共工作時間，試求隨機變量的概率密度函數 解： 的密度函數為 ， 的密度函數為由題意，知 ，設的密度函數為，則 作變換 ，則 ， 當時， ；當時， 代入上式，得 當時，由，知 ；當時， 綜上所述，可知隨機變量的密度函數為 十一（本題滿分9分） 設總體服從指數分布，其概率密度函數為，是取自該總體中的一個樣本 求出統計量的密度函數，并指出該分布是什么分布？ 求常數，使得為的無偏估計 解： 由于總體的密度函數為，因此其分布函數為 所以的密度函數為 ，即隨機變量服從參數為的指數分布 由于隨機變量服從參數為的指數分布，所以所以，若使，只需取即可 即若取，即，則是未知參數的無偏估計量十二（本題滿分8分） 設隨機變量與相互獨立，而且都服從正態分布令，（與都是常數），試給出隨機變量與相互獨立的充分