1、響水二中高三數學（理）一輪復習 教案 第七編 不等式 主備人 張靈芝 總第34期§7.4 基本不等式:基礎自測1.已知a0,b0，+=1，則a+2b的最小值為 .答案 7+22.（2009·常州武進區四校高三期中聯考）若x,yR+，且x+4y=1,則x·y的最大值是 .答案 3.已知x0,y0，x,a,b,y成等差數列，x,c,d,y成等比數列，則的最小值是 .答案 44.x+3y-2=0，則3x+27y+1的最小值為 .答案 75.（2008·江蘇，11）x,y,zR+，x-2y+3z=0,的最小值是 .答案 3例題精講 例1 已知x0,y0,z0.求

2、證：8.證明 x0,y0,z0,+0, +0. +0,=8.（當且僅當x=y=z時等號成立）例2 （1）已知x0,y0，且+=1,求x+y的最小值；（2）已知x,求函數y=4x-2+的最大值；（3）若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.解（1）x0,y0,+=1,x+y=(x+y) =+106+10=16.當且僅當=時，上式等號成立，又+=1,x=4,y=12時，(x+y)min=16.（2）x,5-4x0,y=4x-2+=-+3-2+3=1,當且僅當5-4x=,即x=1時，上式等號成立，故當x=1時，ymax=1.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,+=1

3、,x+y=(x+y)=10+=10+210+2×2×=18,當且僅當=,即x=2y時取等號，又2x+8y-xy=0,x=12,y=6,當x=12,y=6時，x+y取最小值18.例3某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計.（1）試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；（2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價.解

4、 （1）設污水處理池的寬為x米，則長為米.則總造價f(x)=400×+248×2x+80×162=1 296x+12 960=1 296+12 9601 296×2+12 960=38 880（元），當且僅當x=(x0),即x=10時取等號.當長為16.2米，寬為10米時總造價最低，最低總造價為38 880元.（2）由限制條件知,10x16.設g(x)=x+.g（x）在上是增函數，當x=10時(此時=16), g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×+12 960=38 882(元).當長為16米，寬為10米時，總造價最低，為38 88

5、2元.鞏固練習 1.已知,a,b,c均為正數，且a+b+c=1，求證：+9.證明 += +=3+3+2+2+2=9.當且僅當a=b=c=時取等號.2.若-4x1,求的最大值.解 =·=-4x1,-(x-1)0,0.從而2-1當且僅當-(x-1)= ，即x=2（舍）或x=0時取等號.即=-1.3.甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/小時）的平方成正比，比例系數為b;固定部分為a元.（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v(千米/小時）的函數，并指出這個函數的定義域

6、；（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？解 （1）建模：依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，全程運輸成本為y=(a+bv2) =sb,v（0,c.（2）依題意，有s,b,a,v都是正數.因此y=sb2s;若c,則當且僅當v=v=時,y取到最小值.若c,則y在（0，c上單調遞減，所以當v=c時，y取到最小值.綜上所述，為了使全程運輸成本最小，當c時，行駛速度應該為v=；當c時，行駛速度應該為v=c.回顧總結 知識方法思想課后作業 一、填空題1.若不等式x2+ax+40對一切x（0，1恒成立，則a的取值范圍是 .答案 a-52. 若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-

7、2,則2a+b+c的最小值為. .答案 2-23.已知0x1，則x(3-3x)取得最大值時x的值為 .答案 4.（2008·栟茶中學模擬）若直線2ax+by-2=0 （a,bR+）平分圓x2+y2-2x-4y-6=0，則+的最小值是 .答案 3+25.函數y=log2x+logx(2x)的值域是 .答案 （-，-13，+）6.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x= 噸.答案 207.（2008·徐州調研）若實數a,b滿足ab-4a-b+1=0 (a1),則(a+1)(b+2)

8、的最小值為 .答案 278.若a,b是正常數，ab,x,y(0,+)，則+,當且僅當=時上式取等號.利用以上結論，可以得到函數f(x)=+ 的最小值為 ，取最小值時x的值為 .答案 25 二、解答題9.（1）已知0x，求x(4-3x)的最大值；（2）點(x,y)在直線x+2y=3上移動，求2x+4y的最小值.解 （1）已知0x,03x4.x(4-3x)=(3x)(4-3x)=當且僅當3x=4-3x,即x=時“=”成立.當x=時，x(4-3x）的最大值為.（2）已知點(x,y)在直線x+2y=3上移動，所以x+2y=3.2x+4y2=2=2=4.當且僅當，即x=,y=時“=”成立.當x=,y=時

9、，2x+4y的最小值為4.10.已知a、b（0，+），且a+b=1,求證：(1)a2+b2; (2)+8; (3)+ ; (4) .證明 由 a、b（0，+），得ab4.（當且僅當a=b=時取等號）(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-2×=，a2+b2.(2)+8,+8.(3)由(1)、(2)的結論，知+ =a2+b2+4+4+8=,+ . (4) =+ab+=+22+2=.11.設a0,b0,a+b=1.（1）證明：ab+4;(2)探索猜想，并將結果填在以下括號內：a2b2+（ ）；a3b3+（ ）；（3）由（1）（2）歸納出更一般的結論，并加以證明.（1）證明

10、方法一 ab+44a2b2-17ab+40(4ab-1)(ab-4)0.ab=()2=,4ab1，而又知ab4,因此（4ab-1）(ab-4)0成立，故ab+4.方法二 ab+=ab+，ab=，4，.當且僅當a=b=時取等號.又ab+2=，當且僅當ab=，即=4,a=b=時取等號.故ab+=4（當且僅當a=b=時，等號成立）.（2）解 猜想：當a=b=時，不等式a2b2+( )與a3b3+( )取等號，故在括號內分別填16與64.（3）解 由此得到更一般性的結論： anbn+4n+.證明如下：ab=,4.anbn+=anbn+2+×4=+=4n+，當且僅當ab=,即a=b=時取等號.12.某工廠統計資料顯示，產品次品率p與日產量x(單位：件，xN*，1x96)的關系如下：又知每生產一件正品盈利a(a為正常數)元，每生產一件次品就損失元.（注：次品率p=×100%，正品率=1-p)（1）將該廠日盈利額T（元）表示為日產量