1、一、 課題引入（利用幾何畫(huà)板探索三角形內(nèi)角和定理）我們已學(xué)習(xí)過(guò)"三角形內(nèi)角和定理為180°" 這條定理，大家有沒(méi)有想過(guò)，最初發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的人，是用什么辦法得到這一結(jié)果的呢？（按照課本剪紙的辦法，通過(guò)不斷的測(cè)量不同的三角形而猜想得到結(jié)果.等等）下面我們就從最原始的辦法入手，一個(gè)角度一個(gè)角度的測(cè)量，然后計(jì)算不同的三角形的內(nèi)角和，看看結(jié)果到底如何。1、 首先，我們畫(huà)出ABC（圖1）2、 接下來(lái)，我們測(cè)量出它的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)（圖2）3、 計(jì)算ABC三個(gè)內(nèi)角的和（圖3）4、 改變ABC的形狀，把測(cè)量所得結(jié)果列表觀察，得出結(jié)論（圖4）5、 至此，我們可以得到猜想：三角形內(nèi)角和

2、為180°。（利用課本上介紹的方法可以從理論上證明結(jié)論的正確性） 。二、知識(shí)點(diǎn)講解。1、 軟件介紹：幾何畫(huà)板軟件是由美國(guó)Key Curriculum Press公司制作并出版的幾何軟件，它的全名是幾何畫(huà)板-21世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何，由人民教育出版社漢化。 幾何畫(huà)板是一個(gè)適用于幾何（平面幾何、解析幾何、射影幾何等）教學(xué)的軟件平臺(tái)。它為老師和學(xué)生提供了一個(gè)探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境。它以點(diǎn)、線、圓為基本元素，通過(guò)對(duì)這些基本元素的變換、構(gòu)造、測(cè)算、計(jì)算、動(dòng)畫(huà)、跟蹤軌跡等，它能顯示或構(gòu)造出其它較為復(fù)雜的圖形。它的特色首先能把較為抽象的幾何圖形形象化，但是它最大的特色是"動(dòng)態(tài)性"

3、，即：可以用鼠標(biāo)拖動(dòng)圖形上的任一元素（點(diǎn)、線、圓），而事先給定的所有幾何關(guān)系（即圖形的基本性質(zhì)）都保持不變，這樣更有利于在圖形的變化中把握不變，深入幾何的精髓，突破了傳統(tǒng)教學(xué)的難點(diǎn)。 2、 入門(mén)知識(shí)（1）雙擊桌面上的幾何畫(huà)板圖標(biāo)，打開(kāi)幾何畫(huà)板，如圖5；（2）工具框中的工具是使用最多的工具，下面我們逐一介紹工具框中的各種工，具的使用方法第一個(gè)工具是選擇工具 ，用來(lái)選擇一個(gè)對(duì)象，按住它向右拖，可以發(fā)現(xiàn)還有另外兩個(gè)工具和 ，分別是用來(lái)對(duì)對(duì)象進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和縮放的工具。第二個(gè)工具是畫(huà)點(diǎn)工具。將鼠標(biāo)移動(dòng)到 ，并單擊鼠標(biāo)左鍵就選擇好了畫(huà)點(diǎn)工具，然后再將鼠標(biāo)移動(dòng)到工作區(qū)并單擊就可以畫(huà)一個(gè)點(diǎn)。第三個(gè)工具是

4、畫(huà)圓工具。將鼠標(biāo)移動(dòng)到 ，并單擊鼠標(biāo)左鍵就選擇好了畫(huà)圓工具，然后再將鼠標(biāo)移動(dòng)到工作區(qū)，按住鼠標(biāo)左鍵不放并拖動(dòng)鼠標(biāo)到另一位置后松開(kāi)鼠標(biāo)左鍵，就可以畫(huà)一個(gè)圓。第四個(gè)工具是畫(huà)線段工具。將鼠標(biāo)移動(dòng)到 并單擊鼠標(biāo)左鍵就選擇好了畫(huà)線段工具，然后再將鼠標(biāo)移動(dòng)到工作區(qū)，按住鼠標(biāo)左鍵不放并拖動(dòng)鼠標(biāo)到另一位置后松開(kāi)鼠標(biāo)左鍵，就可以畫(huà)一條線段，按住 向右拖，可以發(fā)現(xiàn)還有另外兩個(gè)工具 和 ，分別是用來(lái)作射線和直線的工具。第五個(gè)工具是文本工具。將鼠標(biāo)移動(dòng)到 ，并單擊鼠標(biāo)左鍵就選擇好了文本工具，雙擊工作區(qū)中的文本就可以改變文本的格式。第六個(gè)工具是對(duì)象信息工具。將鼠標(biāo)移動(dòng)到 ，并單擊鼠標(biāo)左鍵就選擇好了對(duì)象信息工具。將鼠標(biāo)移

5、動(dòng)到工作區(qū)，并雙擊工作區(qū)中的對(duì)象可以得到對(duì)象的有關(guān)信息。第七個(gè)工具是腳本工具（可能有的同學(xué)的工具欄上沒(méi)有出現(xiàn)這一工具，這是由于尚未正確設(shè)置腳本工具目錄的緣故）。將鼠標(biāo)移動(dòng)到 ，并單擊鼠標(biāo)左鍵就選擇好了腳本工具（此工具往往能夠起到事半功倍的效果）。 （3）接下來(lái)我們介紹功能菜單。幾何畫(huà)板的功能菜單結(jié)構(gòu)與大多數(shù)Windows應(yīng)用程序差不多。它一共有九個(gè)下拉菜單，分別為"文件"，"編輯"，"顯示"，"構(gòu)造"，"變換"，"測(cè)算"，"圖面"，"窗

6、口"，"幫助"。"文件"，"編輯"，"幫助"下拉菜單與大多數(shù)應(yīng)用程序的結(jié)構(gòu)差不多，都包括了"保存"，"復(fù)制"，"粘貼"，"幫助"等常見(jiàn)功能。其它幾個(gè)菜單是幾何畫(huà)板的精髓部分。（注：由于翻譯的原因，可能菜單名稱(chēng)與此有一點(diǎn)差距，但其功能完全一樣！）3、 接下來(lái)，我們以"三角形內(nèi)角和定理"為例來(lái)學(xué)習(xí)它的部分功能。（1） 首先，我們畫(huà)出ABC（圖1）。我們有兩種辦法畫(huà)出這個(gè)三角形。方法一：選擇畫(huà)點(diǎn)工具 ，依次在工作

7、區(qū)內(nèi)畫(huà)三個(gè)點(diǎn)A、B、C，按住"Shift"鍵的同時(shí)，選擇A、B、C，單擊"構(gòu)造"菜單下的"線段"，即可畫(huà)出此三角形；方法二：選擇線段工具 ，然后在工作區(qū)內(nèi)按下鼠標(biāo)左鍵拖動(dòng)一定距離，松開(kāi)鼠標(biāo)，作出一條線段AB，接下來(lái)從B點(diǎn)出發(fā)，再作一條線段BC，再把AC連結(jié)起來(lái)，即可畫(huà)出此三角形。（2） 接下來(lái)，我們測(cè)量出它的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)（圖2）按住"Shift"鍵的同時(shí)，依次選擇點(diǎn)B、A、C，然后選擇"測(cè)算"菜單下的"角度"菜單項(xiàng)，即可測(cè)量出BAC的度數(shù)；用同樣的方法可以測(cè)出ABC和ACB

8、的度數(shù)。（注意頂點(diǎn)一定要作為初選擇的第二個(gè)字母）（3） 計(jì)算ABC三個(gè)內(nèi)角的和（圖3）選擇"測(cè)算"菜單下的"計(jì)算"菜單項(xiàng)，彈出一個(gè)計(jì)算器（如圖6）。依次單擊"BAC=97.0° "，"+"，"ABC=45.0° "，"+"，"ACB=38.0° "，再按"確定"按鈕，即可計(jì)算出 ，拖動(dòng)A點(diǎn)發(fā)現(xiàn)ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)發(fā)生了改變，然而其三個(gè)內(nèi)角的和始終為180° 。（4） 改變ABC的形狀，把測(cè)量所得結(jié)

9、果列表觀察，得出結(jié)論（圖4）依次選擇"BAC=97.0° "，"ABC=45.0° "，"ACB=38.0° "， ，然后選擇"測(cè)算" 菜單下的菜單項(xiàng)"固定成表格"，將上述四個(gè)因素固定成表格的形式。改變A點(diǎn)位置，從而改變各內(nèi)角的度數(shù)，再選中表格，然后選擇"測(cè)算"菜單項(xiàng)下的"增加表格的項(xiàng)"，把新得到的結(jié)果列入表格中（亦可直接雙擊表格達(dá)到增項(xiàng)的目的）。（5） 請(qǐng)大家觀察，三角形三個(gè)內(nèi)角的和有什么規(guī)律？  三、練習(xí)：利用幾

10、何畫(huà)板探索四邊形內(nèi)角和為多少度？五邊形內(nèi)角和為多少度？n邊形內(nèi)角和為多少度？  第二講 幾何畫(huà)板基本知識(shí)（二）三角形中的有關(guān)線段研究一、三角形的角平分線三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。（注意：此處角平分線是指線段而不是射線）一個(gè)三角形有三條內(nèi)角平分線。下面我們來(lái)畫(huà)出這個(gè)三角形的三條角平分線。1、 首先，我們畫(huà)出一個(gè)三角形ABC（圖1）2、 按住"Shift"鍵，依次選擇點(diǎn)B、A、C，然后選擇"構(gòu)造"菜單下的"角平分線"菜單項(xiàng)，作出BAC的平分線AM。（注意

11、：此時(shí)為一條射線），如圖2；3、 按住"Shift"鍵，選擇射線AM和線段BC，單擊"構(gòu)造"菜單下的"交點(diǎn)"菜單項(xiàng)命令，畫(huà)出兩條線的交點(diǎn)，用文本工具 指向此點(diǎn)，當(dāng)手指變黑時(shí)，單擊此交點(diǎn)，把標(biāo)簽顯示出來(lái)，標(biāo)為D。如果不是D或要改變?yōu)槠渌淖帜福捎梦谋竟ぞ唠p擊該標(biāo)簽，彈出一個(gè)對(duì)話(huà)框，如圖3。 4、 用選擇工具 選中射線AM，然后選擇"顯示"菜單下的"隱藏射線"菜單項(xiàng)，則射線AM被隱藏。 5、 按住"Shift"鍵，選擇A點(diǎn)和D點(diǎn)，然后選擇"構(gòu)造"菜單下的&q

12、uot;構(gòu)造線段"菜單項(xiàng)，則ABC中A的平分線就畫(huà)了出來(lái)。 6、 下面我們來(lái)檢驗(yàn)一下，線段AD是否真的是ABC中BAC的平分線。由定義可知，如果AD是ABC的角平分線，那么有BAD=DAC= 1/2BAC。分別測(cè)量出各個(gè)角的度數(shù)，如圖5，果然不出所料7、 請(qǐng)大家自己畫(huà)出ABC中B的平分線。參考圖6。8、 接下來(lái)，我們?cè)佼?huà)出ABC中C的平分線。我們當(dāng)然可以利用與前面同樣的方法來(lái)畫(huà)出這條角平分線。如圖7大家仔細(xì)觀察這個(gè)圖，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？改變?nèi)切蔚男螤睿@條規(guī)律仍然成立嗎？（規(guī)律：三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)） 9、 既然這樣，我們還可以考慮用其它的方法來(lái)畫(huà)出ABC中C的平分線。先

13、作出線段AD和BE的角平分線的交點(diǎn)O，然后單擊線段工具 ，向右拖動(dòng)，選擇射線工具 ，再單擊選擇工具 ，按住"Shift"鍵的同時(shí)，選擇點(diǎn)C和點(diǎn)O（注意一定要先選C再選O），然后選擇"構(gòu)造"菜單下的"射線"菜單項(xiàng)，作出射線CO，然后作出射線CO與AB的交點(diǎn)F，隱藏射線CO再連結(jié)CF，得到ACB的平分線CF。（這種畫(huà)法是根據(jù)"三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)"而想到的） 10、 如果大家覺(jué)得作出的三角形都是黑色線段，不夠美觀，你可以選中要改變顏色的線段或其它對(duì)象，然后選擇"顯示"菜單下的"顏

14、色"菜單項(xiàng)，選擇一種你喜歡的顏色，則所選對(duì)象的顏色立即發(fā)生改變。同時(shí)，我們也可把某些線段用虛線表示，只需要選擇"顯示"菜單下的"線類(lèi)型"菜單項(xiàng)，選中"虛線"，即可實(shí)現(xiàn)。（如圖8） 二、三角形的中線 在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。同樣，此處是指線段，而不是射線或直線。 1、 先作出一個(gè)三角形ABC，如圖92、 選擇線段BC，然后選擇"構(gòu)造"菜單下的"中點(diǎn)"菜單項(xiàng)，作出BC的中點(diǎn)D，選擇點(diǎn)A和點(diǎn)D，選擇"構(gòu)造"菜單下的"

15、;線段"菜單項(xiàng)，作出線段AD，則得到ABC中BC邊上的中線。（如圖10）3、 由定義知，如果AD是ABC的中線，那么有BD=CD= 1/2BC，接下來(lái)我們來(lái)測(cè)量其長(zhǎng)度。選擇B點(diǎn)和D點(diǎn)，再選擇"測(cè)量"菜單下的"距離"菜單項(xiàng)，量得BD的長(zhǎng)度，同樣可以量得CD的長(zhǎng)度和BC的長(zhǎng)度。（如圖11）如果想把其中的"距離" 兩個(gè)字去掉，可用文本工具 雙擊測(cè)量結(jié)果，彈出對(duì)話(huà)框（如圖12），單擊"文本格式"按鈕，出現(xiàn)對(duì)話(huà)框（如圖13）在第一個(gè)文本框中輸入"BD"，按"確定"按鈕即可。對(duì)

16、其它兩個(gè)文本可實(shí)行同樣的操作，結(jié)果如圖14；4、 請(qǐng)大家自己作出AC和AB邊上的中線BE和CF。（參考圖15）5、 通過(guò)圖15，我們可以得出什么結(jié)論？6、改變?nèi)切蔚男螤睿Y(jié)論仍然成立。 三、三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊畫(huà)垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱(chēng)為三角形的高。1、 首先我們作一個(gè)銳角三角形ABC，（如圖16）2、 選擇A點(diǎn)和線段BC，再選擇"構(gòu)造"菜單下的"垂直線"菜單項(xiàng)，作出線段BC的垂線，選擇該直線和線段BC，作出它們的交點(diǎn)D，隱藏直線AD，再選中A點(diǎn)和D點(diǎn)，構(gòu)造出線段AD，則AD就是ABC中BC邊上的高（圖

17、17）。3、 同樣，我們可以測(cè)量出BDA=CDA=90°（如圖18） ，從而符合三角形高的定義。4、 為了作出圖中的直角符號(hào)，需要花費(fèi)一番心思。作一條較短的線段EF（此處為了節(jié)省勞動(dòng)時(shí)間，把作這個(gè)直角符號(hào)的制作過(guò)程錄成腳本。選擇"文件"菜單下的"新腳本"菜單項(xiàng)，打開(kāi)一個(gè)新腳本窗口（如圖19），單擊"錄制"按鈕，即可將接下來(lái)所做的工作記錄下來(lái)）。5、 選擇點(diǎn)D和線段EF，單擊"構(gòu)造"菜單下的"以圓心和半徑畫(huà)圓"菜單項(xiàng)，作出一個(gè)圓，此圓交AD于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H，連結(jié)G和H，按住"

18、;Shift"鍵，選擇點(diǎn)D和線段GH，再雙擊線段GH，將它標(biāo)記為反射中心，然后選擇"變換"菜單中的"反射"命令，作出D點(diǎn)關(guān)于線段HG的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，連結(jié)D'H和D'G，得到圖20。調(diào)整EF到合適的長(zhǎng)度，并隱藏線段EF、GH，點(diǎn)H、G、D'和圓D，即可得到圖18中的直角符號(hào)。此時(shí)轉(zhuǎn)到腳本窗口，并單擊"停止"按鈕，即可將此過(guò)程錄制完畢。6、 你可以在"在這里輸入您的注釋"欄中加入你自己的注解，例如將此腳本命名為"直角標(biāo)記"并在后面注明此腳本由某某設(shè)計(jì)。然后將此

19、腳本以一個(gè)名字保存起來(lái)，例如以"直角標(biāo)記.gss"作為名字保存。（圖21）7、 接下來(lái)，我們用同樣的方法作出AC邊上的高BE，然后再來(lái)利用剛才制作的腳本"直角標(biāo)記.gss"，標(biāo)記直角符號(hào)。先作一條短線段MN。同時(shí)選到點(diǎn)E、線段MN、BE和AC（注意一定要按順序選擇），打開(kāi)剛才設(shè)計(jì)的腳本"直角標(biāo)記.gss"，在這里，可以有三種選擇"單步"，"播放"，"快放"，選擇"單步"按鈕，即可自己控制一步一步的把這個(gè)直角標(biāo)記畫(huà)出來(lái)，選擇"播放"按鈕，

20、由電腦控制一步一步的把它完成，而選擇"快放"按鈕，則由電腦在極短的時(shí)間內(nèi)把結(jié)果呈現(xiàn)出來(lái)。任選取一種方式都可以達(dá)到目的。8、 請(qǐng)大家把AC邊上的高BF作出來(lái)，并標(biāo)記它們角度。9、 此時(shí)，大家又可發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？（可能有學(xué)生回答：三角形三條高線交于一點(diǎn)）那么這個(gè)結(jié)論正確嗎？（通過(guò)觀察不同的三角形：銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形（如圖22），得到結(jié)論：三角形三條高或高的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)。第三講 幾何畫(huà)板基本知識(shí)（三）記錄的使用下面我們來(lái)學(xué)習(xí)如何生成一個(gè)記錄文件并靈活使用這個(gè)記錄文件我們來(lái)將一個(gè)三角形的作圖過(guò)程錄制下來(lái)，以后要作一個(gè)三角形的時(shí)候，就可以直接拿出來(lái)使用。首先請(qǐng)大家打

21、開(kāi)幾何畫(huà)板，出現(xiàn)一個(gè)空白的工作區(qū)，然后用鼠標(biāo)單擊"文件"菜單下的"新記錄"菜單項(xiàng)，新建一個(gè)記錄文件如圖1。請(qǐng)大家點(diǎn)擊新記錄窗口的"錄制"按鈕，開(kāi)始把以下作圖過(guò)程記錄下來(lái)。選中"線段" 工具，依次拖動(dòng)，畫(huà)出不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接，構(gòu)成一個(gè)三角形ABC，此時(shí)記錄窗口會(huì)同步記下作圖過(guò)程（如圖2）。點(diǎn)擊記錄窗口的"停止"按鈕，結(jié)束記錄過(guò)程。此時(shí)，仔細(xì)觀察記錄窗口，發(fā)現(xiàn)它主要由5部分組成，標(biāo)題欄寫(xiě)著"記錄01.gss"，表示是此記錄文件名，后綴為"*.gss&

22、quot;表示為幾何畫(huà)板的記錄文件，如果選擇"文件"菜單"存盤(pán)"命令，可將它以另一個(gè)名字保存，例如將它存為"三角形.gss"，注意：前綴最多為8個(gè)英文字符（或四個(gè)中文字符）；接下來(lái)一共有五個(gè)按鈕，剛才我們已經(jīng)用?quot;錄制"和"停止" 這兩個(gè)按鈕，左邊三個(gè)按鈕分別為"階進(jìn)"，"播放"和"快進(jìn)"，這三者的區(qū)別在于："階進(jìn)"按鈕，需要自己點(diǎn)擊鼠標(biāo)，一步一步的畫(huà)出圖來(lái)；"播放"按鈕，只需選定所需條件后，點(diǎn)擊&

23、quot;播放"，則由電腦一步一步的顯示作圖過(guò)程；而"快進(jìn)"按鈕，則一步到位，立即顯示出作圖結(jié)果。再接下來(lái)為一個(gè)文本框，寫(xiě)著"請(qǐng)?jiān)谶@輸入注釋"，即要求你輸入有關(guān)這個(gè)記錄的說(shuō)明，例如我們?cè)诖溯斎?quot;三角形"。再接下來(lái)，出現(xiàn)了一個(gè)黑色框，其中反白顯示著"前提，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C"，這表明如果要執(zhí)行這個(gè)記錄，必須首先按照此順序選中三個(gè)點(diǎn)，才能保證記錄能夠正確執(zhí)行，否則就會(huì)彈出一個(gè)對(duì)話(huà)框（如圖4）提示你要給定合適的前提；再接下來(lái)的框中記錄了你剛才作圖的步驟。要想使用這個(gè)記錄，你可以在工作區(qū)中依次選中三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)擊&qu

24、ot;播放"按鈕，即可作出一個(gè)三角形。如果我們想以后也能使用這個(gè)記錄，則必須把它存盤(pán)。我們?cè)诎惭b程序目錄下新建一個(gè)目錄" tools"，將該記錄文件存放在該目錄中，等下我們會(huì)用到它。練習(xí)11）畫(huà)一個(gè)銳角三角形，作出它的三條角平分線，取其交點(diǎn)（內(nèi)心），并將此過(guò)程記錄下來(lái)，將記錄文件保存在目錄"tools"下面；2）畫(huà)出一個(gè)銳角三角形，作出它的三條中線，并取其交點(diǎn)（重心），將記錄文件保存在目錄"tools"下面；3）畫(huà)出一個(gè)銳角三角形，作出它的三條高，并取其交點(diǎn)（垂心），將記錄文件保存在目錄"tools"下面

25、（不要求標(biāo)記直角符號(hào)）；4）畫(huà)出一個(gè)銳角三角形，作出它的三條垂直平分線，并取其交點(diǎn)（外心），將記錄文件保存在目錄"tools"下面；（注意用不同的顏色表示不同類(lèi)型的線條）為了方便的使用我們已經(jīng)錄制好的記錄，我們有必要把它放在某個(gè)固定的地方，以供隨時(shí)調(diào)用。大家注意到，在工具欄中有一個(gè)工具 ，稱(chēng)之為記錄工具（可能有的同學(xué)的工具欄中沒(méi)有，那只是由于沒(méi)有設(shè)置好工具目錄的緣故）請(qǐng)大家選擇"顯示"菜單，出現(xiàn)圖5所示的下拉菜單，再選擇"參數(shù)選擇"菜單項(xiàng)，彈出如圖6所示對(duì)象參數(shù)選擇對(duì)話(huà)框，再點(diǎn)擊"其它"按鈕，彈出如圖7所示高級(jí)參數(shù)

26、選擇對(duì)話(huà)框，看到中間的"記錄工具目錄："標(biāo)簽，點(diǎn)擊"設(shè)置"按鈕，可以設(shè)置記錄文件所在的目錄，點(diǎn)擊"清除"按鈕，可將剛才所做的設(shè)置清除。設(shè)置好記錄工具目錄后，按"繼續(xù)"按鈕，可返回圖6所示畫(huà)面，再按"確定"按鈕，可以發(fā)現(xiàn)你的工具欄中多了一個(gè)圖標(biāo) ，此時(shí)，用鼠標(biāo)單擊此圖標(biāo)向右拖動(dòng)，可以出現(xiàn)如圖8所示畫(huà)面，選中"三角形"，即可在工作區(qū)通過(guò)對(duì)鼠標(biāo)的拖動(dòng)得到一個(gè)三角形。下面請(qǐng)大家設(shè)置好自己的腳本工具目錄，并按照剛才的步驟作出一個(gè)三角形。練習(xí)2利用記錄工具，在同一個(gè)銳角三角形中作出三角形

27、的三條中線，三條高，三條角平分線，三條垂直平分線（用不同的顏色表示），并標(biāo)出四個(gè)交點(diǎn)。思考：這四個(gè)交點(diǎn)有可能重合為一點(diǎn)嗎？如果可能，此時(shí)該三角形是什么形狀的三角形？參考圖形：在上面探索三角形的形狀的過(guò)程中，我們看到，我們猜想到結(jié)果是一個(gè)等邊三角形，然而卻很難控制它，使它成為一個(gè)等邊三角形，下一節(jié)課我們將學(xué)習(xí)如何使我們的結(jié)果更加精確，更有說(shuō)服力。第四講 幾何畫(huà)板基本知識(shí)（四）操作類(lèi)按鈕的使用打開(kāi)編輯菜單，再點(diǎn)擊"操作類(lèi)按鈕"，可見(jiàn)到五個(gè)菜單項(xiàng)，"移動(dòng)"，"動(dòng)畫(huà)"，"隱藏顯示"，"系列"，"

28、;演示按鈕"。這五個(gè)按鈕是把幾何畫(huà)板用活的最關(guān)鍵的部分。下面我們來(lái)分別介紹這五個(gè)菜單項(xiàng)的使用一、 靈活運(yùn)用"移動(dòng)"按鈕。1、下面我們先來(lái)學(xué)習(xí)如何實(shí)現(xiàn)一個(gè)三角形與另一個(gè)三角形重合。1) 作水平線段EF，在EF上任取一點(diǎn)G，并度量出線段EG的長(zhǎng)；2) 選中度量出的線段EG的長(zhǎng)度，然后選擇"變換"菜單下的"標(biāo)記距離"；3) 任作一個(gè)三角形ABC；4)選中ABC，并選擇"變換"菜單下的"平移"，彈出一個(gè)對(duì)話(huà)框（如圖2）在"按標(biāo)記的距離"前打上勾，再按確定按鈕。則ABC向右平

29、移得到了另一個(gè)A'B'C'。如圖1。5) 按住"Shift"鍵，依次選擇G點(diǎn)和E點(diǎn)（注意先后順序），然后選擇"編輯"菜單下的"操作類(lèi)按鈕"->"移動(dòng)"，彈出一個(gè)對(duì)話(huà)框（如圖3）。在這里可以根據(jù)不同的需要選擇移動(dòng)的速度為"慢速"，"中速"，"快速"，"急速"。我們選擇"慢速"，再按"確定"按鈕，出現(xiàn)了一個(gè)按鈕"移動(dòng)G->E"。同理選擇G點(diǎn)和F點(diǎn)

30、，作出另一個(gè)按鈕"移動(dòng)G->F"（如圖1）。6) 雙擊"移動(dòng)G->E"，可使兩個(gè)三角形重合，再雙擊"移動(dòng)G->F"，又可使這兩個(gè)三角形分開(kāi)。  二、動(dòng)畫(huà)按鈕的使用1、構(gòu)造單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的按鈕1) 作一條線段AB，任取AB上一點(diǎn)C。 2）按住"Shift" 鍵的同時(shí)選擇點(diǎn)C和線段AB，并單擊"編輯"菜單下的"操作類(lèi)按鈕"菜單項(xiàng)，再選擇"動(dòng)畫(huà)"彈出一個(gè)對(duì)話(huà)框如圖4，這里有三個(gè)下拉框供選擇。"點(diǎn)C移動(dòng)"，有三種

31、選擇"雙向"，"單向"，"一次"，表示點(diǎn)C是在線段上雙向運(yùn)動(dòng)還是只向一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)或只運(yùn)動(dòng)一次。"沿著線段j"表示點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑，而"快速地"，"正常地"，"慢慢地"表示點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的速度。這里可以根據(jù)需要而選擇相應(yīng)的項(xiàng)。例如我們選擇"雙向"，"快速地"運(yùn)動(dòng)，再按"確定"按鈕，再出現(xiàn)如圖5所示按鈕。雙擊此按鈕，可以見(jiàn)到C點(diǎn)在AB上快速地雙向運(yùn)動(dòng)。 3）如果我們想把畫(huà)面變漂亮一點(diǎn)，此處可以充分發(fā)

32、揮你的創(chuàng)意。例如我們可以利用畫(huà)圖軟件畫(huà)一個(gè)圓，然后把它復(fù)制，再回到幾何畫(huà)板中選中C點(diǎn)，選擇"編輯"菜單下的"粘貼"命令。則此圓將隨著C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。如果你把線段AB和C點(diǎn)都隱藏起來(lái)，則畫(huà)面上就只見(jiàn)到一個(gè)圓在運(yùn)動(dòng)。類(lèi)似的，我們可以把其它圖片粘貼過(guò)來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)畫(huà)面。 4) 制作動(dòng)畫(huà)按鈕的要求是：自由的點(diǎn)在某一條軌跡上運(yùn)動(dòng)。所謂自由點(diǎn)，是指它本身可以在某一條軌跡上任意移動(dòng)。例如，在線段上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)可以在該線段上任意移動(dòng)，在圓上任取一點(diǎn)，我們又可實(shí)現(xiàn)該點(diǎn)在圓上任意移動(dòng)。如果把我們把希望移動(dòng)的對(duì)象粘貼在這一點(diǎn)上，則可實(shí)現(xiàn)該對(duì)象按照相應(yīng)的軌跡移

33、動(dòng)。如果給定的條件不足或有多余，則"動(dòng)畫(huà)"菜單以恢色顯示，表示暫時(shí)不能用，其它菜單與此有相似的特點(diǎn)。 5) 在學(xué)習(xí)任何一個(gè)菜單操作之前，我們必須弄清楚它所需要的前提條件，而這些前提條件往往與數(shù)學(xué)中的要求一至。例如作一個(gè)圓，就必須告訴畫(huà)板，你所作的圓的圓心在哪里，半徑是多少，想作一條垂線就應(yīng)該指明過(guò)哪一點(diǎn)作哪條線的垂線，否則該菜單是恢色顯示的。因此，當(dāng)出現(xiàn)異常問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該首先考慮是否給定條件不足或有多余。 6) 以上所作的移動(dòng)按鈕和動(dòng)畫(huà)按鈕，我們都可以修改它的標(biāo)簽，以使它符合一定的意義，讓我們下次使用或其它人使用的時(shí)候一看就知道該按鈕的作用。例如，我們可以

34、將例1中的"移動(dòng)G->E"按鈕改名為"合攏"，而將"移動(dòng)G->F"按鈕改名為"分開(kāi)"，這樣，這兩個(gè)按鈕的作用就很清晰了，其它類(lèi)似。2、構(gòu)造多點(diǎn)驅(qū)動(dòng)的按鈕有時(shí)，我們希望多個(gè)運(yùn)動(dòng)同時(shí)產(chǎn)生，這時(shí)我們可以借助于幾何畫(huà)板的多驅(qū)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的功能來(lái)實(shí)現(xiàn)。當(dāng)然，所謂多驅(qū)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，也只是在選擇對(duì)象的時(shí)候有所不同而已。例如，我們作一條線段AB，任取AB上一點(diǎn)C，再作一個(gè)圓O，任取圓O上一點(diǎn)D，我們希望點(diǎn)C在AB上運(yùn)動(dòng)的同時(shí)點(diǎn)D也在圓O上運(yùn)動(dòng)。按住"Shift"鍵的同時(shí)依次選擇點(diǎn)C，線段AB，點(diǎn)D和圓O，選

35、擇"編輯"菜單下的"操作類(lèi)按鈕"，再點(diǎn)擊"動(dòng)畫(huà)"菜單項(xiàng)，彈出一個(gè)對(duì)話(huà)框如圖6。單擊第一行文字，可出現(xiàn)一個(gè)與圖4類(lèi)似的對(duì)話(huà)框，進(jìn)行相應(yīng)的設(shè)置，再單擊第二行文字，可進(jìn)行類(lèi)似的設(shè)置。最后按"動(dòng)畫(huà)"按鈕，出現(xiàn)一個(gè)按鈕如圖7，雙擊此動(dòng)畫(huà)按鈕，可見(jiàn)到點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)，而此時(shí)點(diǎn)D也在圓O上運(yùn)動(dòng)。如果我們把一些對(duì)象粘貼在運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)上，再把它的運(yùn)動(dòng)路徑隱藏起來(lái)，即可產(chǎn)生與Flash類(lèi)似的動(dòng)畫(huà)。產(chǎn)生多驅(qū)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)選擇對(duì)象的順序是：動(dòng)點(diǎn)P1，軌跡T1；動(dòng)點(diǎn)P2，軌跡T2;動(dòng)點(diǎn)Pn，軌跡Tn； 三、"隱藏/顯示&qu

36、ot;按鈕的使用。 在畫(huà)板文件中可以出現(xiàn)多個(gè)頁(yè)面嗎？一個(gè)幾何畫(huà)板文件中可以放置多少內(nèi)容？答案是：利用"隱藏/顯示"按鈕，可以設(shè)置多個(gè)頁(yè)面，放置無(wú)限多的內(nèi)容。  例如，我們可以選擇整個(gè)畫(huà)面的內(nèi)容，然后選擇"編輯"菜單下的"操作類(lèi)按鈕"，再點(diǎn)擊"隱藏/顯示"，即可出現(xiàn)兩個(gè)按鈕，其中一個(gè)為"顯示"，另一個(gè)為"隱藏"，雙擊"隱藏"按鈕，可將整個(gè)畫(huà)面都隱藏，再雙擊"顯示"按鈕，則又可出現(xiàn)整個(gè)畫(huà)面。這樣我們就可以把一些暫時(shí)不希望出現(xiàn)，但在

37、操作過(guò)程中需要出現(xiàn)的內(nèi)容利用"隱藏/顯示"按鈕把它先隱藏起來(lái)，需要用的時(shí)候再讓它顯示。當(dāng)然，對(duì)于一些在操作過(guò)程中不需要出現(xiàn)的對(duì)象，我們可以把它直接隱藏掉。靈活運(yùn)用"隱藏/顯示"按鈕，可以讓你的畫(huà)板文件容量更大，更靈活和具有交互性。當(dāng)一個(gè)畫(huà)面中出現(xiàn)了多個(gè)"隱藏/顯示"按鈕的時(shí)候，我們有必要把它們用不同的名字表示。可以用文本工具修改其標(biāo)簽，賦予它們不同的意義。做到"見(jiàn)名知義"。 四、 系列按鈕的使用在學(xué)習(xí)了"移動(dòng)"，"動(dòng)畫(huà)"，"隱藏/顯示"按鈕的使用

38、之后，我們可以利用"系列"按鈕把上述操作自動(dòng)連續(xù)執(zhí)行。1、 下面實(shí)現(xiàn)一個(gè)三角形內(nèi)部閃動(dòng)的效果。1） 構(gòu)造一個(gè)ABC，并選擇三個(gè)頂點(diǎn)，然后選擇"作圖"菜單下的"多邊形內(nèi)部"菜單項(xiàng)，把ABC內(nèi)部作出來(lái)，并選擇一種填充顏色（例如紅色）2） 選中三角形內(nèi)部，然后把它做成一個(gè)"隱藏/顯示"按鈕，3)用對(duì)象信息工具 雙擊"顯示"按鈕，彈出一個(gè)對(duì)話(huà)框。"在序列中的延時(shí)"標(biāo)簽后的框中輸入1，表示如果此按鈕作為一個(gè)系列中的某個(gè)按鈕的話(huà)，它將延時(shí)一秒執(zhí)行，當(dāng)然可以根據(jù)需要把此數(shù)據(jù)更改，其取值范圍

39、是0到9之間的整數(shù)。4） 對(duì)"隱藏"按鈕作同樣的操作。再次選中三角形內(nèi)部，作多兩對(duì)"隱藏/顯示"按鈕，并分別改名為"隱藏1"，"顯示1"，"隱藏2"，"顯示2"，"隱藏3"，"顯示3"。5） 依次選中"隱藏1"，"顯示1"，"隱藏2"，"顯示2"，"隱藏3"，"顯示3"，再單擊"編輯"菜單下的&qu

40、ot;操作類(lèi)按鈕"，選擇"系列"菜單項(xiàng)，出現(xiàn)一個(gè)按鈕"系列"，雙擊此按鈕，可以看到我們所要求的效果。結(jié)果如圖2、 我們也可以把其它按鈕合起來(lái)用。例如，在圖1中，可以實(shí)現(xiàn)把A'B'C'與ABC分開(kāi)，再讓它閃動(dòng)三次，以實(shí)現(xiàn)強(qiáng)調(diào)的效果。參照上面的操作即可完成。 五、"演示按鈕"菜單項(xiàng)此菜單項(xiàng)其實(shí)沒(méi)有多大意義，因?yàn)橐话愣际侵苯与p擊按鈕就可以進(jìn)行演示了。除非沒(méi)有鼠標(biāo)的情況之下才使用它。以上介紹了操作類(lèi)按鈕的基本使用方法，根據(jù)這些基本的方法，再結(jié)合其它程序，你可以設(shè)置出非常復(fù)雜的圖形，這一切全取決于你的

41、創(chuàng)意。 練習(xí)：試靈活運(yùn)用"操作類(lèi)按鈕"設(shè)計(jì)一個(gè)幾何畫(huà)板文件。第五講 幾何畫(huà)板基本知識(shí)（五）等腰三角形中有關(guān)性質(zhì)一、 我們先來(lái)學(xué)習(xí)如何用幾何畫(huà)板畫(huà)出一個(gè)等腰三角形。1、 任意畫(huà)一條線段AB作為等腰三角形的一條腰2、 以A點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)一個(gè)圓3、 在圓上任取一點(diǎn)C，連結(jié)AC和BC，即可得到等腰三角形ABC。其中BC為底邊。（如圖1）4、 選擇圓A并把它隱藏起來(lái)，即可使屏幕上只留下ABC。 思考：你還能用其它方法作出一個(gè)等腰三角形嗎？二、等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)分別測(cè)量ABC的三個(gè)內(nèi)角（圖2），觀察各內(nèi)角之間有什么關(guān)系？ 2、 任作一個(gè)ABC，度量出三邊

42、AB、BC、CA的長(zhǎng)度，作頂角BAC的平分線，BC邊上的中線和BC邊上的高，拖動(dòng)A點(diǎn)，使AB與AC相等，此時(shí)你發(fā)現(xiàn)了什么？3、 分別作出等腰三角形ABC兩底角的平分線BE和CF，并度量出它們的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？為什么？（如圖4）4、 分別作出等腰三角形ABC兩腰上的高BG和CH，它們相等嗎？為什么？（如圖5）5)分別作出等腰三角形ABC兩腰上的中線BT和CS，是否也可得到同樣的結(jié)論？（圖6）6、 AD為等腰ABC底邊上的高，P為AD上任意一點(diǎn)，問(wèn)P點(diǎn)到腰AB與AC的距離PE和PF之間有什么關(guān)系？   任取AD上一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P向AB和AC作垂線，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，測(cè)量出PE和

43、PF的長(zhǎng)度，并把P點(diǎn)從D點(diǎn)向A點(diǎn)慢慢拖動(dòng)，在此過(guò)程把所得結(jié)果列成表（如圖7），我們也可以讓P點(diǎn)自己動(dòng)起來(lái)。選擇P點(diǎn)和線段AD，并單擊"編輯"菜單下的"按鈕"，按住鼠標(biāo)向右拖動(dòng)，出現(xiàn)"動(dòng)畫(huà)"菜單項(xiàng)，單擊，彈出一個(gè)對(duì)話(huà)框（如圖8）單擊"快速地"下拉箭頭，選擇"慢速地"，然后按"確定"按鈕，即可得到一個(gè)銨鈕（如圖7），雙擊按鈕，即可讓P點(diǎn)在AD上雙向運(yùn)動(dòng)。二、 學(xué)生自我探索：1、 等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離與其中一腰上的高有什么關(guān)系？你能證明嗎？  2、 設(shè)P為

44、正ABC內(nèi)一點(diǎn)，由P向三邊BC、CA、AB所作垂線分別為PD、PE、PF；問(wèn)：（1）當(dāng)P在什么位置時(shí)，滿(mǎn)足PD=PE+PF；（2）若P為正ABC外一點(diǎn)，P在什么位置滿(mǎn)足PD=|PE-PF|3、初等幾何中，最令人驚嘆的定理莫過(guò)于"莫勒定理"了：其內(nèi)容是："三角形三個(gè)角的三等分線共有6條，每相鄰的（不在同一個(gè)角的）兩條三等分線的交點(diǎn)，是一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)。"這個(gè)定理最早是英國(guó)數(shù)學(xué)家莫勒（Morley）于1904年發(fā)現(xiàn)的。莫勒曾對(duì)他的劍橋大學(xué)同學(xué)提到過(guò)這個(gè)定理，后來(lái)就稱(chēng)這個(gè)定理為"莫勒定理"。這個(gè)定理莫勒雖然早就發(fā)現(xiàn)了，但他一直沒(méi)有發(fā)表，

45、過(guò)了20年才在日本正式發(fā)表。在這20年中，別的數(shù)學(xué)家也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理。教育時(shí)報(bào)曾把這個(gè)定理作為問(wèn)題提出來(lái)，公開(kāi)征求解答，后來(lái)收到兩種不同的證法。（參考圖形如右）第六講 幾何畫(huà)板基本知識(shí)（六）變換菜單的使用 幾何畫(huà)板中"變換"菜單是經(jīng)常使用的，其中的"平移"，"旋轉(zhuǎn)"，"縮放"，"反射"子菜單是使你的幾何畫(huà)板文件生動(dòng)豐富的相當(dāng)重要的工具。下面我們通過(guò)幾個(gè)實(shí)例來(lái)介紹如何使用這些功能。一、我們考慮如何作出圖1。1、 作線段AB；2、 選擇點(diǎn)A，然后選擇"變換"菜單的"C

46、標(biāo)記中心"A" Ctrl+F"命令，如圖2；（也可直接雙擊A點(diǎn)，看到A點(diǎn)閃爍即可）3)選擇點(diǎn)B和線段AB，再選擇"變換"菜單的"R 旋轉(zhuǎn)"命令（如圖3），然后就會(huì)彈出一個(gè)"旋轉(zhuǎn)"對(duì)話(huà)框（如圖）。在對(duì)話(huà)框中輸入"90"，就會(huì)得到點(diǎn)A和線段AB以點(diǎn)A為中心按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90度后的新圖形（如圖）。（注意：此處所指的旋轉(zhuǎn)都是指按逆時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)，若想順時(shí)鐘轉(zhuǎn)，只要加個(gè)負(fù)號(hào)即可）4、 選擇點(diǎn)A、點(diǎn)C，然后選擇"變換"菜單的"V 標(biāo)記向量"A->C&q

47、uot;"命令，如圖65、 選擇點(diǎn)B和線段AB，再選擇"變換"菜單的"T 平移"命令（如圖 7），然后就會(huì)彈出一個(gè)"平移"對(duì)話(huà)框（如圖8）。按"確定"按鈕關(guān)閉對(duì)話(huà)框，就會(huì)得到點(diǎn)A和線段AB按向量AC平移后的新圖形（圖9）6、 連結(jié)BD，則得到正方形ABCD。 （當(dāng)然，上述正方形也可采用其它方法來(lái)作，此處主要是為了展示"變換"菜單的各子菜單的功能）7、 依次選擇A點(diǎn)，B點(diǎn)和C點(diǎn)（注意一定要按順序選擇！），然后選擇"作圖"菜單下的"圓上的弧"

48、;命令（如圖10），則可以得到圖11。8、 連結(jié)BC，并選擇線段BC，然后選擇"變換"菜單的"M 標(biāo)記鏡面"命令（如圖12）（此處也可直接雙擊線段BC使其標(biāo)記為鏡面）9、 選擇弧BC，然后選擇"變換"菜單的"F 反射"命令（如圖13），就可以得到如圖 14所示的圖形。10、 選擇兩段弧BC，并選擇作圖菜單下的命令"弓形內(nèi)部"（如圖15），作出兩個(gè)弓形的內(nèi)部（如圖16）；11、 選擇點(diǎn)B、A，然后選擇"變換"菜單的"V 標(biāo)記向量 "B->A"

49、"命令（圖 6），標(biāo)記好向量BA。12、 選擇左邊弧BC和點(diǎn)C，然后選擇"變換"菜單的"T 平移"命令，把弧BC和點(diǎn)C按BA方向平移過(guò)去（如圖 17）。13、 作出弧AC'上的一點(diǎn)E，再選擇點(diǎn)A、C、E（注意順序！中間的點(diǎn)C為角的頂點(diǎn)），然后選擇"變換"菜單的"A 標(biāo)記角"命令（如圖 18），標(biāo)記出ACE； 14、 雙擊點(diǎn)C把點(diǎn)C標(biāo)記為旋轉(zhuǎn)中心15、 選擇點(diǎn)B、D、線段AB、BD、CD、AC、左邊弧BC，然后選擇"變換"菜單的"R 旋轉(zhuǎn)"命令，就會(huì)

50、彈出一個(gè)"旋轉(zhuǎn)"對(duì)話(huà)框，詢(xún)問(wèn)你是否以點(diǎn)C為中心并按ACE的方向旋轉(zhuǎn)，按"確定"按鈕關(guān)閉對(duì)話(huà)框，得到如圖 19所示的圖形。16、 選擇點(diǎn)E和點(diǎn)C'，然后選擇"編輯"菜單的"B操類(lèi)按鈕""M 移動(dòng)"命令，就會(huì)彈出一個(gè)"移動(dòng)速度"對(duì)話(huà)框，按"確定"關(guān)閉對(duì)話(huà)框，得到一個(gè)按鈕"移動(dòng)E->C' "。用同樣的方法得到按鈕"移動(dòng)E->A"（如圖20）。17、 對(duì)圖形作一些必要的隱藏和修改，即可得到圖21，

51、雙擊"展開(kāi)"，可得到圖22，雙擊"復(fù)原"，可得到圖23；二、作出圖24中的陰影三角形，該三角形與大三角形形狀完全一樣，只是大小可調(diào)整。1、 先給出三角形ABC，再任作一條線段PQ（如圖25）2、在線段PQ上任取一點(diǎn)F，作出線段PF，并依次選擇線段PF和線段PQ（注意順序！），選擇"變換"菜單下的"標(biāo)記比"命令（如圖26）（表示標(biāo)記一個(gè)以線段PF的長(zhǎng)為分子，線段PQ的長(zhǎng)為分母的比例）3、 雙擊B點(diǎn)，把它標(biāo)記為中心，然后選擇C點(diǎn)，再選擇"變換"菜單下的"縮放"命令，彈出一個(gè)對(duì)話(huà)框

52、，如圖 27，按"確定"鍵，得到圖28，其中C'為C點(diǎn)按標(biāo)記的向量縮放得到的點(diǎn)；4、 同樣作出A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)縮放得到的點(diǎn)A',選擇A',B,C'并作出三角形內(nèi)部，則可得到圖29；5、 拖動(dòng)F點(diǎn)可改變?nèi)切蜛'BC'的大小；當(dāng)然，你也可以把它做成動(dòng)畫(huà)按鈕，使它自動(dòng)改變大小（如圖30）； 三、自我探索：1、P，Q分別是ABC的邊AB、AC上兩定點(diǎn)，在BC邊上求點(diǎn)R，使得PQR的周長(zhǎng)最短。 2、（許瓦茲是柏林大學(xué)著名數(shù)學(xué)家，他給后人留下一道極著名而又有意義的問(wèn)題，被后人稱(chēng)之為許瓦茲三角形問(wèn)題）在任意銳角三角形ABC

53、內(nèi)作內(nèi)接DEF（即三個(gè)頂點(diǎn)D、E、F分別在三邊BC、CA、AB上），使其最短。（分析：三個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形三邊上的三角形有無(wú)窮多個(gè)，但其周長(zhǎng)最短卻只有一個(gè)，由兩點(diǎn)之間，線段最短，和垂線段的概念，我們可以這樣作，如圖10，作ADBC交BC于D，再作D關(guān)于AC、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D',D"，連結(jié)D',D"交AC于E，AB于F，則DEF即為所求。想想看，為什么？） 第七講 幾何畫(huà)板高級(jí)技巧 1、 如何在幾何畫(huà)板中插入聲音？選擇編輯菜單下的"插入對(duì)象"命令，彈出一個(gè)對(duì)話(huà)框，如圖1 ，選中聲音選項(xiàng)，單擊"確定"按鈕，彈出一個(gè)音頻對(duì)象框，如圖2，選擇"編輯"菜單下的"插入文件"命令，可將已制作好的*.wav文件導(dǎo)入，（例如，在WINDOWS98操作系統(tǒng)中，你可選擇C：windowsmediaThe microsoft Sound.wav文件），完成操作后，幾何畫(huà)板文件中出現(xiàn)了一個(gè)聲音圖標(biāo) ，雙擊此圖標(biāo)，可以播放出聲音。（注：此