1、精選優質文檔-傾情為你奉上1. 均值不等式法例1 設求證例2 已知函數，若，且在0，1上的最小值為，求證： 例3 求證.例4 已知，求證：1.2利用有用結論例5 求證例6 已知函數求證：對任意且恒成立。例7 已知用數學歸納法證明；對對都成立，證明（無理數）例8 已知不等式。表示不超過的最大整數。設正數數列滿足：求證再如：設函數。 （）求函數最小值；（）求證：對于任意，有例9 設，求證：數列單調遞增且3. 部分放縮例10 設,求證：例11 設數列滿足，當時證明對所有 有：； .4 . 添減項放縮例12 設，求證.例13 設數列滿足 證明對一切正整數成立；5 利用單調性放縮: 構造函數例14 已知

2、函數的最大值不大于，又當時 （）求的值；（）設，證明例15 數列由下列條件確定：，（I） 證明：對總有；(II) 證明：對總有6 . 換元放縮例16 求證例17 設，求證.7 轉化為加強命題放縮 例18 設，定義，求證：對一切正整數有例19 數列滿足證明 例20 已知數列an滿足：a1，且an（1） 求數列an的通項公式；（2）證明：對一切正整數n有a1?a2?an?2?n！ 8. 分項討論例21 已知數列的前項和滿足 （）寫出數列的前3項； （）求數列的通項公式；（）證明：對任意的整數，有.9. 借助數學歸納法例22（）設函數，求的最小值；（）設正數滿足，求證：10. 構造輔助函數法例23

3、已知= ,數列滿足（1）求在上的最大值和最小值; （2）證明：;（3）判斷與的大小，并說明理由.例24 已知數列的首項，（）求的通項公式； （）證明：對任意的，；（）證明：例25 已知函數f(x)=x2-1(x>0)，設曲線y=f(x)在點（xn,f(xn)）處的切線與x軸的交點為（xn+1,0）(nN*). () 用xn表示xn+1； （）求使不等式對一切正整數n都成立的充要條件，并說明理由；（）若x1=2，求證：例1 解析 此數列的通項為，即注：應注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！根據所證不等式的結構特征來選取所需要的重要不等式，這

4、里 ，其中，等的各式及其變式公式均可供選用。例2 簡析 例3 簡析 不等式左邊=，故原結論成立.例4 【解析】使用均值不等式即可：因為，所以有 其實，上述證明完全可以改述成求的最大值。本題還可以推廣為： 若， 試求的最大值。 請分析下述求法：因為，所以有 故的最大值為，且此時有。上述解題過程貌似完美，其實細細推敲，是大有問題的：取“”的條件是，即必須有，即只有p=q時才成立！那么，呢？其實例6的方法照樣可用，只需做稍稍變形轉化：則有 于是，當且僅當 結合其結構特征，還可構造向量求解：設，則由立刻得解： 且取“”的充要條件是：。2利用有用結論例5 簡析 本題可以利用的有用結論主要有：法1 利用假

5、分數的一個性質可得即 法2 利用貝努利不等式的一個特例(此處)得，例6 簡析 高考標準用數學歸納法證明，；這里給出運用柯西（）不等式的簡捷證法：而由不等式得(時取等號) （），得證！例7 解析 結合第問結論及所給題設條件（）的結構特征，可得放縮思路：。于是， 即【注】：題目所給條件（）為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論來放縮：，即例8 【簡析】 當時，即 于是當時有 注：本題涉及的和式為調和級數，是發散的，不能求和；但是可以利用所給題設結論來進行有效地放縮；再如：【解析】（）1；（）證明：由（）得，對x>1有，利用此結論進行巧妙賦值：取，則有即對于任

6、意，有例9 解析 引入一個結論：若則，（可通過構造一個等比數列求和放縮來證明，略）整理上式得（），以代入（）式得。即單調遞增。以代入（）式得。此式對一切正整數都成立，即對一切偶數有，又因為數列單調遞增，所以對一切正整數有。 注：上述不等式可加強為簡證如下： 利用二項展開式進行部分放縮： 只取前兩項有對通項作如下放縮：故有3. 部分放縮例10 解析 又（只將其中一個變成，進行部分放縮），于是例11 【解析】 用數學歸納法：當時顯然成立，假設當時成立即，則當時，成立。 利用上述部分放縮的結論來放縮通項，可得 【注】上述證明用到部分放縮，當然根據不等式的性質也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮

7、的結論。例12 簡析 觀察的結構，注意到，展開得即，得證.例13簡析 本題有多種放縮證明方法，這里我們對（）進行減項放縮，有法1 用數學歸納法（只考慮第二步）；法2 則例14 解析 （）=1 ；（）由得 且用數學歸納法（只看第二步）：在是增函數，則得例15 解析 構造函數易知在是增函數。當時在遞增，故。對(II)有，構造函數它在上是增函數，故有，得證。【注】數列單調遞減有下界因而有極限：是遞推數列的母函數，研究其單調性對此數列本質屬性具有重要的指導作用。例16 簡析 令，這里則有，從而有注：通過換元化為冪的形式，為成功運用二項展開式進行部分放縮起到了關鍵性的作用。例17 簡析 令，則，應用二項

8、式定理進行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此.7 轉化為加強命題放縮例18 解析 用數學歸納法推時的結論，僅用歸納假設及遞推式是難以證出的，因為出現在分母上！可以逆向考慮：故將原問題轉化為證明其加強命題：對一切正整數有（證略）例19 簡析 將問題一般化：先證明其加強命題 用數學歸納法，只考慮第二步：。因此對一切有 例20 解析：（1）將條件變為：1，因此1為一個等比數列，其首項為1，公比，從而1，據此得an（n?1）1?（2）證：據1?得，a1?a2?an，為證a1?a2?an?2?n！，只要證n?N?時有?2? 顯然，左端每個因式都是正數，先證明一個加強不等式： 對每個n?N?，有?1

9、（）3?（用數學歸納法，證略）利用3?得?1（）11?。故2?式成立，從而結論成立。8. 分項討論例21 簡析 （）略，（） ；（）由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：當且為奇數時（減項放縮），于是, 當且為偶數時，當且為奇數時，（添項放縮）由知。由得證。9. 借助數學歸納法例22 解析 科學背景：直接與凸函數有關！（）略，只證（）：考慮試題的編擬初衷，是為了考查數學歸納法，于是借鑒詹森不等式的證明思路有：法1（用數學歸納法）（i）當n=1時，由（）知命題成立。（ii）假定當時命題成立，即若正數，則當時，若正數（*）為利用歸納假設，將（*）式左邊均分成前后兩段：令則為正數，且由歸納假定

10、知 （1）同理，由得（2）綜合（1）（2）兩式即當時命題也成立. 根據（i）、（ii）可知對一切正整數n命題成立.法2 構造函數利用（）知，當對任意 （式是比式更強的結果）. 下面用數學歸納法證明結論.（i）當n=1時，由（I）知命題成立.（ii）設當n=k時命題成立，即若正數對（*）式的連續兩項進行兩兩結合變成項后使用歸納假設，并充分利用式有由歸納法假設 得 即當時命題也成立. 所以對一切正整數n命題成立.【評注】（1）式也可以直接使用函數下凸用（）中結論得到；（2）為利用歸納假設，也可對（*）式進行對應結合：而變成項；（3）本題用凸函數知識分析如下：先介紹詹森（jensen）不等式：若為上

11、的下凸函數，則對任意，有 特別地，若，則有若為上凸函數則改“”為“”。由為下凸函數得 ，又，所以（4）本題可作推廣如下：若正數滿足，則。簡證：構造函數，易得故10. 構造輔助函數法例23 【解析】(1) 求導可得在上是增函數,（2）（數學歸納法證明）當時，由已知成立；假設當時命題成立，即成立，那么當時，由（1）得， ，這就是說時命題成立。由、知，命題對于都成立（3） 由, 構造輔助函數，得，當時，故，所以<0 得g(x)在是減函數， g(x)>g(0)=f(0)-2=0，>0,即>0，得>。例24 【解析】（）（）提供如下兩種思路：思路1 觀察式子右邊特征，按為元

12、進行配方，確定其最大值。法1 由（）知，原不等式成立思路2 將右邊看成是關于x的函數，通過求導研究其最值來解決：法2 設，則，當時，；當時，當時，取得最大值原不等式成立（）思路1 考慮本題是遞進式設問，利用（）的結論來探究解題思路：由（）知，對任意的，有取，則原不等式成立【注】本解法的著眼點是對上述不等式中的x進行巧妙賦值，當然，賦值方法不止一種，如：還可令，得 思路2 所證不等式是與正整數n有關的命題，能否直接用數學歸納法給予證明？嘗試： （1）當時，成立； （2）假設命題對成立，即則當時，有 ，只要證明；即證，即證用二項式定理（展開式部分項）證明，再驗證前幾項即可。如下證明是否正確，請分析：易于證明對任意成立；于是【注】上述證明是錯誤的！因為：是遞增的，不能逐步“縮小”到所需要的結論。可修改如下：考慮是某數列的前n項和，則，只要證明思路3 深入觀察所證不等式的結構特征, 利用均值不等式可得如下妙證：由取倒數易得：，用n項的均值不等式：，例25 【解析】() （）使不等式對一切正整數n都成立的充要條件是x11. () 基本思路：尋求合適的放縮途徑。 探索1 著眼于通項特征，結合求證式特點，嘗試進行遞推放縮： 即。于是由此遞推放縮式逐步放縮得 探索2 從求證式特征嘗試分析：結論式可作如下變形： 逆向思考，猜想應有：（用數學歸納法證明，略）。 探索3 探索過渡“橋”，尋求證明加強不