圓錐曲線的弦長公式及其推導過程_第1頁
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文檔簡介

1、圓錐曲線的弦長公式及其推導過程關于直線與圓錐曲線相交求弦長，通用方法是將直線代入曲線方程，化為關于x的一元二次方程，設出交點坐標利用韋達定理及弦長公式求出弦長，這種整體代換、設而不求的思想方法對于求直線與曲線相交弦長是十分有效的，然而對于過焦點的圓錐曲線弦長求解利用這種方法相比較而言有點繁瑣，若利用圓錐曲線的定義及有關定理導出各種曲線的焦點弦長公式就更為簡捷. 一、橢圓的焦點弦長 若橢圓方程為，半焦距為c>0，焦點，設過的直線的傾斜角為交橢圓于兩點求弦長.解：連結，設，由橢圓定義得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，則；同理可求得焦點在y軸上的過焦點弦長為（a為長半軸，b為短半軸，c為

2、半焦距）. 結論：橢圓過焦點弦長公式： 二、雙曲線的焦點弦長 設雙曲線其中兩焦點坐標為，過F1的直線的傾斜角為，交雙曲線于兩點求弦長|AB|. 解： （1）當時，（如圖2）直線與雙曲線的兩個交點A、B在同一支上，連，設，由雙曲線定義可得，由余弦定理可得整理可得，則可求得弦長（2），如圖3，直線與雙曲線交點在兩支上，連F2A,F2B,設則，由余弦定理可得, 整理可得， 因此焦點在x軸的焦點弦長為 同理可得焦點在y軸上的焦點弦長公式 其中a為實半軸，b為虛半軸，c為半焦距，為AB的傾斜角.三、 拋物線的焦點弦長 若拋物線與過焦點的直線相交于兩點，若的傾斜角為，求弦長|AB|.（圖4） 解：過A、B

3、兩點分別向x軸作垂線AA1、BB1，A1、B1為垂足，則點A的橫坐標為，點B橫坐標為，由拋物線定 同理的焦點弦長為 的焦點弦長為，所以拋物線的焦點弦長為 由以上三種情況可知利用直線傾斜角求過焦點的弦長，非常簡單明確，應予以掌握.圓錐曲線的弦長公式一、橢圓：設直線與橢圓交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K，則 |P1P2|=|x1-x2|或|P1P2|=|y1-y2|K=(y2-y1)/(x2-x1)=二、雙曲線：設直線與雙曲線交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K，則 |P1P2|=|x1-x2|或|P1P2|=|y1-y2|K=(y2-y1)/(x2-x1)=三、拋物線：(1)焦點弦：已知拋物線y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB為拋物線的焦點弦，則 |AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²）為弦AB的傾斜角(2)設直線與拋物線交于P1( x1,y1),P2(x2,y2),且P1P

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