1、【同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 圓的方程；空間兩點的距離公式  教學(xué)目的： 1. 理解并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會根據(jù)不同條件求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練求出它的圓心和半徑；能夠運用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡單的實際問題；探索并掌握圓的一般方程，會用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。 2. 能夠根據(jù)給定直線、圓的方程，會用代數(shù)方法討論直線與圓的三種位置關(guān)系；能夠根據(jù)給定的圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系。 3. 掌握空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，會根據(jù)坐標(biāo)找相應(yīng)的點，會寫一些簡單幾何題的有關(guān)坐標(biāo)；掌握空間兩點的距離公式，會應(yīng)用距離公式解決有關(guān)問題。 二. 重點、難點 重

2、點： 1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及會根據(jù)不同條件求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的一般方程和如何由圓的一般方程求圓的圓心坐標(biāo)和半徑長，理解關(guān)于二元二次方程表示圓的條件。 2. 直線和圓的位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用；兩圓位置關(guān)系的判斷。 3. 空間直角坐標(biāo)系和點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；空間兩點距離公式。  難點： 1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的探尋過程和對圓的一般方程的認(rèn)識。 2. 通過圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系；通過兩圓方程聯(lián)立方程組的解來研究兩圓位置關(guān)系。 3. 確定點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；空間距離公式的推導(dǎo)。  知識分析：（一）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 圓的定義：平面內(nèi)到一定

3、點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓。定點叫圓的圓心，定長叫做圓的半徑。 2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：已知圓心為（a，b），半徑為r，則圓的方程為。 說明： （1）上式稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 （2）如果圓心在坐標(biāo)原點，這時a0，b0，圓的方程就是。 （3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程顯示了圓心為（a，b），半徑為r這一幾何性質(zhì)，即圓心為（a，b），半徑為r。 （4）確定圓的條件 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知有三個參數(shù)a、b、r，只要求出a、b、r，這時圓的方程就被確定因此，確定圓的方程，需三個獨立的條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定型條件。 （5）點與圓的位置關(guān)系的判定 若點M（x1，y1）在圓外，則點到圓心的距離大于圓的半徑，

4、即 ； 若點M（x1，y1）在圓內(nèi)，則點到圓心的距離小于圓的半徑，即 ；  3. 幾種特殊位置的圓的方程 （二）圓的一般方程 任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式： 將配方得： 當(dāng)時，方程表示以（）為圓心，以為半徑的圓； 當(dāng)時，方程只有實數(shù)解，所以表示一個點（）； 當(dāng)時，方程沒有實數(shù)解，因此它不表示任何圖形。 故當(dāng)時，方程表示一個圓，方程叫做圓的一般方程。 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點在于它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點： （1）和的系數(shù)相同，且不等于0； （2）沒有xy這樣的二次項。 以上兩點是二元二次方程表示圓的必要條件，但不是充分條件。 要求出圓的一般

5、方程，只要求出三個系數(shù)D、E、F就可以了。 （三）直線和圓的位置關(guān)系 1. 直線與圓的位置關(guān)系 研究直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法： （l）幾何法：令圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r。 d>r直線與圓相離；dr直線與圓相切；0d<r直線與圓相交。 （2）代數(shù)法：聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，消元后得到一元二次方程，其判別式為。 0直線與圓相離；0直線與圓相切；0直線與圓相交。 說明：幾何法研究直線與圓的關(guān)系是常用的方法，一般不用代數(shù)法。 2. 圓的切線方程 （1）過圓上一點的切線方程是； （2）過圓上一點的切線方程是 ； （3）過圓上一點的切線方程是 3. 直線與圓的

6、位置關(guān)系中的三個基本問題 （1）判定位置關(guān)系。方法是比較d與r的大小。 （2）求切線方程。若已知切點M（x0，y0），則切線方程為 ； 若已知切線上一點N（x0，y0），則可設(shè)切線方程為，然后利用dr求k，但需注意k不存在的情況。 （3）關(guān)于弦長：一般利用勾股定理與垂徑定理，很少利用弦長公式，因其計算較繁，另外，當(dāng)直線與圓相交時，過兩交點的圓系方程為  （四）圓與圓的位置關(guān)系 1. 圓與圓的位置關(guān)系問題 判定兩圓的位置關(guān)系的方法有二：第一種是代數(shù)法，研究兩圓的方程所組成的方程組的解的個數(shù)；第二種是研究兩圓的圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系。第一種方法因涉及兩個二元二次方程組成的方程組，其解

7、法一般較繁瑣，故使用較少，通常使用第二種方法，具體如下： 圓與圓的位置關(guān)系，其中 設(shè)兩圓的圓心距為d，則 當(dāng)時，兩圓外離； 當(dāng)時，兩圓外切； 當(dāng)時，兩圓相交； 當(dāng)時，兩圓內(nèi)切； 當(dāng)時，兩圓內(nèi)含 注意：兩圓的位置關(guān)系可表示在一條數(shù)軸上，如圖所示： 兩圓位置關(guān)系的問題同直線與圓的位置關(guān)系的問題一樣，一般要轉(zhuǎn)化為距離間題來解決。另外，我們在解決有關(guān)圓的問題時，應(yīng)特別注意，圓的平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用。 2. 兩圓相交問題 （1）過兩已知圓的交點的圓系方程， 即 當(dāng)時，變?yōu)?，表示過兩圓的交點的直線（當(dāng)兩圓是同心圓時，此直線不存在），當(dāng)兩圓相交時，此直線為公共弦所在直線；當(dāng)兩圓相切時，此直線為兩圓的公切線；當(dāng)

8、兩圓相離時，此直線為與兩圓連心線垂直的直線。 （2）過直線與圓交點的圓系方程 設(shè)直線與相交，則方程表示過直線l與圓C的兩個交點的圓系方程。 （五）空間直角坐標(biāo)系 1. 空間直角坐標(biāo)系 為了確定空間點的位置，我們在空間中取一點O作原點，過O點作三條兩兩垂直的數(shù)軸，通常用x、y、z表示軸的方向通常這樣選擇：從z軸的正方向看，x軸的正半軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重合。這時，我們在空間建立了一個直角坐標(biāo)系Oxyz。在這個過程中，三條坐標(biāo)軸兩兩垂直是建立空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)。 2. 點P的坐標(biāo) 過點P作一個平面平行于平面yOz（這樣構(gòu)造的平面同樣垂直于x軸），這個平面與x

9、軸的交點記為P，它在x軸上的坐標(biāo)為x，這個數(shù)x就叫做點P的x坐標(biāo)。你能試述點P的y坐標(biāo)，點P的z坐標(biāo)嗎？ 3. 坐標(biāo)平面 每兩條坐標(biāo)軸分別確定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐標(biāo)平面。 4. 特殊點的坐標(biāo)形式 xOy平面是坐標(biāo)形如（x，y，0）的點構(gòu)成的點集，其中x、y為任意實數(shù)； xOz平面是坐標(biāo)形如（x，0，z）的點構(gòu)成的點集，其中x、z為任意實數(shù)； yOz平面是坐標(biāo)形如（0，y，z）的點構(gòu)成的點集，其中y、z為任意實數(shù)； x軸是坐標(biāo)形如（x，0，0）的點構(gòu)成的點集，其中x為任意實數(shù)； y軸是坐標(biāo)形如（0，y，0）的點構(gòu)成的點集，其中y為任意實數(shù)； z軸是坐標(biāo)形如（0，0，z）的點構(gòu)成的點

10、集，其中z為任意實數(shù)。 5. 卦限 三個坐標(biāo)平面把空間分為八部分，每一部分稱為一個卦限。 在坐標(biāo)平面xOy上方分別對應(yīng)該坐標(biāo)平面上四個象限的卦限稱為第、第、第、第卦限；在下方的卦限稱為第、第，第、第卦限。在每個卦限內(nèi)點的坐標(biāo)各分量的符號是不變的。例如在第卦限，三個坐標(biāo)分量x、y、z都為正數(shù)；在第卦限，x為負(fù)數(shù)，y、z均為正數(shù)。 （六）空間兩點的距離公式 空間兩點A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）的距離公式是 特別的，點A（x，y，z）到原點的距離為 【典型例題】 例1. 求滿足下列條件的各圓的方程： （1）圓心在原點，半徑是3； （2）圓心在點C（3，4），半徑

11、是； （3）經(jīng)過點P（5，1），圓心在點C（8，3）； （4）圓心在直線5x3y8上，又圓與坐標(biāo)軸相切，求此圓方程； （5）圓心在直線y2x上，且與直線y1x相切于點（2，1）。 解析：（1）； （2）； （3）； （4）設(shè)所求圓的方程為 因為圓與坐標(biāo)軸相切，故圓心滿足， 又圓心在直線上，所以， 解方程組，得： 所以圓心坐標(biāo)為（4，4），或（1，1） 于是可得半徑， 故所求圓的方程為或。 （5）設(shè)圓心為（a,2a）由題意，圓與直線相切于點（2，1），得 解得：a1 所以所求圓的圓心為（1，2），半徑為 故圓的方程為 點評：一般情況下，如果已知圓心或圓心到某直線的距離，可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來求解。用

12、待定系數(shù)法，求出圓心坐標(biāo)和半徑。  例2. 求圓心在直線2xy30上，且過點（5，2）和點（3，2）的圓的方程。 解析：法一 設(shè)圓的方程為，則 解得 法二：因為圓過A（5，2），B（3，2）兩點，所以圓心一定在線段AB的垂直平分線上，線段AB的垂直平分線方程為 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為C（a，b），則有 解得 所以C（2，1）， 所求圓的方程為 點評：確定圓的方程需要三個獨立條件，“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”是解題的基本方法，其中，選標(biāo)準(zhǔn)是根據(jù)已知條件選恰當(dāng)?shù)姆匠痰男问?，進而確定其中三個參數(shù)。  例3. 已知圓C和y軸相切，圓心在直線x3y0上，且被直線yx截得的弦長為，求圓C的方程。

13、解析：設(shè)圓C的方程為 又圓C與y軸相切得 又圓心在直線上， 圓心C（a，b）到直線的距離為 由于弦心距d、半徑r及弦的一半構(gòu)成直角三角形，所以 聯(lián)立解方程組可得 或 故圓C的方程為：或 點評：利用圓的幾何性質(zhì)，是迅速、準(zhǔn)確解出本題的關(guān)鍵。  例4. 求過點A（2，2），B（5，3），C（3，1）的圓的方程。 解析：設(shè)所求的圓的方程為 將A（2，2），B（5，3），C（3，1）三點的坐標(biāo)代入圓的方程 得 解得 圓的方程為： 點評：一般來說，由題意知道所求的圓經(jīng)過幾點且不易得知圓心換半徑時，常用一般式。  例5. 已知圓，定點P（4，0），問過P點的直線的斜率在什么范圍內(nèi)取值時

14、，這條直線與已知圓： （1）相切； （2）相交； （3）相離，并寫出過P點的切線方程。 解析：法一 設(shè)過P點的直線的斜率為k，則其方程為 由消去y，得 即 （1）令，即 當(dāng)時，直線與圓相切，切線方程為或 （2）令，即 當(dāng)時，直線與圓相交 （3）令，即或時，當(dāng)或時，直線與圓相離 法二：設(shè)圓心到直線的距離為d，則 （1），即， 時，直線與圓相切，其切線方程為或 （2）時，即，即時，直線與圓相交 （3），即， 即或時直線與圓相離 點評：解決直線與圓的位置關(guān)系，幾何法比代數(shù)法簡單。  例6. 已知直線，曲線，它們有兩個公共點，求b的取值范圍。 解析：法一，曲線C中，因此l和C有兩個公共點，等

15、價于方程組有兩組不同解，又等價于，有兩組不同解，消去x得 C和l有兩個公共點，等價方程有兩個不等非負(fù)實數(shù)解 于是 解得 法二：方程表示斜率為1的平行直線系；方程表示單位圓位于x軸及其上方的半圓，如圖所示。當(dāng)l通過A（1，0），B（0，1）時，l與C有兩交點，此時b1，記為；當(dāng)與半圓相切時，切線記為；當(dāng)l夾在與之間時，l和C有兩個不同公共點。因此。 點評：（1）曲線C不是一個完整的圓，是半圓；（2）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。  例7. 求圓心在直線xy0上，且過兩圓，的交點的圓的方程。 解析：法一 解方程組 得交點坐標(biāo)分別為（0，2）（4，0） 設(shè)所求圓心坐標(biāo)為（a，a） 則 解得 因此，圓

16、的方程為 法二：同法一，得兩已知圓的交點的坐標(biāo)為（0，2），（4，0） 設(shè)所求的圓的方程為，則有 解得 因此，圓的方程為 法三，設(shè)所求圓的方程為 即 因為這個圓的圓心在直線上 所以 解得 圓的方程為 點評：注意掌握這種特殊題型的幾種解題方法。 【模擬試題】1、點（2，0，3）在空間直角坐標(biāo)系中的位置是在（ ）A. y軸上 B. xOy平面上C. xOz平面上D. 第一卦限內(nèi)2、點M（2，3，1）關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點是（ ）A. （2，3，1）B. （2，3，1）C. （2，3，1）D. （2，3，1）3、設(shè)點B是點A（2，3，5）關(guān)于xOy面的對稱點，則|AB|等于（ ）A. 10B

17、. C. D. 384、設(shè)有圓M：，直線，點P（2，1），那么（ ）A. 點P在直線l上，但不在圓M上B. 點P不在直線l上，但在圓M上 C. 點P在直線l上，也在圓M上D. 點P既不在直線l上，也不在圓M上 5、設(shè)M是圓上的點，則M到直線的最小距離是（ ）A. 9 B. 8 C. 5 D. 26、方程表示圓，則a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 7、過點P（3，0）能有多少條直線與圓相切（ ）A. 0條 B. 1條C. 2條D. 1條或2條8、直線被圓截得的弦長等于（ ）A. B. 2 C. D. 9、直線被圓所截得線段的中點坐標(biāo)是（ ）A. B. （0，0）C. D. 10、若圓和

18、圓關(guān)于直線對稱，那么直線的方程是（ ）A. B. C. D. 11、與兩坐標(biāo)軸都相切，且過點（2，1）的圓的方程是_12、過點（0，0），（1，0），（0，2）的圓的方程是_13、若實數(shù)x ，y滿足，則的最小值為_14、已知，則的最大值為_15、一圓過點P（4，3），圓心在直線上且半徑為5，求此圓的方程。16、求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程。17、已知圓滿足：（1）截y軸所得弦長為2； （2）被x軸分成兩段圓弧，其弧長之比為31；圓心到直線的距離為，求該圓的方程?！驹囶}答案】110：C A A A D D A C A D11、12、 13、 14、 15、設(shè)此圓的方程為， 依題意，得： 解得： 所以所求圓的方程為或16、設(shè)此圓的方程為，因為所求圓的半徑是4，大于已知圓的半徑，所以兩圓只能外切， 依題意，得：，解得：所以所求圓的方程是 或或或 17、設(shè)P的圓心為P（a，b），半徑為r，則點P到x軸，