1、計算機工程與應用，（）一種求解線性約束的非線性規劃神經網絡方法申蕓，呂詠梅，周永權，廣西民族大學數學與計算機科學學院，南寧，（）：，：，：；摘要：針對線性約束的非線性規劃的求解問題，利用罰函數求解優化問題的思想將其轉化為二次凸規劃，基于神經網絡的結構實驗仿真結果表明，該方法是特性，定義所需的能量函數，從而使網絡收斂于唯一穩定點最終實現線性約束的非線性規劃的求解。有效和正確的，且能推廣到含參的非線性規劃和多目標規劃中去。關鍵詞：線性約束；非線性規劃；神經網絡；穩定點：文章編號：（）文獻標識碼：中圖分類號：引言考慮下述線性約束的非線性規劃：（，），則，使得，其中，原非線性規劃問題式（）轉化為與它等

2、價的：（）#（），%（），定義神經網絡的能量函數：!（）（）其中，是×（），（，矩陣，且秩，），（）是上的連續可微函數。式二次規劃和網絡（）代表了一大類優化問題，如線性規劃、流問題等，因此實時求解它具有非常重要的應用。近年來，用神經網絡求解優化問題已取得了一些很好的成果，如文獻基于（）!"，"，"，"，"），"式中：是懲罰因子，（，），（）的最是的范數。顯然，式小值對應于原非線性規劃的最優解。因此，原非線性規劃等價于下列二次凸規劃：乘數方法建立了解約束優化問題的網絡模型，該模型總能收斂于一個可行解但不能保證問題的最優性；文獻

3、基于最優性的充要條件來建立神經網絡模型；文獻基于罰函數求解約束優化問題的網絡模型。本文擬在文獻的模型和方法的基礎上，提出一種解線性約束非線性凸規劃問題的神經網絡模型，基于罰函數求解優化問題的思想對其轉化為二次凸規劃，利用神經網絡的相關特性，定義所需的能量函數，從而使網絡收斂于唯一的穩定點。%!（）（）要使網絡全局漸進收斂于線性規劃問題的最優解，首先保證網絡的能量函數是凸函數，其次保證網絡有唯一的、全局吸引的平衡點。為滿足第二項的要求，對能量函數做下述變換!（）神經網絡結構考慮采用罰函數方法，首先，引進個新的變量，（）則凸規劃式（）變為：基金項目：國家自然科學基金（）；廣西自然科學基金（）。作者

4、簡介：申蕓（），女，主要研究方向：神經網絡及其應用；呂詠梅（），女，碩士，主要研究方向：計算智能及其應用；周永權（），男，博士，教授，主要研究方向：計算智能、神經網絡及應用。收稿日期：修回日期：，（）計算機工程與應用"（）（）加入松弛變量，則：（，），（，），故神經網絡狀態方程：于是，構造非線性規劃的網絡狀態方程：）（）（）!（）（）（），（）式中：是迭代步長，激勵函數保證了網絡輸出，能量函!。數中引理神經網絡式（）的平衡點是非線性規劃式（）的最優解。引理神經網絡式（）是漸進穩定的，能唯一收斂到。由網絡狀態方程知，網絡的連接權矩陣。根據文獻知，若（），則能量函數是函數，是全局吸引的，

5、其中表示權矩陣中元素絕對值的最大值。經觀察發現，本神經網絡模型同樣適用于線性約束的參數非線性規劃的求解問題，即：&()"（），（），（）。），模型取初始點：（，），（）。模型迭代次后收斂于（，），目標值（，）。本例的理論值為（，）。圖給出、隨迭代次數的變化情況。例關于線性約束含有參數的非線性規劃：（，），（，）（）（，），-.式中：是×（），（，矩陣，且秩，），（，），+，（，）是（，）。初始化：（，）取任意的初值，模型迭代次后收斂，（）。（，（，）。圖給出目，），最小目標值為標值隨的變化曲線，圖給出能量函數隨的變化曲線。上的連續可微函數。要運用本文中的神經網絡模型

6、，只需把的每一個分量看作變量的一個分量，則（，），同時轉化到大于零的區間上求解即可。在多目標規劃的眾多方法中有一個叫功效系數法，這個方法中的系數（權重），（，），是不容易確定的，大多情況下是必須事先給定的，而且必須滿足（,結論非線性規劃的神經網絡求法的關鍵是模型的算法是否收），斂。本文正是利用線性約束條件，建立相應的神經網絡模型，針對線性約束的非線性規劃的求解問題，利用罰函數求解優化問題的思想對其轉化為二次凸規劃，基于神經網絡的結構特性，定義所需的能量函數，從而使網絡收斂于唯一的穩定點最終實現線性約束的非線性規劃的求解。但對于非線性約束的非線性規劃，本神經網絡算法是不適用的，如何改進將是人們下

7、一步所要做的研究工作。但是如果將其權重看成參數，則多目標問題就轉化為單目標參數非線性規劃問題，故本文的神經網絡同樣適用于多目標規劃，但是約束條件必須是線性的。數值仿真例采用文獻中的例子：（，）（）參考文獻：，：，（下轉頁），張華：基于的等角插補明暗處理的軟件實現，（）坐標，進而完成渲染管道中所有的變換運算。然后在偽像素級利用等角插補公式計算等角插補明暗處理。渲染管道的計算由于渲染管道的各級運算類似，故本文舉透視投影變換為例，設前一級變換的結果坐標為（，），根據文獻，透視變換投影矩陣為：!"""""""""

8、""""""""#其中：、分別是遠近裁剪平面的坐標；、分別是上下裁剪平賣的坐標，、分別是右左裁剪平面的坐標。那么透視投影變換的變換運算為：!$""%（）%""%""%$""%!%""%"%"%""%（）%"%""%"%""%""%"%（）"%"%"%"

9、;"%"%"%"（）%"%""%"%"%""%#&""%""%""%#&&其代碼如下所示。（，）$%&其中為漫反射系數，為簡化起見，本文假設為常數，且設光源為平行光（如太陽光）。（）計算由第章的方法，可以得到相應的插補角，那么據文獻的等角插補明暗處理公式，得到插補點的法向量：（）（）因此。（）實驗由于三角形是渲染的基本單元，本文以三角形的三個頂點（，），（，）和（，）為例，通過上述渲染管道和等角插補明暗處理的運算，得到如圖所示的實驗結果。另外由得出的實驗結果如圖所示，可以看出兩圖視覺效果相同。輸入參數分別透視投影變換矩陣，前一級變換的結果坐標，輸出參數存入；，；臨時變量，暫存變換結果；（；）結語本文通過分析渲染管道和等角插補明暗處理，用語言實現了渲染管道的硬件計算部分，同時用語言實現了等角插補明暗處理，并給出了實驗結果。本文的實現可為渲染算法的研究和實現提供參考。參考文獻：，（）：，；輸出結果等角插補明暗處理給定一光照模型和光源，然后用掃描線和等角插補公式來，（）：，計算等角插補明暗處理。光照模型及光源本文采用簡單的光照模型，其模型示意圖