1、一元二次方程的根與系數一元二次方程的根與系數的關系的關系1.1.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 復習提問復習提問2.2.求根公式求根公式 方程 x1 x2 x1+ x2 x1x2 x2 2-3-3x+2=0+2=0 X X2 2-2x-3=0-2x-3=0X X2 2-5x -5x +4=0+4=0問題：你發現這些一元二次方程的兩根問題：你發現這些一元二次方程的兩根x1+ x2，與，與x1 x2系數有什么規律？系數有什么規律？ 猜想：當二次項系數為猜想：當二次項系數為1 1時，方程時，方程 x x2 2+ +pxpx+ +q q=0=0的兩根為的兩根為x x1, x2qxxpxx2121

2、2 2 1 13 32 2-1-1 3 3 2 2-3-31 1 4 4 5 54 4 方 程 x1x2xx21xx21.01692 xx01432 xx02732 xx31313291372343131-2-23732x1+ x2，x1x2與系數有什么規律與系數有什么規律?372猜想：猜想： 如果一元二次方程如果一元二次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a a、b b、c c是常數且是常數且a a0 0）的兩根為的兩根為x x1 1、x x2 2，則：則： x x1 1+ +x x2 2和和x x1 1.x.x2 2與系數與系數a a，b b，c c 的關系的關系. .abx

3、x21acxx21042 acb x1+x2=-b+ b2-4ac2a+-b- b2-4ac2ax1x2=-b+ b2-4ac2a2-4ac2axx21x1=-b+b2-4ac2ax2=-b-b2-4ac2a=-2b2a=(-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac)4a2=4ac4a2=b2-(b2-4ac)4a2xx21.abac任何一個一元二次方程的根與系數的關系任何一個一元二次方程的根與系數的關系：如果方程如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根是的兩個根是X1 , X2 ,那么那么X1 + X2= , X1 X2= ab-ac（韋達定理）（韋達定理）注：能用根與系數的關系的注：

4、能用根與系數的關系的前提條件為前提條件為b2-4ac0一、直接運用根與系數的關系例1、不解方程，求下列方程兩根的和與積.222415)3(0973)2(0156) 1 (xxxxxx知識源于知識源于悟悟在使用根與系數的關系時，應注意：在使用根與系數的關系時，應注意： 不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式； 在使用在使用X X1 1+X+X2 2= = 時，時， 注意注意“ ” ”不要漏寫不要漏寫. .ab二、求關于兩根的對稱式或代數式的值2221) 1 (xx 2111)2(xx例例2、設、設 是方程是方程 的兩個的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值根，利用根與系數的

5、關系，求下列各式的值. 21,xx03422 xx) 1)(1)(3 (21xx221221) 4 (xxxx2112)5(xxxx221)(6(xx 關于兩根幾種常見的求值關于兩根幾種常見的求值2111. 4xx2121xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 5xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 6xx221)(xx 212214)(xxxx212 xx2221. 1xx221)(xx221).(2xx221)(xx 214 xx例3 3、求一個一元二次方程，使 它的兩個根是2 2和3 3，且二 次項系數為1.1.變式：且二次項

6、系數為5 5例例4 4、點、點p(m,n)p(m,n)既在反比例函數既在反比例函數 的圖象上的圖象上, , 又在一次函數又在一次函數 的圖象上的圖象上, ,求以求以m,nm,n為根的一元二次方程為根的一元二次方程. . )0(2xxy2xy例5 5、已知關于x x的方程x x2 2-5x-2=0-5x-2=0（1 1）, ,且關于y y的方程的兩根分別是關于方程（1 1）的兩根的平方的平方. .求關于求關于y y的方程的方程. .例6 6、小明和小敏解同一個一元二次方程時，小明看錯了一次項系數所求出的根為-9-9和-1-1；小敏看錯了常數項所求出的根是8 8和2 2。你知道原來的方程是什么嗎？

7、 三、構造新方程三、構造新方程練習、甲、乙二人解同一個一元二次方程時，甲看錯了常數項所求出的根為1 1，4 4；乙看錯了一次項系數所求出的根是-2-2，-3-3。則這個一元二次方程為_ 三、構造新方程三、構造新方程x x2 2-5x+6=0-5x+6=0四、求方程中的待定系數例7 7、如果1是方程的一個根，則另一個根是_=_。230 xmx（還有其他解法嗎？（還有其他解法嗎？) )022mxx-3練習：已知練習：已知3 3是方程是方程 的一根，求的一根，求m m及另一根及另一根例例8 8、方程、方程 的兩根同為正數，求的兩根同為正數，求p p、q q的取值范圍的取值范圍. .02qpxx四、求

8、方程中的待定系數四、求方程中的待定系數變式變式: :方程方程有一個正根，一個負根，求有一個正根，一個負根，求m m的取值范圍的取值范圍. .解解:由已知由已知,0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1) 0( 0122mmmxmx四、求方程中的待定系數四、求方程中的待定系數一正根，一負根一正根，一負根0X1X20兩個正根兩個正根0X1X20X1+X20兩個負根兩個負根0X1X20X1+X20例例9 9、 已知方程的兩已知方程的兩 個實數根是且個實數根是且 求求k k的值。的值。 022kkxx2, 1xx42221 xx四、求方程中的待定系數注：能用根與系數的關系的前提條

9、件為注：能用根與系數的關系的前提條件為b2-4ac0小結一元二次方程根與系數的關系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0則有的兩根分別是如果注：能用根與系數的關系的前提條件為注：能用根與系數的關系的前提條件為b2-4ac0已知兩個數的和是已知兩個數的和是1，積是，積是-2，則兩個數，則兩個數是是 解法解法(一一):設兩數分別為設兩數分別為x,y則則:1 yx2 yx解得解得:x=2y=1或或 1y=2解法解法(二二):設兩數分別為一個一元二次方程設兩數分別為一個一元二次方程的兩根則的兩根則:022aa求得求得1, 221aa兩數為兩數為2,*已知兩個數的和與積，求兩數已

10、知兩個數的和與積，求兩數*求未知系數的取值范圍*例題:已知關于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0. (1)求證:無論k取何值時,方程總有兩不相等的實數根. (2)當k取何值時,方程的一根大于1,另一根小于1?分析分析:(1)(1)列出的代數式列出的代數式, ,證其恒大于零證其恒大于零(2)(x(2)(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)0-1)0+360 方程總有兩個不相等的實數根方程總有兩個不相等的實數根(2)由題意得由題意得:解得解得:1212127939(1)(1)0mxxmx xxx 132m 當當 時方程的一根大于時方程的一根大于1,另一根小于另一根小于1132m *1.當

11、當a取什么值時取什么值時,關于未知數關于未知數x的方程的方程ax2+4x-1=0,只有正實數根只有正實數根?*2.已知已知:x1,x2是關于是關于x的一元二次方程的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的兩個非零實根的兩個非零實根,問問x1,x2能否同號能否同號?若能同號若能同號,請求出相應請求出相應m的取值的取值范圍范圍;若不能同號若不能同號,請說明理由請說明理由. *題9 在ABC中a,b,c分別為A, B,C 的對邊,且c= ,若關于x的方程 有兩個相等的實數根,又方程 的兩實數根的平方和為6,求ABC的面積.caAsin規定：350)35(2)35(2baxxb0sin5)sin10(22AxAx五綜合五綜合1、當、當k為何值時，方程為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3