1、摩擦角及其應(yīng)用一、摩擦角1、全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用R表示，亦稱接觸反力。2、摩擦角：全反力與支持力的最大夾角稱摩擦角，一般用m表示。此時，要么物體已經(jīng)滑動，必有：m = actan（為動摩擦因素），稱動摩擦力角；要么物體達(dá)到最大運動趨勢，必有：ms = actans（s為靜摩擦因素），稱靜摩擦角。通常處理為m = ms 。3、引入全反力和摩擦角的意義：使分析處理物體受力時更方便、更簡捷。二、隔離法與整體法1、隔離法：當(dāng)物體對象有兩個或兩個以上時，有必要各個擊破，逐個講每個個體隔離開來分析處理，稱隔離法。在處理各隔離方程之間的聯(lián)系時，應(yīng)注意相互作用力的大小和方

2、向關(guān)系。2、整體法：當(dāng)各個體均處于平衡狀態(tài)時，我們可以不顧個體的差異而講多個對象看成一個整體進(jìn)行分析處理，稱整體法。應(yīng)用整體法時應(yīng)注意“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”的涵義。三、應(yīng)用1、物體放在水平面上，用與水平方向成30的力拉物體時，物體勻速前進(jìn)。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進(jìn)，求物體與水平面之間的動摩擦因素。這是一個能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目。可以通過不同解法的比較讓學(xué)生留下深刻印象。法一，正交分解。（學(xué)生分析受力列方程得結(jié)果。）法二，用摩擦角解題。引進(jìn)全反力R ，對物體兩個平衡狀態(tài)進(jìn)行受力分析，再進(jìn)行矢量平移，得到圖1中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的，而全反力

3、R的方向不變、F的大小不變），m指摩擦角。再將兩圖重疊成圖1的右圖。由于灰色的三角形是一個頂角為30的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊故有：m = 15。最后，= tg m 。答案：0.268 。思考：如果F的大小是可以選擇的，那么能維持物體勻速前進(jìn)的最小F值是多少？解：見圖1，右圖中虛線的長度即Fmin ，所以，F(xiàn)min = G sinm 。答：Gsin15（其中G為物體的重量）。圖12、“千斤頂”問題：在固定的斜面上放一物體，并對它施加一豎直向下的壓力，物體與斜面間的摩擦因數(shù)為。求斜面傾角 的最大值，使得當(dāng) m時，無論豎直向下的壓力有多大，物體也不會滑下。分析：如圖，物體受四個力，重

4、力和壓力的合力為G+F，靜摩擦力Fs，斜面支持力 FN。將G+F分解為F1和F2，根據(jù)平衡條件： 物體不會滑下的條件是Fs小于最大靜摩擦力Fm，而Fm=FN，從而有 (G+F) sin (G+F) cos化簡得arctan， 所以只要arctan，無論F有多大，物體也不會滑下。說明：“千斤頂”螺旋實際可以看作是qtan的彎曲斜面。3、 （多選）如圖所示，斜面體A靜止在水平地面上，質(zhì)量為m的滑塊B在外力F1和F2的共同作用下沿斜面體表面向下運動。當(dāng)Fl方向水平向右，F(xiàn)2方向沿斜面體的表面向下時，斜面體受到地面的摩擦力向左，則下列說法正確的是（）（A） 若同時撤去F1和F2，滑塊B的加速度方向一定

5、沿斜面向下 （B） 若只撤去F1，在滑塊B仍向下運動的過程中，A所受地面摩擦力的方向可能向左 （C） 若只撤去F2，在滑塊B仍向下運動的過程中，A所受地面摩擦力的方向可能向右 （D）若只撤去F2，在滑塊B仍向下運動的過程中，A所受地面摩擦力不變【答案】C4、 推力的極大值（自鎖）問題：在機械設(shè)計中，常用到下面的力學(xué)裝置，如圖只要使連桿AB與滑塊m所在平面法線的夾角小于某個值，那么無論連桿AB對滑塊施加多大的作用力，都不可能使之滑動，且連桿AB對滑塊施加的作用力越大，滑塊就越穩(wěn)定，工程力學(xué)上稱為自鎖現(xiàn)象。則自鎖時應(yīng)滿足什么條件？設(shè)滑塊與所在平面間的動摩擦因數(shù)為。分析：將連桿AB對滑塊施加的推力F

6、分解，且F遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于mg，可以忽略。則滑塊m不產(chǎn)生滑動的條件為 FsinFcos化簡得自鎖的條件為arctan。5、 在田徑比賽、摩托車賽、自行車賽等運動項目中，當(dāng)通過彎道時，運動員必須傾斜與路面保持一定的角度才能順利通過彎道，這就是運動員的彎道技術(shù)。路面的彎道半徑越小，運動員的速度越快，運動員的傾斜角就越大。設(shè)在摩托車比賽中，摩托車與路面間的摩擦因數(shù)為，試求摩托車所能達(dá)到的最大傾角。分析：運動員要穩(wěn)定地平動，路面對摩托車的力必須通過整體的重心，所以靜摩擦力F1與支持力F2的夾角等于運動員與路面的傾斜角度q。而路面對摩托車整體的力F是F1和F2的合力，由圖知 F1=F2 tan=mg tan 對

7、摩托車的最大靜摩擦力為Fm=F2=mg則摩托車不傾倒的條件是F1Fm化簡得arctan所以摩托車所能達(dá)到的最大傾角為m=arctan。6、 拉力的極小值問題：在水平面上放有一質(zhì)量為m的物體，物體與地面的動摩擦因數(shù)為，現(xiàn)用力F拉物體，使其勻速運動，怎樣施加F才能最小。分析：設(shè)拉力與水平面間的夾角為，將拉力F分解，并列出平衡方程，由動摩擦力公式，得 Fcos=(mg-Fsin）化簡為 其中，當(dāng)o時，F(xiàn)有最小值：且=arctan。7、 破冰船中的道理：1999年，中國首次北極科學(xué)考察隊乘坐我國自行研制的“雪龍”號科學(xué)考察船。“雪龍”號科學(xué)考察船不僅采用特殊的材料，而且船體的結(jié)構(gòu)也滿足一定的條件，以對

8、付北極地區(qū)的冰塊和冰層。它是靠本身的重力壓碎周圍的冰塊，同時又將碎冰塊擠向船底，如果碎冰塊仍擠在冰層與船體之間，船體由于受到巨大的側(cè)壓力而可能解體。為此，船體與豎直方向之間必須有一傾角。設(shè)船體與冰塊之間的動摩擦因數(shù)為。試問使壓碎的冰塊能被擠壓向船底，角應(yīng)滿足的條件。 分析：冰塊受到三個力：冰層對冰塊的水平向后的擠壓力，船體對冰塊的側(cè)壓力F，以及沿船體方向的摩擦力（冰塊的重力和浮力可以忽略）。將F分解，如圖 FN=F1=Fcos Ff=FN 能使壓碎的冰塊被擠壓向船底必須滿足的條件為F2Ff，有Fsin Fcos 化簡得arctan8、 (第三屆全國預(yù)賽)如圖所示用力F推一放在水平地面上的木箱，

9、質(zhì)量為M，木箱與地面間摩擦因數(shù)為問：當(dāng)力F與豎直成夾角 多大時，力F再大也無法推動木箱? 思路分析本題屬于物體平衡問題，一般方法是用平衡條件列方程求極值，但這里用摩擦角的概念分析，問題會更加簡單 解:選物體為研究對象，受力如圖所示，其受四個力作用而靜止，將彈力N和摩擦力f合成作出全反力F當(dāng)物體將要發(fā)生滑動時，靜摩擦角 0。滿足tg 0=m，由平衡條件知當(dāng)0 0時，物體出現(xiàn)自瑣現(xiàn)象，也就是說此時無論用多大的力都不會使物體推動，故 角屬于范圍(0, 0)。9、 一個接觸面的平衡問題：一物體質(zhì)量為m，置于傾角為的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為m，若要使物體沿斜面勻速向上滑動，求拉力的最小值。解析

10、：本題有兩種解法，一種是根據(jù)平衡條件利用數(shù)學(xué)建模得到) F=F（）后再求極值，另一種是引入全反力（摩擦角）化四力平衡為三力平衡根據(jù)矢量三角形直觀快速地求解。解法一：（利用平衡條件求解）設(shè)拉力與斜面夾角為，則由平衡條件可得：即有 令jm =則有解法二：（引入摩擦角）如圖所示，設(shè)，則由平衡條件和矢量三角形可得：當(dāng)拉力F垂直于全反力方向時此時F的拉力最小，即：10、 有一重量為G的木塊平放在水平地面上，木塊與水平地面間的動摩擦因數(shù)為=，一人欲用最小的作用力Fn使木塊做勻速運動，則此最小作用力的大小和方向應(yīng)如何？解：對物體受力分析，受重力、拉力、支持力和摩擦力，將支持力和摩擦力合成，由于Ff=FN，故

11、不論FN如何改變，F(xiàn)f與FN的合力F1的方向都不會發(fā)生改變，設(shè)與豎直方向的夾角為，如下圖所示：平面對物體的作用力F1與豎直方向的夾角一定為，由于 tan=，故=30；又由于F1、Fn和G三力平衡，應(yīng)構(gòu)成一個封閉三角形，當(dāng)改變Fn與水平方向夾角時，F(xiàn)n和F1的大小都會發(fā)生改變，且Fn與F1方向垂直時Fn的值最小；故拉力的最小值為：，與水平方向成30斜向上答：最小作用力的大小為mg，方向與水平方向成30斜向上11、 壓延機原理：壓延機由兩輪構(gòu)成，兩輪直徑各為d=50cm，輪間的間隙為a=0.5cm.兩輪按反方向轉(zhuǎn)動，如圖上箭頭所示.已知燒紅的鐵板與鑄鐵輪之間的動摩擦因數(shù)=0.1，問能壓延的鐵板厚度

12、是多少? 分析：鐵板的A、B兩點和鑄鐵輪接觸，接觸點與轉(zhuǎn)軸連線的夾角為。在A點鐵板受到FN1和Ff1兩個力，在B點鐵板受到FN2和Ff2兩個力，如圖所示。要使鐵板能壓延鐵板所受合力必須向右，則=arctan則鐵板的最大厚度為 bm=a+2(r-rcos）=7.48mm 所以能壓延的鐵板厚度b7.48mm12、 木塊和水平面間的動摩擦因數(shù)為m，水平外力F 拉著物體沿水平面勻速（或加速）運動。再加一個與外力F等大外力，使物體仍做勻速（或以原來的加速度）運動，該外力的方向如何？解：根據(jù)題意，該外力增加（或減少）的水平分力與增加（或減少）的與摩擦力等大反向，一定處于N和f的合力FNf位置共線，同向（或

13、反向）的位置，即該外力與豎直方向的夾角為摩擦角，如圖。13、 木塊和水平面間的動摩擦因數(shù)為m，力F斜向上拉木塊在水平面上勻速前進(jìn)，求F和水平方向夾角為多少時最省力。 解：將N和f的合成為FNf，則物體在平衡三力作用下勻速運動，如圖。從力的三角形法則可知，外力F與FNf垂直時，F(xiàn)最小，它與水平方向的夾角正好為摩擦角。14、(第三屆全國預(yù)賽)如圖所示，用力F推一放在水平地面上的木箱，質(zhì)量為M，木箱與地面間摩擦因數(shù)為 問：當(dāng)力F與豎直成夾角j 多大時，力F再大也無法推動木箱? 思路分析本題屬于物體平衡問題，一般方法是用平衡條件列方程求極值，但這里用摩擦角的概念分析，問題會更加簡單解:選物體為研究對象，受力如圖所示，其受四個力作用而靜止，將彈力N和摩擦力f合成作出全反力F 當(dāng)物體將要發(fā)生滑動時，靜摩擦角j0。滿足tgj0=m，由平衡條件知當(dāng)0jj0時，物體出現(xiàn)自瑣現(xiàn)象，也就是說此時無論用多大的力都不會使物體推動，故j角屬于范圍(0,j0)。 15、 結(jié)構(gòu)均勻的梯子AB，靠在光滑豎直墻上，已知梯子長為L，重為G，與地面間的動摩擦因數(shù)為，如圖所示，（1）求梯子不滑動，梯子與水平地面夾角的最小值0；（2）當(dāng)=0時，一重為P的人沿梯子緩慢向上，他上到什么位置，梯子開始滑動？分析：本題也有兩種解法：解法一是根據(jù)物體的平衡條件