1、 編號 莆田學院畢 業 論 文課題名稱：一類矩陣秩的恒等式及推廣系 別 數學系 學生姓名 學 號 專 業 數學與應用數學 年 級 03級 指導教師 2007年 5月目 錄0 引言11 預備知識12 推導過程23 主要結論124 結束語17參考文獻18致謝19一類矩陣秩的恒等式及推廣摘 要在何種條件下，不等式化為等式是當前研究的重點本文利用矩陣及其初等變換對應到分塊矩陣中，使得當在滿足一定的條件時，有【關鍵詞】：秩；矩陣；初等變換；分塊陣A Class of Matrix Rank Identities and Their GeneralizationAbstractChanging the i

2、nequality into equality under what condition is the current research key point. This paper uses the and its elementary operation corresponds the partitioned matrix, prove that when satisfy the certain condition, we have 【key words】rank;matrix ; elementary operation ; partitioned matrix莆田學院學士學位畢業設計論文

3、原創性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學位論文，是本人在導師的指導下，獨立進行研究工作所取得的成果除文中已經注明引用的內容外，本論文不含任何其他個人或集體已經發表或撰寫過的作品成果對本文的研究做出重要奉獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明本人完全意識到本聲明的法律結果由本人承當學位畢業設計論文作者簽名：日期： 年 月 日莆田學院學士學位畢業設計論文原創性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學位論文，是在本人的指導下，獨立進行研究工作所取得的成果除文中已經注明引用的內容外，本論文不含任何其他個人或集體已經發表或撰寫過的作品成果對本文的研究做出重要奉獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明指導教師簽名：日期

4、： 年 月 日 0引言 目前對不等式推廣研究的一個重點是如何將不等式化為等式在廈大06年的考研試卷中有這樣一道試題 的充分必要條件是 以及北師大的兩道習題 與 的充分必要條件分別是 與 ，而這三題剛好是不等式中不等號化等號的特例沿著這一研究方向，特別是在參考李書超與王廷明的關于一類矩陣秩的恒等式及證明的根底上，本文對不等式中不等號化等號的推廣式進行了證明，在一定程度上改良王廷明的證法，具有更直觀更具體意義上的效果本文在引入、與 、在實數域上分解，并且各自對他們所構成的對角陣進行初等變換后得出定理這個結果及其他定理和推論1預備知識定義1 設P為任意數域，那么關于定理的證明方法很多，我們可以參考文

5、獻1矩陣有初等變換下面變換叫做矩陣的初等變換：i矩陣的兩行列互換位置，記為 ；ii矩陣的某行列乘非零常數k, 記為 ；iii矩陣的某行列加上另一行列的倍, 記為 而對應分塊矩陣的初等變換如下：i對調矩陣的兩行列，記為 ：ii矩陣分塊行列乘非退化矩陣, 記為 ；iii將矩陣的某一行列的所有子矩陣左乘一個矩陣加上另一行列, 記為 ；引理 任意一個非零的的矩陣都等價于以下形式的矩陣,其中推論1 ，當 為兩兩互異的數時，有 與 等價此結論的證明由引理1顯然可得符號說明：(i) RA代表矩陣 A的秩；(ii) 代表對角矩陣 A；2推導過程北京大學數學系幾何與代數小組編的?高等代數?第三版中有兩道習題：習

6、題1：設,那么 的充分必要條件是習題2：設,那么 的充分必要條件是 通過構造和分塊矩陣并分別對他們進行初等變換如下：證明 習題1構造矩陣 和 ，對它進行初等變換，得相對應的，對 ，對它進行初等變換 故由 ，有當且僅當 ，證明 習題2構造矩陣 和 ，對它進行初等變換，得相對應的，對，對它進行初等變換 故由 ，有當且僅當 ，在知道冪等與對合矩陣的秩有將Sylvester不等式的不等號化為等號的優點后，能否想象如 與 也具有此優點呢？不妨看如下的例題：例1設,那么 的充分必要條件是證明 構造矩陣 和 ，對它進行初等變換得相對應的，對 ，對它進行初等變換 故由 ，有當且僅當 ，例2設,那么 的充分必要

7、條件是證明 構造矩陣 和 ，對它進行初等變換，得 相對應的，對 ，對它進行初等變換 故由 ，有當且僅當，例3設,那么 的充分必要條件是證明 構造矩陣 和 ，對它進行初等變換，得 相對應的，對 ，對它進行初等變換 故由 ，有當且僅當 ，例4設,那么 的充分必要條件是 證明 構造矩陣 和 ，對它進行初等變換，得相對應的，對 ，對它進行初等變換得 故由，有當且僅當 ，有例5 設,那么 的充分必要條件是 證明 構造矩陣 和 ，對它進行初等變換，得 相對應的，對 ，對它進行初等變換得 ，故由，有當且僅當 時，有例6設，證明：的充分必要條件是證明 構造矩陣和對它們進行初等變換如下 對分塊陣作同樣的初等變換

8、 故由 ，有當且僅當 時，3主要結論現在對上述6個例題進行歸納總結，即可注意到這樣的結果：當與 等價，對分塊初等陣進行同樣的初等變換后有 與 等價此結果在例1到例6都成立的，那么我們不妨設當 滿足何種條件時，有如下結果定理1 ，當 為兩兩互異的數時，有 與 等價證明 首先我們先看對角矩陣與 相對應的三種初等變換1換行2倍乘3倍加用數學歸納證明如下1） 當t=2時，由而此時對矩陣也進行同樣的變換因此 ，此時由與等價，得到與也等價2） 假設由 與 等價，可以得到與 等價，其中 為復數域上兩兩互異的數3） 那么，我們顯然也易得 與 等價，其中 、為復數域上兩兩互異的數那么由2對于矩陣與矩陣 等價，而

9、我們需要的結果是 與 能夠等價因此，它其實就可以轉化成 與 能否等價所以，首先可以看到 與 等價，其中 不能整除故用綜合法發把 表示成的方冪和，即寫成，那么，令=，所以有如下結果 ， 而此時也會得到=，故而 ， 所以就有了 與 等價定理2 設，對任意的兩兩互異的數 ，那么證明 由 中，兩兩互異，所以得 與 等價 因此由定理1得 與 等價 所以有結果成立推論2 設，A的多項式在復數域的標準分解為 ，假設 無重根 ，那么推論3 設，A的多項式在復數域的標準分解 ，假設無重根，且它在實數域的標準分解為那么 證明 由定理2知：，其中， 且 故所以 定理3 設，且B可逆，A，B可交換，那么對任意的兩兩互

10、異，那么有 證明 由得 依定理2得 而 與 4結束語本文先通過對和型矩陣進行實數域上的分解，構造其分塊對角陣及相應的矩陣，在引入矩陣和分塊陣的初等變換后，分別對他們進行相同的初等變換后，得到平行的等價結果由此猜測：當互異時，有 與 等價根據這一結果得到當互異時，不等式的等號成立，并且證明的過程直觀具體易懂，具有一定的聯系性和過渡性，并且得到定理1這個結果因此本文的優點之一是得到了對角矩陣與對于各自的初等變換后，得到它們的等價的矩陣分別為 與 ，并且兩者的初等變換又具有平行性由定理1證明了不等式的等號成立及其推廣與王廷明的一類矩陣秩的恒等式的證明相比擬，在前一局部的證明中這一方法占有優勢，但在王

11、廷明最后一個定理的推廣當中無法利用這一方法加以推廣，是本文的缺乏之處，也是本文繼續往前研究的一個重要方向而跳出這個研究范圍，我們來觀察一下定理1：它描述的是對角矩陣與初等變換的平行性，那么由引理1知對于任意的對角矩陣都與等價，那么是否與等價呢？如果這一猜測成立，那么就不僅僅可以考慮A+KE的形式，更可拓寬到將用任意型如f(A)的多項式代替，而得到矩陣多項式也具有矩陣的性質參考文獻1 北京大學數學幾何與代數研究室代數小組，高等代數第2版M高等教育出版社，19982 雷雪萍，高等代數中一道習題的推廣J大學學報，2006.8第4期3 王廷明，黎伯堂一類矩陣秩恒等式的證明J山東大學學報理學版,2007.2第2期4 李書超，蔣君，向世斌等一類矩陣秩恒等式及推廣J武漢科技大學學報自然科學版，2004第1期：96-985 朱德高，李桃生，費泰生高等代數M武漢：華中師范大學出版社20026 樊惲，錢吉林，岑嘉評，等代數學詞典M武漢：華中師范大學出版社19947 任立順高等代數研討M知識出版社1996.108劉劍平線性代