1、2010級高等數學（下）半期考試暨數學競賽試卷一、單項選擇題（每題分，共15分）1、 設都存在，則（ ）（A）在處連續。 (B) 在處可微。（C）存在。 （D）存在。2、設D是第二象限的一個有界閉區域，且。記。的大小順序是（ ）（A） (B) （C） （D）3、已知是全微分表達式，則（ ）（A） (B) 0 （C）1 （D）24、設曲線L為圓周，順時針方向，則( )(A) 0 (B) 2 (C) 6 (D) 5、已知上點處的切平面平行于平面，則點的坐標是（ ）(A) (B) (C) (D) 二、填空題（每題分，共15分）1、已知D是長方形域：，且，則（ ）2、設平面曲線L為: ,則曲線積分=（

2、 ）3、曲線在點處的切線與軸的傾角為（）、函數在點處沿點指向方向的方向導數是（）、螺旋線在點處的切向量為（）三、解答題（每題7分，共49分）、求極限、設，求，其中具有二階偏導數。、設由方程所確定，求4、計算5、計算，其中是由與所圍成的閉區域。6、計算，其中D是由曲線和直線圍成7、在過點與的曲線族中，求一條曲線，使沿該曲線從到得積分的值最小。三、證明題（共21分）1、求函數在球面上的最大值，并證明對任何正數成立不等式。（10分）2、 計算，其中L是以為中心，為半徑的圓周（）取逆時針方向。（11分）20102011第二學期高等數學半期考試參考答案與評分細則一、單項選擇題（每題分，共15分）1、C

3、2、C 3、D 4、D 5、B3、 設都存在，則（ C ）（A）在處連續。 (B) 在處可微。（C）存在。 （D）存在。2、設D是第二象限的一個有界閉區域，且。記。的大小順序是（ C ）（A） (B) （C） （D）3、已知是全微分表達式，則（ D ）（A） (B) 0 （C）1 （D）24、設曲線L為圓周，順時針方向，則( D )(A) 0 (B) 2 (C) 6 (D) 5、已知上點處的切平面平行于平面，則點的坐標是（B ）(A) (B) (C) (D) 二、填空題（每題分，共15分）1、2 2、 3、 4、 5、1、已知D是長方形域：，且，則（ ）2、設平面曲線L為: ,則曲線積分=（

4、）3、曲線在點處的切線與軸的傾角為（）、函數在點處沿點指向方向的方向導數是（）、螺旋線在點處的切向量為（）三、解答題（每題7分，共49分）、求極限解：令，則3分原式4分、設，求，其中具有二階連續偏導數。解：3分4分、設由方程所確定，求解：將方程兩端微分可得：3分4分4、計算，求解：3分=4分5、計算，其中是由與所圍成的閉區域。解：由于關于平面對稱，故3分=4分6、計算，其中D是由曲線和直線圍成解：利用極坐標求解，3分4分7、在過點與的曲線族中，求一條曲線，使沿該曲線從到得積分的值最小。解：4分得，故在取最小值，相應的曲線為。3分三、證明題（共21分）1、求函數在球面上的最大值，并證明對任何正數成立不等式。（10分）證明：作拉格朗日函數; ,得駐點，5分，故5分4、 計算，其中L是以為中心，為半徑的圓周（）取逆時針方向。（11分）解：