1、函數最值的求解方法例析江蘇 孫玉蓉函數的最值是函數在定義域內對應的函數值中的最大值或最小值因此，求解函數的 最值時要把定義域內對應的一切極值和端點處函數值加以比較得到，或是函數的值域中的端點值.在高考中以求解函數的最值為主要的考點，帶動函數的值域等相關問題的求解.下面結合實例，就求解函數的最值以及值域問題中的常用的方法加以剖析.1 .觀察法該方法適用自變量x只出現一次的函數，注意結合函數的單調性.例1 .求函數y - x - 1的值域.解析：由于 x _ 0，那么 x 1-1，所以函數的值域為：).評注：對于一些簡單的函數，可通過定義域及對應法那么，用觀察的方法來直觀確定函 數的值域.此題算術

2、平方根具有雙重非負性，即被開方數的非負性、值的非負性.2 .配方法該方法適用二次型函數 y =af2(x) bf(x) c(a =0)，注意自變量x的取值及二次函數對應的圖象對函數的最值的影響，有時直接利用二次函數的最值4ac -b2加以求解.4a例2 .求函數y = x2 -4x 6 , x 1,5的值域.解析：將函數配方得2 2y = x -4x 6 = (x -2)2，又t x函數y的對稱軸為x= 2,如下列圖，易知當 x = 5時，y= 11,當y= 2，二函數y的值域為y|2y11.評注：這是個求關于二次函數在其給定的定義域范圍內的值域問題， 可用配分法結合二次函數的圖象來求解.要用

3、配方法解決有關二次函數型 問題的值域或最值問題，有時要結合給定的定義域，有時要挖掘對應的隱 含條件，根據二次函數的圖形加以正確處理與判斷.3 .反函數法ax + b該方法適用一次分式型的函數y(ac = 0).利用函數和它的反函數的定義域ex +d與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域.例3.求函數y = a一 (a b 0, -1乞x空1)的值域.a bx解析：由原式可得 X = a(y ")，而一1空X乞1，貝y _1乞a(y 1)乞1,b(y+1)b(y+1)由于a b 0，解得a b乞y乞a b，所以函數的值域為，乞亠.a +b a -ba +b a - b

4、評注：利用反函數法求解函數的值域或最值問題時，如果題目直接給出相應的定義域，可以直接應用，否那么要先判斷原函數的定義域問題，再加以處理.4 .判別式法該方法適用二次分式型的函數討二aX2 bX c ( 0)，注意檢驗所求最值在定義mx 十nx+ p域內是否有相應 x的值，還要注意對二次項系數是否為零的討論.2例4 .求函數的值域.x 4x 1x21解析：由原函數整理可得：(1 - y)x2 4x 1 - y = 0,(1 )當 1 -y=0 ,即 y=1 時，x = 0 ；(2 )當 1 -y = 0,即 y = 1 時，那么有厶=164(1 - y)2 _0 , 即 卩(1 一 y)2 乞

5、4 ,解得 一1 _ y _3，即 一1 _ y _3且 y =1;所以綜上(1)和(2)可知：所求函數的值域為1-1,31.評注：此法是利用方程思想來處理函數問題，判別式法一般用于分式函數，其分子或 分母只能為二次式解題中要注意二次項系數是否為0的分類討論.5換元法該方法適用一次無理式型的函數y二. ax b (cx d)(ac = 0),注意所換元的新變量的取值范圍.15 -12例5 .求函數y = 2x5 1154x的最值.15 -t2解析：令t = . 15 - 4x亠0，貝U x-5 t=t2 t 5 =丿化 _1)23,2 2 2所以當t =1，即X = 7，此時y取最大值3,即所

6、求函數的最大值為 3.2評注：此題中的函數由于含有根號，不便于求最值，可采用換元法去掉根號，轉化成 二次函數再求對應的最值問題利用換元法求值域或最值問題時，一定要注意確定換元法 后變元的取值范圍，在此題中首先確定 t _0 ,否那么就容易造成錯解.6 幾何法(或數形結合法、圖象法)該方法適用較容易地與幾何圖形聯系的函數，以圖形與圖形之間的位置關系和直線的 斜率為主此題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，假設運用數形結合法，往往會更 加簡單，一目了然，賞心悅目.例6 求函數y =|x 1| |x - 2|的最值.-2x 1f(x)=32x1解析：將函數的解析式中的絕對值符號去掉，化成分段函數：

7、(x1)(-r： x : 2)，該函數圖象如下列圖，那么根據圖象可(x-2)知函數y的最小值為3.評注：此類問題結合函數的圖形，通過數形結合可以非常直觀明了地判斷對應的最值 問題.其實，該題也可以直接利用含有絕對值的不等式定理| a | - |b |_| a _ b|a | | b |加以直接求解最小值.7 不等式法k該方法適用利用根本不等式，尤其注意形如y =x (k 0)型函數，解析式能運用x根本不等式的函數，注意根本不等式成立的條件“一正、二定、三相等2x? x +1例7 求函數y= (x 1)的值域.X1解析:由于x 1，即x -1 .0,那么y =22x2 - x 1x -12= 2

8、(x -1)3 _43 = 7 x1當且僅當2(x-1)=，即x=2時取得“號，即函數的值域為7, ： x Tk評注：對函數進行變形化簡，轉化為y = x (k 0)的形式，結合根本不等式加以x求解值域問題在利用不等式法求解函數的值域或最值問題中，經常用到根本不等式、含 絕對值的不等式定理以及不等式的相關性質、定理等來處理，關鍵是轉化為適用對應不等 式形式，以及利用不等式法時的前提條件.8 求導法該方法適用一些易于求導的函數，一般函數式中有高次因式(大于等于三次)或對數，利用導函數求出極大值、極小值，再確定最值.例8 求函數f(x) =1 n(1 - x) - x2在0,2 1上的最大值和最小

9、值.41 1解析：函數f (x)的定義域為？-1,亠i,又f (x)=x ,1 + x 21 1令f (x)x =0，那么化簡整理可得：x =1或x = -2 (舍去)，1+x 2因此，當 0沁：1 時，f (x)0 , f(x)單調增加；當 1：x乞 2 時，f (x) :：: 0 , f(x)1單調減少；所以 f (1) =ln 2 為函數f(x)的極大值，4又 f(0) =0, f =l n3 -10 ,f(1) f (2),所以f(0) =0為函數f (x)在0,2上的最小值，f(1)=l n2 -為函數f (x)在 0,2】4上的最大值.評注：直接判斷含有對數式的函數的最值問題比較難

10、下手，結合導數，通過判斷導數 值的正負問題，利用函數的單調性來解決最值問題利用導數方法可以用來處理高次函數 (大于等于三次)、分式函數或對數函數等比較復雜的函數的最值問題，關鍵是正確處理 導數，利用導數結合單調性等來處理最值或值域問題.9. 函數有界性法該方法適用一些特殊的函數求值，比方三角函數，指數函數等，利用一些特定函數的 有界性加以分析與轉化來到達求解的目的.ex -1例9 .求函數y=的值域.ex +1解析：由原函數式可得：ex = -1，幕ex > 0，a y1 > 0，y Ty T解得一1 v y v 1，故所求函數的值域為(一 1，1).評注：直接求函數的值域困難時，

11、可以利用已學過函數的有界性，反客為主來確定函 數的值域.此種方法在求三角函數最值中經常使用.10. 別離變量法在處理一些分式函數求解最值問題中，經常采用別離變量法，通過直接拆分分母或者 配湊、換元等手段分解分式函數，直接求最值或者借助均值不等式等求解.3x +1例10.求函數y =込的值域.x 23x 1 3(x -2)77解析：由于y3 x-2x-2x-2.7.70，33 ,x -2x _23x +1 函數y =的值域為y R | y = 3.x -2評注：別離常量法往往是處理分式函數求最值的問題的努力方向，它通過變形與轉化,利用分式的特點加以分析與求解相應的最值或值域問題.11. 降次轉化法在處理含有高次(三次或三次以上)的函數關系式時，往往采用降次轉化思維，把高 次關系式加以降次，轉化為常用的一次或二次的函數關系式，再利用相應的方法加以處理.例11 .函數f (x)=3x -x(x2 1)2的值域是3x x解析：.f (x) = 2 -T，當 x=0 時，f (x) =0 ；(x2 +1)2當xMO時,f ( x)(x2 1)2Xz *1 2 (x )xX(x-1)24x1t11令 t =x -一，代入上式得 g (t