1、1南京大學南京大學 譚用譚用例子：關于個人消費例子：關于個人消費C和收入和收入Y之間的關系。宏之間的關系。宏觀經濟學告訴我們觀經濟學告訴我們2122,01CY但是，宏觀經濟學并沒有告訴我們：但是，宏觀經濟學并沒有告訴我們：（1）對一個具體的宏觀經濟系統而言，上述關系式在多大）對一個具體的宏觀經濟系統而言，上述關系式在多大程度上是可靠的？程度上是可靠的？若不可靠，那么以其為基礎的經濟理論也就很難成立若不可靠，那么以其為基礎的經濟理論也就很難成立了了 （2） 這里的兩個參數值到底是多少？這里的兩個參數值到底是多少？宏觀經濟政策如何制定需要兩個參數？宏觀經濟政策如何制定需要兩個參數？宏觀經濟政策已經

2、制定，需要檢驗其效果？宏觀經濟政策已經制定，需要檢驗其效果？ 例如，宏觀經濟理論認為，在其它條件不變的例如，宏觀經濟理論認為，在其它條件不變的情況下，收入的增加可以導致消費增加，即經情況下，收入的增加可以導致消費增加，即經濟理論設想收入與消費之間有一正向關系。濟理論設想收入與消費之間有一正向關系。但是，該理論并沒有對這兩者的關系提供數值但是，該理論并沒有對這兩者的關系提供數值度量：它沒有給出收入的一單位變化，消費將度量：它沒有給出收入的一單位變化，消費將會增加多少，即沒有給出會增加多少，即沒有給出邊際消費傾向邊際消費傾向的數值。的數值。計量經濟學要做的工作包括兩個內容計量經濟學要做的工作包括兩

3、個內容邊際消費傾向是否存在？即參數是否為零（假設檢邊際消費傾向是否存在？即參數是否為零（假設檢驗）驗）若存在其數值估計為多少？（點估計和區間估計）若存在其數值估計為多少？（點估計和區間估計）31.2.1 理論模型的設計理論模型的設計 1.2.2 樣本數據的收集樣本數據的收集 1.2.3 模型參數的估計模型參數的估計 1.2.4 模型的檢驗模型的檢驗 4 確定模型包含的變量確定模型包含的變量 根據經濟學理論和經濟行為分析。根據經濟學理論和經濟行為分析。 例如：同樣是生產方程，電力工業和紡織工業應例如：同樣是生產方程，電力工業和紡織工業應該選擇不同的變量，為什么？（提示：考慮供給與該選擇不同的變量

4、，為什么？（提示：考慮供給與需求）需求） 在時間序列數據樣本下可以應用在時間序列數據樣本下可以應用Grange統計檢統計檢驗等方法。驗等方法。 例如，消費和例如，消費和GDP之間的因果關系。之間的因果關系。 考慮數據的可得性。考慮數據的可得性。 注意因素和變量之間的聯系與區別。注意因素和變量之間的聯系與區別。 考慮入選變量之間的關系。考慮入選變量之間的關系。 要求變量間互相獨立。要求變量間互相獨立。5 確定模型的數學形式確定模型的數學形式 利用經濟學和數理經濟學的成果利用經濟學和數理經濟學的成果 根據樣本數據作出的變量關系圖（散點圖）根據樣本數據作出的變量關系圖（散點圖） 選擇可能的形式試模擬

5、選擇可能的形式試模擬 擬定模型中待估計參數的理論期望值區間擬定模型中待估計參數的理論期望值區間 符號、大小、符號、大小、 關系關系 例如：例如：ln(人均食品需求量人均食品需求量)=+ln(人均收入人均收入) +ln(食品價格食品價格) +ln(其它商品價格其它商品價格)+ 其中其中 、的符號、大小、的符號、大小、 關系關系6 幾類常用的樣本數據幾類常用的樣本數據時間序列數據是一批按照時間先后排列的統計數據。截面數據是一批發生在同一時間截面上的調查數據。 這兩類數據都是反映經濟規律的經濟現象的數量信息。不同點：時間序列數據是含義、口徑相同的同一指標按時間先后排列的統計數據列；而橫截面數據是一批

6、發生在同一時間截面上不同統計單元的相同統計指標組成的數據列。面板數據：既有時間序列又有截面數據。7 經濟意義檢驗：經濟意義檢驗：參數估計量的符號、大小、關系參數估計量的符號、大小、關系是否符合慣常的邏輯、是否符合經濟理論。是否符合慣常的邏輯、是否符合經濟理論。1.ln(人均食品需求量人均食品需求量)=2.00.5ln(人均收入人均收入)4.5ln(食品價格食品價格) +0.8ln(其它商品價格其它商品價格)2.ln(人均食品需求量人均食品需求量)=2.0+0.5ln(人均收入人均收入)4.5ln(食品價格食品價格)+0.8ln(其它商品價格其它商品價格)3.ln(人均食品需求量人均食品需求量)

7、=2.0+0.5ln(人均收入人均收入)0.8ln(食品價格食品價格) +0.8ln(其它商品價格其它商品價格)8 統計檢驗統計檢驗由數理統計理論決定：包括擬合優度檢驗、變量顯由數理統計理論決定：包括擬合優度檢驗、變量顯著性檢驗、方程的顯著性檢驗著性檢驗、方程的顯著性檢驗 計量經濟學檢驗計量經濟學檢驗 由計量經濟學理論決定：如是否滿足古典假設：包由計量經濟學理論決定：如是否滿足古典假設：包括隨機干擾項的異方差性檢驗和序列相關性檢驗，括隨機干擾項的異方差性檢驗和序列相關性檢驗，解釋變量的共線性檢驗。解釋變量的共線性檢驗。9t分布：若已知u，但不知道方差，雖然樣本容量比較大10(0,1)/xzNn

8、 需要用樣本的方差S代替總體方差(1)/nxtsn2.1、變量間的關系及回歸分析的基本概念、變量間的關系及回歸分析的基本概念 2.2、總體回歸函數、總體回歸函數2.3、隨機擾動項、隨機擾動項2.4、樣本回歸函數（、樣本回歸函數（SRF）表表 2.1.1 某某社社區區家家庭庭每每月月收收入入與與消消費費支支出出統統計計表表 每月家庭可支配收入X（元） 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1

9、738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299

10、 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 費 支 出 Y （元） 2002 共計 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510 （1）由于不確定因素的影響，對同一收入水平X，不同家庭的消費支出不完全相同； （2）但由于調查的完備性，給定收入水平X的消費支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditional distribu

11、tion）是已知的， 如： P(Y=561|X=800）=1/4。因此，給定收入X的值Xi，可得消費支出Y的條件條件均值均值（conditional mean）或條件期望條件期望（conditional expectation）： E(Y|X=Xi)該例中：E(Y | X=800)=605分析：分析： 描出散點圖發現：隨著收入的增加，消費“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費支出Y（元） 回歸函數（P

12、RF）說明被解釋變量Y的平均狀態（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規律。 含義： 函數形式：函數形式： 可以是線性或非線性的。 例2.1中，將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數時: iiXXYE10)|(為一線性函數。線性函數。其中，0，1是未知參數，稱為回歸系數回歸系數（regression coefficients）。 。1）在解釋變量中被忽略的因素的影響；2）變量觀測值的觀測誤差的影響；3）模型關系的設定誤差的影響；4）其它隨機因素的影響。產生并設計隨機誤差項的主要原因：產生并設計隨機誤差項的主要原因：1）理論的含糊性；2）數據的欠缺；3）節省原則。 問題：能從一次抽樣中獲得總體的

13、近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？ 問：能否從該樣本估計總體回歸函數PRF？回答：能 例例2.2：在例2.1的總體中有如下一個樣本，表表 2.1.3 家家庭庭消消費費支支出出與與可可支支配配收收入入的的一一個個隨隨機機樣樣本本 Y 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 X 594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530 總體的信息往往無法掌握，現實的情況只能是在一次觀測中得到總體的一個樣本。則 注意：注意：一元線性回歸模型的參數估計一元線性回歸模型的參數估計1920

14、單方程計量經濟學模型分為兩大類： 線性模型和非線性模型線性模型中，變量之間的關系呈線性關系非線性模型中，變量之間的關系呈非線性關系 一元線性回歸模型一元線性回歸模型：只有一個解釋變量 iiiXY10i=1,2,nY為被解釋變量，X為解釋變量，0與1為待估待估參數參數， 為隨機干擾項隨機干擾項213.1 線性回歸模型的基本假設線性回歸模型的基本假設 假設1、解釋變量X是確定性變量，不是隨機變量； 假設2、隨機誤差項具有零均值、同方差和序列不相關性： E(i)=0 i=1,2, ,n Var (i)=2 i=1,2, ,n Cov(i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n 假設3、隨機誤差項

15、與解釋變量X之間不相關： Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假設4、服從零均值、同方差、零協方差的正態分布 iN(0, 2 ) i=1,2, ,n22 1、如果假設1、2滿足，則假設3也滿足; 2、如果假設4滿足，則假設2也滿足。注意：注意： 以上假設也稱為線性回歸模型的以上假設也稱為線性回歸模型的古典假設古典假設，滿足該，滿足該假設的線性回歸模型，也稱為假設的線性回歸模型，也稱為古典線性回歸模型古典線性回歸模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。）。 注意：注意：為為總體回歸方程中總體回歸方程中隨機誤差項，隨機誤差項， e ei為在

16、樣本回歸方為在樣本回歸方程中的殘差項，二者的記號不同。程中的殘差項，二者的記號不同。從概念上講，它與從概念上講，它與 i i類似，可看做類似，可看做 i i的估計量。樣本回的估計量。樣本回歸函數中生成歸函數中生成e ei i的原因與總體回歸函數中生成的原因與總體回歸函數中生成uiui的原因的原因相同。相同。 230100112()02()0iiiiiQYXQYXX 01201iiiiiinXYXXX Y12201()1()iiiiiiiinX YXYnXXYXn24記22221)(iiiiXnXXXxiiiiiiiiYXnYXYYXXyx1)(上述參數估計量可以寫成： XYxyxiii1021

17、稱為OLS估計量的離差形式離差形式（deviation form）。）。 由于參數的估計結果是通過最小二乘法得到的，故稱為普通普通最小二乘估計量最小二乘估計量（ordinary least squares estimators）。 在計量經濟學中，往往以小寫字母表示對均值的離差。 25 例例3.1：在上述家庭可支配收入可支配收入- -消費支出消費支出例中，對于所抽出的一組樣本數，參數估計的計算可通過下面的表進行。 表表 2.2.1 參參數數估估計計的的計計算算表表 iX iY ix iy iiyx 2ix 2iy 2iX 2iY 1 800 594 -1350 -973 1314090 182

18、2500 947508 640000 352836 2 1100 638 -1050 -929 975870 1102500 863784 1210000 407044 3 1400 1122 -750 -445 334050 562500 198381 1960000 1258884 4 1700 1155 -450 -412 185580 202500 170074 2890000 1334025 5 2000 1408 -150 -159 23910 22500 25408 4000000 1982464 6 2300 1595 150 28 4140 22500 762 5290000

19、 2544025 7 2600 1969 450 402 180720 202500 161283 6760000 3876961 8 2900 2078 750 511 382950 562500 260712 8410000 4318084 9 3200 2585 1050 1018 1068480 1102500 1035510 10240000 6682225 10 3500 2530 1350 963 1299510 1822500 926599 12250000 6400900 求和 21500 15674 5769300 7425000 4590020 53650000 2915

20、7448 平均 2150 1567 26777. 07425000576930021iiixyx因此，由該樣本估計的回歸方程為： iiXY777. 0172.1030115670.777 2150103.172YX 當模型參數估計出后，需考慮參數估計值的精度，即是否能代表總體參數的真值，或者說需考察參數估計量的統計性質。27 一個用于考察總體的估計量，可從如下幾個方面考察其優劣性： （1）線性性線性性，即它是否是另一隨機變量的線性函數； （2）無偏性無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實值； （3）有效性有效性，即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。 擁有這類性質的估計量稱為最佳線

21、性無偏估計量最佳線性無偏估計量（best liner unbiased estimator, BLUE）。 28古典假設都是針對普通最小二乘法的。在違背這些基本假設的情況下，普通最小二乘法就不再是最佳線性無偏估計量，因此使用普通最小二乘法進行估計已無多大意義。但模型本身還是可以估計的，尤其是可以通過最大似然法等其他原理進行估計。293.3 參數估計量的概率分布及隨機干擾項方參數估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計差的估計 1、參數估計量、參數估計量0和和1的概率分布的概率分布 ),(2211ixN),(22200iixnXN普通最小二乘法的基本思想選擇合適的參數使得觀察值的殘差平方和最小。線

22、性回歸模型并非意味著因變量是自變量的線性函數線性回歸模型本質上指的是參數線性，而不是變量線性。同時，模型與函數不是同一回事。模型只是假設，而函數之間的真實關系不可知。古典線性回歸模型的基本假定 回歸模型隨機誤差項i滿足哪些條件時，稱為古典線性回歸模型？隨機擾動項產生的原因 30一元線性回歸模型的統計檢驗一元線性回歸模型的統計檢驗31回歸分析是要通過樣本所估計的參數來代替總體的真實參數，或者說是用樣本回歸線代替總體回歸線。樣本是一次抽樣取得的，很難能夠收集到總體。盡管從統計性質上已知，如果有足夠多的重復抽樣，參數的估計值的期望（均值）就等于其總體的參數真值，但在一次抽樣中，估計值不一定就等于該真

23、值。那么，在一次抽樣中參數的估計值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進一步進行統計檢驗。統計檢驗的方法主要有擬合優度檢驗 置信區間檢驗t檢驗F檢驗（下一章）32對樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合程度的檢驗。：判定系數（可決系數）R233問題：采用普通最小二乘估計方法，已經保證了問題：采用普通最小二乘估計方法，已經保證了模型最好地擬合了樣本觀測值，為什么還要檢驗模型最好地擬合了樣本觀測值，為什么還要檢驗擬合程度？擬合程度？普通最小二乘法所保證的最好擬合，是同一個問題內部的普通最小二乘法所保證的最好擬合，是同一個問題內部的比較，擬合優度檢驗結果所表示的優劣是不同問題之間的比較，擬合優度檢驗結果

24、所表示的優劣是不同問題之間的比較。兩個同樣滿足最小二乘原則的模型，對樣本觀測值比較。兩個同樣滿足最小二乘原則的模型，對樣本觀測值的擬合程度不一定相同。的擬合程度不一定相同。 34 4.1.1 4.1.1 總離差平方和的分解總離差平方和的分解 已知由一組樣本觀測值（Xi,Yi），i=1,2,n得到如下樣本回歸直線 iiXY10iiiiiiiyeYYYYYYy)()(35 如果Yi=i 即實際觀測值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好擬合最好。這時，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關。36對于所有樣本點，則需考慮這些點與樣本均值離差對于所有樣本點，則需考慮這些點與樣本均值離差的平方和，的平方和，

25、可以證明可以證明：記22)(YYyTSSii總體平方和（Total Sum of Squares）22)(YYyESSii回歸平方和（回歸平方和（Explained Sum of Squares）22)(iiiYYeRSS殘差平方和（殘差平方和（Residual Sum of Squares ）37TSS=ESS+RSSY的觀測值圍繞其均值的總離差總離差(total variation)可分解為兩部分：一部分來自回歸線一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則，另一部分則來自殘差平方和來自殘差平方和(RSS)。在給定樣本中，TSS不變，如果實際觀測點離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大

26、，因此 擬合優度擬合優度：回歸平方和（：回歸平方和（ESSESS）/Y/Y的總離差（的總離差（TSSTSS）38TSSRSSTSSESSR1記24.1.2 可決系數可決系數R2 2統計量統計量 稱 R2 為（樣本）可決系數（樣本）可決系數/判定系數（判定系數（coefficient of determination)。 可決系數可決系數的取值范圍取值范圍：0，1 R2 2越接近越接近1 1，說明實際觀測點離樣本線越近，擬，說明實際觀測點離樣本線越近，擬合優度越高合優度越高。39在實際計算可決系數時，在1已經估計出后： 22212iiyxR 在收入收入-消費支出消費支出例中， 9766. 045

27、900207425000)777. 0(222212iiyxR注：可決系數注：可決系數是一個非負的統計量。它也是隨著是一個非負的統計量。它也是隨著抽樣的不同而不同，通過可決系數可以決定哪次抽樣的不同而不同，通過可決系數可以決定哪次抽樣在同樣采用最小二乘估計的條件下，更能說抽樣在同樣采用最小二乘估計的條件下，更能說明問題。明問題。證明：可決系數是證明：可決系數是Y與與X相關系數的平方！相關系數的平方！假設檢驗，就是事先對總體參數或總體分布形式作出一個假設，然后利用樣本信息來判斷原假設是否合理，即判斷樣本信息與原假設是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設。假設檢驗采用的邏輯推理方法是反證法！

28、先假定原假設正確，然后根據樣本信息，觀察由此假設而導致的結果是否合理，從而判斷是否接受原假設。判斷結果合理與否，是基于“小概率事件不易發生”的原理一次抽樣中，盡然不能支持原假設，也就是舉反例否決。404.2.2 變量的顯著性檢驗變量的顯著性檢驗 ),(2211ixN)2(1112211ntSxti 檢驗步驟：檢驗步驟： （1）對總體參數提出假設 H0： 1=0， H1：10（2）以原假設H0構造t統計量，并由樣本計算其值11St （3）給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值t /2(n-2)(4) 比較，判斷 若 |t| t /2(n-2)，則拒絕H0 ，接受H1 ； 若 |t| t /2(n-

29、2)，則拒絕H1 ，接受H0 ； -2.086+2.0862.5% rejection region2.5% rejection regionf(x)44 假設檢驗假設檢驗可以通過一次抽樣的結果檢驗總體參數假設值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數值到底離總體參數的真值有多“近”。要判斷樣本參數的估計值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數的真值，往往需要通過構造一個以樣本參數的估計值為中心的“區間”，來來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實的參考察它以多大的可能性（概率）包含著真實的參數值。數值。這種方法就是參數檢驗的置信區間估計置信區間估計。 4.3 參數的置信區間檢

30、驗法參數的置信區間檢驗法451)(P 如 果 存 在 這 樣 一 個 區 間 ， 稱 之 為 置 信 區 間置 信 區 間（confidence interval）； 1-稱為置信系數置信系數（置信度置信度）（confidence coefficient）， 稱為顯著性水平顯著性水平（level of significance）；置信區間的端點稱為置信限置信限（confidence limit）或臨界值臨界值（critical values）。46一元線性模型中一元線性模型中， i (i=1，2）的置信區間的置信區間: :在變量的顯著性檢驗中已經知道： )2(ntstiii意味著，如果給定置信

31、度（1-），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t/2, t/2)的概率是(1- )。表示為： Pttt()221即Ptstiii()221Ptstsiiiii()22147于是得到:(1-)的置信度下, i的置信區間是 (,)iitstsii22 在上述收入收入- -消費支出消費支出例中，如果給定 =0.01，查表得： 355. 3)8()2(005. 02tnt由于042. 01S41.980S于是，1、0的置信區間分別為：（0.6345,0.9195) ， （-433.32,226.98）。這樣，我們就可以拒絕H0：1=0，而接受H1：10，也就是說我們可以以99%

32、的概率接受10。如果我們能夠以5%以及以上的顯著性水平拒絕某個檢驗的零假設，則稱這個檢驗在統計上是顯著的。意思是：回歸參數明顯不是“零假設”T檢驗和置信區間檢驗的結論是一致的。4849由于置信區間一定程度地給出了樣本參數估計值與總體參數真值的“接近”程度，因此，在給定置信水平下，置信區間越小越好。要縮小置信區間，則需要： （1 1）增大樣本容量）增大樣本容量n n，因為在同樣的置信水平下，n越大，t分布表中的臨界值越小；同時，增大樣本容量，還可使樣本參數估計量的標準差減小； （2 2）提高模型的擬合優度）提高模型的擬合優度，因為樣本參數估計量的標準差與殘差平方和呈正比，模型擬合優度越高，殘差平方和應越小。下面數據是依據10組X和Y的觀察值得到的： 501110iY 1680iX 204200iiX Y 2315400iX2133300iY ，假定滿足所有的古典線性回歸模型的假設，且總體回歸方程的形式為01iiiYX根據上述給出的條件，進行假設檢驗和參數估計，并求得R2 假設