1、 相交線與平行線（教師教案）第一段 典型例題【開課】教師在正式開課前，先把本次課程的內容簡單概括一下： 今天的內容主要包括以下幾部分內容：一 相交線、垂線的概念二 同位角、內錯角、同旁內角等的概念三 平行線的的性質和判定【課程目標】1. 理解相交線的定義、對頂角的定義和性質、鄰補角的定義，正確識別“三線八角”；2. 理解垂線的定義、點到直線的距離的定義，掌握垂線的性質；3. 理解平行線的概念，正確地表示平行線，會利用三角尺、直尺畫平行線，理解平行公理和平行公理的推論；4. 掌握兩直線平行的判定方法和平行線的性質；5. 能綜合運用平行線的性質和判定證明和計算?！菊n程安排】1 教師簡要介紹本次課程

2、的關鍵點，同學做題，然后教師講解2 教師總結，學生做綜合練習（第二段）教師講解【教師講課要求】教師先將第一段練習發給每一位學生，學生做題時教師必須巡視，了解學生做題情況，學生完成練習后，教師進行講解。第一部分 相交線、垂線課時目標：理解相交線的定義、對頂角的定義和性質、鄰補角的定義，正確識別“三線八角”；理解垂線的定義、點到直線的距離的定義，掌握垂線的性質；教師講課要求【知識要點】：請學生看一下做好上課的準備 （一）相交線1. 相交線的定義在同一平面內，如果兩條直線只有一個公共點，那么這兩條直線叫做相交線，公共點稱為兩條直線的交點。如圖1所示，直線AB與直線CD相交于點O。 圖1 圖2 圖32

3、. 對頂角的定義若一個角的兩條邊分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，那么這兩個角叫做對頂角。如圖2所示，1與3、2與4都是對頂角。注意：兩個角互為對頂角的特征是：（1）角的頂點公共；（2）角的兩邊互為反向延長線；（3）兩條相交線形成2對對頂角。3. 對頂角的性質對頂角相等。4. 鄰補角的定義如果把一個角的一邊反向延長，這條反向延長線與這個角的另一邊構成一個角，此時就說這兩個角互為鄰補角。如圖3所示，1與2互為鄰補角，由平角定義可知12180°。（二）垂線1. 垂線的定義當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點

4、叫做垂足。 圖4如圖4所示，直線AB與CD互相垂直，垂足為點O，則記作ABCD于點O。其中“”是“垂直”的記號；是圖形中“垂直”(直角)的標記。注意：垂線的定義有以下兩層含義：（1）ABCD（已知） （2）190°（已知） 190°（垂線的定義） ABCD（垂線的定義）2. 垂線的性質（1）性質1：在同一平面內，經過直線外或直線上一點，有且只有一條直線與已知直線垂直，即過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。（2）性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。即垂線段最短。3. 點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。 圖5 圖6如

5、圖5所示，m 的垂線段PB 的長度叫做點P 到 直線m 的距離。4. 垂線的畫法（工具：三角板或量角器）5. 畫已知線段或射線的垂線（1）垂足在線段或射線上（2）垂足在線段的延長線或射線的反向延長線上（三）“三線八角”兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖6所示。（1）同位角：可以發現1與5都處于直線的同一側，直線、的同一方，這樣位置的一對角就是同位角。圖中的同位角還有2與6，3與7，4與8。（2）內錯角：可以發現3與5都處于直線的兩旁，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是內錯角。圖中的內錯角還有4與6。（3）同旁內角：可以發現4與5都處于直線的同一側，直線、的兩方，這樣位置的

6、一對角就是同旁內角。圖中的同旁內角還有3與6。范例1. 判斷下列語句是否正確，如果是錯誤的，說明理由。（1）過直線外一點畫直線的垂線，垂線的長度叫做這個點到這條直線的距離；（2）從直線外一點到直線的垂線段，叫做這個點到這條直線的距離；（3）兩條直線相交，若有一組對頂角互補，則這兩條直線互相垂直；（4）兩條直線的位置關系要么相交，要么平行。分析：本題考查學生對基本概念的理解是否清晰。（1）、（2）都是對點到直線的距離的描述，由“直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離”可判斷（1）、（2）都是錯的；由對頂角相等且互補易知，這兩個角都是90°，故（3）正確；同一平面內，兩條

7、直線的位置關系是相交或平行，必須強調“在同一平面內”。解答：（1）這種說法是錯誤的。因為垂線是直線，它的長度不能度量，應改為“垂線段的長度叫做點到直線的距離”。（2）這種說法是錯誤的。因為“點到直線的距離”不是指點到直線的垂線段的本身，而是指垂線段的長度。（3）這種說法是正確的。（4）這種說法是錯誤的。因為只有在同一平面內，兩條直線的位置關系才是相交或平行。如果沒有“在同一平面內”這個前提，兩條直線還可能是異面直線。說明：此題目的是讓學生抓住相交線平行線這部分概念的本質，弄清易混概念。 范例2. 如下圖（1）所示，直線DE、BC被直線AB所截，問，各是什么角？圖（1） 分析：已知圖形不標準，開

8、始學不容易看，可把此圖畫成如下圖（2）的樣子，這樣就容易看了。圖（2） 答案：是同位角，是內錯角，是同旁內角。 范例3 如下圖（1），圖（1） （1）是兩條直線_與_被第三條直線_所截構成的_角。 （2）是兩條直線_與_被第三條直線_所截構成的_角。 （3）_與_被第三條直線_所截構成的_角。 （4）與6是兩條直線_與_，被第三條直線_所截構成的_角。 分析：從較復雜的圖形中分解出有關角的直線，因此可以得到是由直線被第三條直線所截構成的同位角，如下圖（2），類似可知其他情況。圖（2） 答案：（1）1與2是兩條直線被第三條直線所截構成的同位角。 （2）1與3是兩條直線被第三條直線所截構成的同位角

9、。 （3）是兩條直線被第三條直線所截構成的內錯角。（4）5與6是兩條直線被第三條直線所截構成的同旁內角。范例4按要求作圖，并回答問題。范例5作圖題范例6證明垂直第二部分 平行線課時目標 理解平行線的概念，正確地表示平行線，掌握兩直線平行的判定方法和平行線的性質能綜合運用平行線的性質和判定證明和計算。教師講課要求知識要點：請學生看一下準備上課1. 平行線的概念在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。注意：（1）在平行線的定義中，“在同一平面內”是個重要前提；（2）必須是兩條直線；（3）同一平面內兩條直線的位置關系是：相交或平行，兩條互相重合的直線視為同一條直線。兩條直線的位置關系是以這兩條直線

10、是否在同一平面內以及它們的公共點個數進行分類的。名稱公共點個數在同一個平面內重合直線相交直線平行直線不在同一個平面內異面直線2. 平行線的表示方法平行用“”表示，如圖7所示，直線AB與直線CD平行，記作ABCD，讀作AB 平行于CD。3. 平行線的畫法4. 平行線的基本性質（1）平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。 （2）平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。5. 平行線的判定方法：（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。（3）兩條直線被第三條直

11、線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。（4）兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行。（5）在同一平面內，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。6. 平行線的性質：（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡記：兩直線平行，同位角相等。（2）兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。簡記：兩直線平行，內錯角相等。（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡記：兩直線平行，同旁內角互補。范例1如圖，已知AMF=BNG=75°，CMA=55°，求MPN的大小答案：50°解析：因為AMF=BNG=75°，又因為BNG=MN

12、P，所以AMF=MNP，所以EFGH，所以MPN=CME，又因為AMF=75°，CMA=55°，所以AMF+CMA=130°，即CMF=130°，所以CME=180°130°=50°，所以MPN=50°范例2如圖，1與3為余角，2與3的余角互補，4=115°，CP平分ACM，求PCM答案：57.5°解析：因為1+3=90°，2+（90°3）=180°，所以2+1=180°，所以ABDE，所以BCN=4=115°，所以ACM=115°，又

13、因為CP平分ACM，所以PCM=ACM=×115°=57.5°，所以PCM=57.5°范例3如圖，已知：1+2=180°，3=78°，求4的大小答案：102°解析：因為2=CDB，又因為1+2=180°，所以1+CDB=180°，所以得到ABCD，所以3+4=180°，又因為3=78°，所以4=102°范例4如圖，已知：BAP與APD 互補，1=2，說明：E=F解析：因為BAP與APD 互補，所以ABCD，所以BAP=CPA，又因為1=2，所以BAP1=CPA2，即EAP=F

14、PA，所以EAPF，所以E=F范例5 如圖，已知ABCD，P為HD上任意一點，過P點的直線交HF于O點，試問：HOP、AGF、HPO有怎樣的關系？用式子表示并證明答案：HOP=AGFHPO解析：過O作CD的平行線MN，因為ABCD，且CDMN，所以ABMN，所以AGF=MOF=HON，因為CDMN，HPO=PON，所以HOP=HONPON=HONHPO，所以HOP=AGFHPO范例6 如圖，已知ABCD，說明：BBEDD=360° 分析：因為已知ABCD，所以在BED的內部過點E作AB的平行線，將BBEDD的和轉化成對平行線的同旁內角來求。 解：過點E作EFAB，則BBEF=180&

15、#176;（兩直線平行，同旁內角互補）ABCD（已知）EFAB（作圖）EFCD（平行于同一條直線的兩直線平行）DDEF=180°（兩直線平行，同旁內角互補）BBEFDDEF=360°BBEDD=BBEFDDEFBBEDD=360°范例7. 小張從家（圖中A處）出發，向南偏東40°方向走到學校（圖中B處），再從學校出發，向北偏西75°的方向走到小明家（圖中C處），試問ABC為多少度？說明你的理由。解：AEBD（已知）BAE=DBA（兩直線平行， 內錯角相等）BAE=40°（已知）ABD=40°（等量代換）CBD=ABCABD（

16、已知）ABC=CBDABD（等式性質）ABD=40°（已知）ABC=75°40°=35°范例8 如圖，ADC=ABC， 12=180°，AD為FDB的平分線，說明：BC為DBE的平分線。分析：從圖形上看，AE應與CF平行，AD應與BC平行，不妨假設它們都平行，這時欲證BC為DBE的平分線，只須證3=4，而3=C=6 ，4=5，由AD為FDB的平分線知5=6，這樣問題就轉化為證AECF，且ADBC了，由已知條件12=180°不難證明AECF，利用它的平行及ADC=ABC的條件，不難推證ADBC。證明：12=180°（已知）27

17、=180°（補角定義）1=7（同角的補角相等）AECF （同位角相等，兩直線平行）ABCC=180°（兩直線平行，同旁內角互補）又ADC=ABC（已知），CFAB（已證）ADCC=180°（等量代換）ADBC（同旁內角互補，兩直線平行）6=C， 4=5（兩直線平行，同位角相等，內錯角相等）又3=C（兩直線平行，內錯角相等）3=6（等量代換）又AD為BDF的平分線5=63=4（等量代換）BC為DBE的平分線范例9 如圖，DE，BE 分別為BDC， DBA的平分線，DEB=12（1）說明：ABCD（2）說明：DEB=90°分析：（1）欲證平行，就找

18、角相等與互補，但就本題，直接證CDB與ABD互補比較困難，而12=DEB，若以E為頂點，DE為一邊，在DEB內部作DEF=2，再由DE，EB分別為CDB， DBA的平分線，就不難證明ABCD了，（2）由（1）證得ABCD后，由同旁內角互補，易證12=90°，進而證得DEB=90°證明：（1）以E為頂點，ED為一邊用量角器和直尺在DEB的內部作DEF=2DE為BDC的平分線（已知）2=EDC（角平分線定義）FED=EDC（等量代換）EFDC（內錯角相等，兩直線平行）DEB=12（已知）FEB=1（等量代換），EBA=EBF=1（角平分線定義）FEB=EBA（等量代換）FEBA

19、（內錯角相等，兩直線平行）又EFDCBADC（平行的傳遞性）（2）ABDC（已證）BDCDBA=180°（兩直線平行，同旁內角互補）又1=DBA，2=BDC（角平分線定義）12=90°又12=DEBDEB=90° 第二段一. 選擇題1. 如圖1，直線a、b相交，1120°，則23（）A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°答案：C 圖1 圖2 圖32. 如圖2，要得到ab，則需要條件（）A. 24B. 13180°C. 12180 D. 23答案：C3. 如圖3，給出了過直線外一點作已知直線的

20、平行線的方法，其依據是（）A. 同位角相等，兩直線平行B. 內錯角相等，兩直線平行 C. 同旁內角互補，兩直線平行D. 兩直線平行，同位角相等答案：A4. 如圖4，ABED，則ACD（）A. 180°B. 270°C. 360°D. 540° 圖4 圖5答案：C5. 如圖5所示，1120°，2100°，則3（ ）A. 20° B. 40° C. 50° D. 60°答案：B6. 已知：如圖6，AOB的兩邊 OA、OB均為平面反光鏡，AOB40°，在OB上有一點P，從P點射出一束光線經O

21、A上的Q點反射后，反射光線QR恰好與OB平行，則QPB的度數是（ ）A. 60° B. 80° C. 100°D. 120°答案：B 圖7 圖87下列說法正確的是（ ）A. 兩條不相交的直線叫做平行線B. 同位角相等C. 兩直線平行，同旁內角相等D. 同角的余角相等答案：D8如果1和2是兩平行線a，b被第三條直線c所截的一對同位角，那么（ ）A. 1和2是銳角B. 12=180°C. 12=90°D. 1=2答案：D9如圖5，ABCD，則結論：（1）1=2；（2）3=4；（3）13=24中正確的是（ ）A. 只有（1）B. 只有（2）

22、 C. （1）和（2）C. （1）（2）（3）答案：D 圖510如圖6，ABCD，若3是1的3倍，則3為（ ）A. B. C. D. 答案：B圖6圖711如圖7，DHEGBC，且DCEF，則圖中與1相等的角（不包括1）的個數是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6答案：C12如圖8，已知ABCD，CE平分ACD，A=110°，則ECD的度數為（ ）A 110°B. 70°C. 55°D. 35°答案：D圖8圖913如圖9，如果DEBC，那么圖中互補的角的對數是（ ）A. 2對B. 3對C. 4對D. 5對答案：C二. 填空題1 如圖7，CBAB

23、，CBA與CBD的度數比是5:1，則DBA_度，CBD的補角是_度。答案：72°；162°2 如圖8，ACBC，CDAB，點A到BC邊的距離是線段_的長，點B到CD邊的距離是線段_的長，圖中的直角有_，A的余角有_，和A相等的角有_。答案：；3 如圖9，當1_時，ABCD；當D_180°時，ABCD；當B_時，ABCD。答案：； 圖9 圖104 如圖10，ABCD，直線l平分AOE，140°，則2_答案：5 若兩個角的兩邊分別平行，而一個角比另一個角的3倍少30°，則兩個角的度數分別是_。答案：或6如圖1，1=2（ ）（ ）（ ），D=（ ）（ ）又D=3（已知）（ ）=（ ）（ ）（ ）（ ）答案：ADBE，內錯角相等，兩直線平行，DBE，兩直線平行，內錯角相等，DBE=3，BDCE，內錯角相等，兩直線平行圖1圖27如圖2，ADBC，1=60°，2=50°，則A=（ ），CBD=（ ），ADB=（ ），AADB2=（ ）答案： 60°，70°，70°，180°8圖3，由A測B的方向是（ ），由B測A的方向是（ ）圖3圖4答案：南偏東60°，北偏西60&